2019-2020学年湖北省部分重点高中高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案(解析版)

2019-2020学年湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅，则a 的取值范围是( )
A ．12a -<…
B ．2a >
C ．1a -…
D ．1a >-
2．定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件11
42i z zi
-=+的复数z 为( ) A ．3i -
B ．13i +
C ．3i +
D ．13i -
3．已知1e ，2e 是不共线向量，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，且A ，B ，
D 三点共线，则实数λ等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图，点A 为单位圆上一点，3
xOA π
∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点
34
(,)55
B -，则cos (α= )
A B ． C D ．5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）
的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已
知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )
A ．d
B ．f
C ．e
D ．#d
6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．若1n n a a n +-=，则{}n a 是等差数列
B ．若2
12n n n a a a ++=，则{}n a 是等比数列
C ．若1()
2
n n n a a S +=
，则{}n a 是等差数列 D ．若(0n n S q q =>且1)q ≠，则{}n a 是等比数列 7．下列四个命题中真命题是( ) 1112
3
:(0,1),log log P x x x ∀∈<
2121
:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…
31311
:(0,),()log 32x P x x ∃∈…
411
:(0,),()()23
x x P x ∃∈+∞…
A ．2P ，3P
B ．2P ，4P
C ．1P ，3P
D ．1P ，4P
8．函数1
3
3(1)()(1)x x f x log x x ⎧⎪
=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．函()f x 最小值为
3
4
C ．
2
π
是函()f x 的一个周期
D ．函()f x 在(0,)2
π
内是减函数
10．定义在[0，)+∞上的函数()f x 满足：当02x <…时，2()2f x x x =-：当2x …
时，
()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，并记
相应的极大值为1b ，2b ，⋯，n b ，⋯，则11222020a b a b a b ++⋯+的值为( ) A ．201931⨯+
B ．191931⨯+
C ．192031⨯+
D ．202031⨯+
11．设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62
ππ
α∈--，在区间[0，]m 上总存在唯一确
定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为( ) A ．
6
π
B ．
2
π
C ．
76
π
D ．π
12．函数1()|21|x x f x e e b x -=---在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )
A ．((1,)e e -
B ．(1e -，0)(0⋃，1)e -
C ．(10)
(0,1)e - D ．(1,(,1)e e e ---
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答題卡对应題号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = ． 14．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若11
5,,cos 3
14
a B A π
===
，则ABC ∆的面积S = ．
15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点1P ，2P ，310P P ⋯，则12310()AF AP
AP AP AP +++⋯+= ．
16．已知函数2()cos
2
x
f x x π=，数列{}n a 中，*()(1)()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前
100项之和100S = ．
三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.
17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，*n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211
(1)n
n n n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1
|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．
18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上160BAC CAA ∠=∠=︒，且12AB AC AA ===． ()I 求证：11B C A B ⊥；
（Ⅱ）求二面角1A B C B --的余弦值．
19．如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（常数为锐角）拟用长度为(l l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =．
（1）求方案一中养殖区的面积1S ；
（2）求方案二中养殖区的最大面积（用θ，l 表示）； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值．
21．已知函数()mx
f x lnx
=
，曲线()y f x =在点2(e ，2())f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数2()()1
kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t t
t t
x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩
（其中t 为参数）在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极
坐标方程为sin()3
π
ρθ-=
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数2()1f x x x =-+，且a ，b ，c R ∈．
（Ⅰ）若1a b c ++=，求f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值； （Ⅱ）若||1x a -<，求证：|()f x f -（a ）|2(||1)a <+．
2019-2020学年湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅，则a 的取值范围是( )
A ．12a -<…
B ．2a >
C ．1a -…
D ．1a >-
【解答】解：
A
B ≠∅，
A ∴，
B 有公共元素
集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<， 1a ∴>-
故选：D ． 2．定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件11
42i z zi
-=+的复数z 为( ) A ．3i -
B ．13i +
C ．3i +
D ．13i -
【解答】解：根据定义，可知1(1)42zi z i ⨯--⨯=+，即(1)42z i i +=+，42(42)(1)6231(1)(1)2
i i i i z i i i i ++--∴=
===-++-． 故选：A ．
3．已知1e ，2e 是不共线向量，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，且A ，B ，
D 三点共线，则实数λ等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解答】解：
A ，
B ，D 三点共线，
∴AB BD β=，(β为实数）
， 122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-， ∴12(1)2BD BC CD e e λ=+=-+， ∴12122(1)2e e e e βλβ+=-+，
解得1
2
β=
，5λ=． 故选：C ．
4．如图，点A 为单位圆上一点，3
xOA π
∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点
34
(,)55
B -，则cos (α= )
A B ． C D ．【解答】解：点A 为单位圆上一点，3
xOA π
∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点
34
(,)55B -，
(cos
3A π
∴，sin )3π，即1(2A ，且3cos()35πα+=-，4
sin()35
πα+=．
则314343cos cos[()]cos()cos sin()sin 333333525π
πππππαααα=+-=+++=-+=
， 故选：A ．
5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）
的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已
知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )
A ．d
B ．f
C ．e
D ．#d
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1
12
2．故
从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为112
2q -
=
由1
1
12440(2
)n --=⨯，解得7n =，
频率为的音名是(#)d ， 故选：D ．
6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．若1n n a a n +-=，则{}n a 是等差数列
B ．若2
12n n n a a a ++=，则{}n a 是等比数列
C ．若1()
2
n n n a a S +=
，则{}n a 是等差数列 D ．若(0n n S q q =>且1)q ≠，则{}n a 是等比数列 【解答】解：利用排除法：
对于A ：若1n n a a t +-=（常数），则{}n a 是等差数列， 故错误．
对于B ：当120n n n a a a ++===，即使212n n n a a a ++=，
则{}n a 不是等比数列．
对于D ：当1(0n n S q q =->且1)q ≠，则{}n a 是等比数列． 故错误． 故选：C ．
7．下列四个命题中真命题是( ) 1112
3
:(0,1),log log P x x x ∀∈<
2121
:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…
31311
:(0,),()log 32x P x x ∃∈…
411
:(0,),()()23
x x P x ∃∈+∞…
A ．2P ，3P
B ．2P ，4P
C ．1P ，3P
D ．1P ，4P
【解答】解：在同一个坐标系中画出13y log x =，12
y log x =，1()2x y =，1
()3x y =的图象，
由图象可知：
1112
3
:(0,1),log log P x x x ∀∈<，不正确；
2121
:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…，正确；
31311
:(0,),()log 32x P x x ∃∈…，不正确；
411
:(0,),()()23
x x P x ∃∈+∞…，正确；
故选：B ．
8．函数1
3
3(1)()(1)x x f x log x x ⎧⎪
=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：1
2
3,1
(),1x x f x log x x ⎧⎪
=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是由()y f x =的图象，
沿y 轴对折，得到()y f x =-的图象，再向右平移一个单位得到的， 故选：C ．
9．已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．函()f x 最小值为
34
C ．
2
π
是函()f x 的一个周期
D ．函()f x 在(0,)2
π
内是减函数
【解答】解：对于A ，函数42()cos sin f x x x =+，其定义域为R ， 对任意的x R ∈，有4242()cos ()sin ()cos sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；
对于B ，422213
()cos cos 1()24
f x x x cos x =-+=-+，
当cos x =
时()f x 取得最小值3
4
，故B 正确； 对于C ，2213
()()24
f x cos x =-+
21cos 213
()224
x +=-+
2cos 2344x =+
1cos 4384x +=+
cos 4788
x =
+， 它的最小正周期为242
T ππ
=
=，故C 正确； 对于D ，17()cos 488f x x =+，当(0,)2
x π
∈时，4(0,2)x π∈，
()f x 先单调递减后单调递增，故D 错误．
故选：D ．
10．定义在[0，)+∞上的函数()f x 满足：当02x <…时，2()2f x x x =-：当2x …
时，()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，并记
相应的极大值为1b ，2b ，⋯，n b ，⋯，则11222020a b a b a b ++⋯+的值为( ) A ．201931⨯+
B ．191931⨯+
C ．192031⨯+
D ．202031⨯+
【解答】解：当02x <…时，22()21(1)f x x x x =-=--， 可得()f x 的极大值点11a =，11b =，
当24x <…，即有022x -<…，可得2()3(2)3[1(3)]f x f x x =-=--， 可得23a =，23b =，
当46x <…，即有042x -<…，可得2()9(4)9[1(5)]f x f x x =-=--， 可得35a =，39b =， ⋯
即有2039a =，1933b =，
则192011222020113359393S a b a b a b =++⋯+=+++⋯+，
202031339527393S =+++⋯+，
相减可得192020212(39273)393S -=++++⋯+-
19203(13)
1239313-=+--，
化简可得20201193S =+， 故选：A ．
11．设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62
ππ
α∈--，在区间[0，]m 上总存在唯一确
定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为( ) A ．
6
π
B ．
2
π
C ．
76
π
D ．π
【解答】解：因为()sin()6f x x π=-，5[6x π∈-，]2
π
-，
所以2[,]6
3
x π
π
π-
∈--
，
所以()[f x ∈，0]，即()[f α∈，0]， 由在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，
则在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()[0f β∈，
由函数()f x 在[0，
2]3π为增函数，值域为：1
[2
-，1]，又()sin 23f ππ==
即2m π…，故m 的最小值为：2
π
，
故选：B ．
12．函数1()|21|x x f x e e b x -=---在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )
A ．((1,)e e -
B ．(1e -，0)(0⋃，1)e -
C ．(10)
(0,1)e - D ．(1,(,1)e e e ---
【解答】解：11
()2||2
x x f x e e b x -=---， 设12t x =-
，则12
x t =+， 01x <<，11
22
t ∴-
<<， 则函数()f x 等价为1
12
2
2||t t y e e
b t +-=--，
即等价为112
2
2||t t y e e
b t +-=--在11
22
t -<<上有两个零点，
即11
2
2
2||t t e
e
b t +--=有两个根， 设112
2
()t t h t e
e
+
-=-，
则111122
2
2
()()()t t t t h t e e
e
e
h t -+
+
--=-=--=-，即函数()h t 是奇函数，
则11
2
2
()0t t h t e
e
+
-'=+>，即函数()h t 在11
22
t
-剟上是增函数， (0)0h =，1()12h e =-，1
()12
h e -=-，
当1
02
t
剟， 若0b =，则函数()f x 只有一个零点，不满足条件． 若0b >，则()2g t bx =，
设过原点的直线()g t 与()h t 相切，切点为112
2
(,)a a a e
e
+--，
112
2
()t t h t e
e
+
-'=+，即h '（a ）112
2
a a e
e
+
-=+， 则切线方程为11112
2
2
2
()()()a a a a y e e
e
e
x a +-+
---=+-，
切线过原点， 则11112
2
2
2
()()a a a a e e a e e
+-+
---=-+，
即1111222
2
a a a a e
e
ae
ae
+
-+
--+=--，
则112
2
(1)(1)a a a e
a e -++=-+，
得0a =，即切点为(0,0)，此时切线斜率1112
2
2
(0)2k h e e e ='=+=
若1
2
22e b =，则12
b e ==，此时切线y =与()h t 相切，只有一个交点，不满足条件． 当直线过点1(2，1)e -时，1
122
e b b -=⨯=，
此时直线()2(1)g t e x =-，
要使()g t 与()h t 1b e <<-， 当0b <时，0t <时，()2g t bx =-， 由1
2
22b e -=
得b =，当直线过点1(2-，1)e -时，1
12()2
e b b -=--=，
要使()g t 与()h t 有两个交点，则1e b -<<，
综上1e b -<<1b e <<-，
即实数b 的取值范围是(1,(,1)e e e ---，
故选：D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答題卡对应題号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = 3
．
【解答】解：函数2()(1)(23)2(32)3f x x x a x a x a =++=+++ 函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，
222(32)32(32)3x a x a x a x a ∴-++=+++
320a ∴+=
2
3a ∴=-，
故答案为：2
3
a =-
14．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若11
5,,cos 3
14
a B A π
===
，则ABC ∆的面积S =
【解答】解：ABC ∆中，11
cos 14
A =
，可得：sin A ==，
∴
由正弦定理可得：sin 7sin a B b A =
==， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：249255c c =+-，解得：8c =或3-（舍去），
11sin 5822ABC S ac B ∆∴=
=⨯⨯=．
故答案为：．
15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点1P ，2P ，310P P ⋯，则12310()AF AP
AP AP AP +++⋯+= 180
．
【解答】解法一：特殊位置法．
令这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点， 则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=， 以A 为原点，AD 方向为x 轴建立坐标系，
故F
，11(2M
AF =
，11(2AM =
∴原式10180AF AM ==
故答案为：180． 解法二：（几何法）
由图知，AFC ∆中，60ACF ∠=︒，2AC FC ==， 知，AFC ∆为以90AFC ∠=︒的直角三角形． AF FC ∴⊥，30FAC ∠=︒．
又//GD FC ，AF GD ∴⊥． 又 点1P ，2P ，10P ⋯在线段GD 上， (1i AF DP i ∴⊥=，2，3，⋯，10) ∴原式110()AF AD DP AD DP =++⋯++
1210(10)AF AD DP DP DP =+++⋯+ 11010AF AD AF DP AF DP =++⋯+ 10AF AD =
106cos30=⨯⨯︒ 180=．
故答案为：180． 16．已知函数2()cos
2
x
f x x π=，数列{}n a 中，*()(1)()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前
100项之和100S = 10200 ． 【解答】解：
2()cos
2
x
f x x π=，
22(1)()(1)cos (1)cos
22
n n n a f n f n n n ππ
+∴=++=++， 222434342(43)cos
(42)cos (42)22
n n n a n n n ππ---=-+-=--， 同理可得：242(42)n a n -=--，241(4)n a n -=，24(4)n a n =．
2243424142(42)2(4)8(41)n n n n a a a a n n n ---∴+++=--+=-．
∴数列{}n a 的前100项之和1008(3799)10200S =⨯++⋯+=．
故答案为：10200．
三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：
共60分.
17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211
(1)n
n n n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1
|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为12n n S na +=⋯⋯①， 所以12(1)n n S n a -=-⋯⋯②，
②-①得：12(1)n n n a na n a +=--，2n …
， 所以
11n n a a n n +=+，则{}n a
n
为常数列， 又2122a S ==， ∴
212
n a a n ==， ∴(2)n a n n =…
当1n =时也满足，所以n a n =，n N ∈ （Ⅱ）2112111
(1)(1)(1)()(1)1
n
n n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++， 当n 为偶数时，1111111(1)()()()2233411n n
T n n n =-+++-++⋯++=-
++， 当n 为奇数时，11111112
(1)()()()2233411
n n T n n n +=-+++-++⋯-+=-
++， 综上，1
,1
11,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩
为偶数为奇数，
则11|1|1201912019
n T n n +=
<⇒+>+， 2018n ∴>，n 的最小值为2019．
18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上160BAC CAA ∠=∠=︒，且12AB AC AA ===． ()I 求证：11B C A B ⊥；
（Ⅱ）求二面角1A B C B --的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连结BD 、1AB ， 1A D AC ⊥，160CAA ∠=︒，1AC AA =，
D ∴是AC 的中点，
又AB AC =，60BAC ∠=︒，BD AC ∴⊥， 1A D
BD D =，AC ∴⊥平面1A BD ，
1AC A B ∴⊥，
又11AA B B 是平行四边形，1AB AA =，11AB A B ∴⊥， 1AC
A B A =，1A B ∴⊥平面1AB C ，
11B C A B ∴⊥．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC 、DB 、1DA 两两垂直，
故以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
(0A ，1-，0)，B 0，0)，(0C ，1，0)，1(0A ，0，
∴1(0AA =，1，
设10(B x ，0y ，0)z ，则1000(,)BB x y z =，
11AA BB =，∴0000,1,x y z -===1B ∴1，
∴1(3AB =，2，(0AC =，2，0)，
设平面1AB C 的一个法向量(m x =，y ，)z ，
则132020
m AB x y m AC y ⎧=++=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1m =1)-，
10
cos ,||||5
m n m n m n ∴<>=
=，
∴二面角1A B C B --．
19．如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（常数为锐角）拟用长度为(l l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =．
（1）求方案一中养殖区的面积1S ；
（2）求方案二中养殖区的最大面积（用θ，l 表示）； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 【解答】解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=， 2l
r θ
∴=
． 2
11224l l S l θθ∴=⨯⨯=．
（2）设OC x =，OD y =，
则2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+--…
， 可得：2
24l xy sin θ…，当且仅当x y =时取等号．
∴养殖区的最大面积22
22
1sin 2244tan l l S sin θθθ
=⨯⨯=；
（3）
12tan S S θ
θ
=
， 令()tan f θθθ=-，则22()sec 1tan 0f θθθ'=-=>，
()f θ∴在(0,)2
π
上单调递增．
(0)0f =． 12S S ∴>．
当(0,)2
π
θ∈时，选取方案一．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值．
【解答】解：（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2
p y =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12
p MF =+， 所以122
p
+
=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3⋯分 （2）因为214y x =
，所以1
2
y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21
()42
t y t x t -
=-． 令0y =，则2t x =，即点(,0)2t
P ．
因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF 的方程为2()2
t
y x t =--，即20x ty t +-=．
则点2(,)4t E t 到直线PF
的距离为3
d ==
5⋯分 联立方程2
4
20x y x ty t ⎧=
⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为△2242(216)464(4)0t t t =+-=+>，
所以1y =
2y =，
所以221212222164(4)
1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7⋯分 所以EAB ∆
的面积为322
2
214(4)1(4)
22||
t t S t t ++=
⨯=⨯
． 不妨设3
2
2
(4)()(0)x g x x x +=
>，则1
2
2
22
(4)
()(24)x g x x x
+'=-．
因为(0,x ∈时，()0g x '<，所以()g x
在(0,
上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x
在)+∞上单调递增．
所以当x =
3
2
4)
()min g x =
=．
所以EAB ∆
的面积的最小值为．10⋯分． 21．已知函数()mx
f x lnx
=
，曲线()y f x =在点2(e ，2())f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数2()()1
kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．．
【解答】解：（Ⅰ）函数()mx
f x lnx =的导数为2(1)()()m lnx f x lnx -'=，
又由题意有：2121
()2242
m f e m '=⇒=⇒=， 故2()x
f x lnx
=
． 此时2
2(1)
()()lnx f x lnx -'=，由()001f x x '⇒<<…或1x e <…，
所以函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1，]e ． （Ⅱ）22()()()()11
kx kx g x f x g x x x lnx x =-⇒=---，且定义域为(0，1)(1⋃，)+∞， 要函数()g x 无零点，即要21
kx lnx x =-在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内无解， 亦即要2(1)0x klnx x
--=在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内无解． 构造函数22(1)2()()x kx h x klnx h x x x --'=-
⇒=． ①当0k …时，()0h x '<在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内恒成立，
所以函数()h x 在(0,1)内单调递减，()h x 在(1,)+∞内也单调递减．
又h （1）0=，所以在(0,1)内无零点，
在(1,)+∞内也无零点，故满足条件；
②当0k >时，222()2()()k x kx k h x h x x x
--''=⇒=， （1）若02k <<，则函数()h x 在(0,1)内单调递减， 在2(1,)k 内也单调递减，在2(,)k
+∞内单调递增． 又h （1）0=，所以在(0,1)内无零点； 易知2()0h k <，而2222()20k k
h e k k e =-+>， 故在2(,)k
+∞内有一个零点，所以不满足条件； （2）若2k =，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增．
又h （1）0=，所以(0x ∈，1)(1⋃，)+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件；
（3）若2k >，则函数()h x 在2(0,)k 内单调递减，在2(,1)k
内单调递增， 在(1,)+∞内也单调递增．又h （1）0=，所以在2(,1)k
及(1,)+∞内均无零点． 又易知2()0h k
<，而2()()2222k k k h e k k e e k -=--+=--， 又易证当2k >时，()0k h e ->，
所以函数()h x 在2(0,)k
内有一零点，故不满足条件． 综上可得：k 的取值范围为：0k …或2k =．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t t
t t x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩
（其中t 为参数）在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极
坐标方程为sin()3
πρθ-= （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．
【解答】解：（Ⅰ）平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t t
t t x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩
（其中t 为参数），
∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=，(2)x …
， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y -=，得2cos 2ρθ=曲线C 的直角坐标方程为
224x y -=，(2)x …，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y -=，得222(cos sin )4ρθθ-=，
∴曲线C 的极坐标方程为2cos 24()4π
ρθ=-． （Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ，
得222(cos sin )2cos 2ρθθθ-=，
22223cos sin 2(cos sin )θθθθ∴-+=-，
cos 0θ≠，23tan 10θ∴-+=，
∴方程的解为tan θ=6
πθ=，
代入sin()3
πρθ-=ρ=
∴直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标为，)6π
． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数2()1f x x x =-+，且a ，b ，c R ∈．
（Ⅰ）若1a b c ++=，求f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值；
（Ⅱ）若||1x a -<，求证：|()f x f -（a ）|2(||1)a <+．
【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式可得2222222()(111)()1a b c a b c ++++++=…，当且仅当
13
a b c ===时取等号， 即22213
a b c ++…； f ∴（a ）f +（b ）f +（c ）22217()()3123
3a b c a b c =++-+++-+=…， 即f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值为7
3．
证明：（Ⅱ）||1x a -<，
|()f x f ∴-（a ）22||()()||||1||1|x a x a x a x a x a =---=-+-<+-
|()(21)||||21|1(2||1)2(||1)x a a x a a a a =-+--+-<++=+…，
故结论成立。