江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用9第9讲函数模型及其应用课件

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
1．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案， 在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时， 奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x＋b.某业务员 要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________万元．
第二章
基本初等函数、导数的应用
第9讲
函数模型及其应用
常见函数模型 (1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x 的系 数 k>0)，通过图象可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特点
快 (a>1)， 是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越_____
解：(1)作 PQ⊥AF 于 Q(图略)， 所以 PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， x－4 4 EQ EF 1 所以 PQ ＝FD，即 ＝2.所以 y＝－2x＋10， 8－y 其定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米， 则
x 1 S(x)＝xy＝x 10－2 ＝－2(x－10)2＋50，
②当 x＞7 时，y＝1.8×200x＋236＋70＋200×0.03×[(x－7)＋ (x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432， 所以
* 370x＋236，0＜x≤7且x∈N y＝ 2 *. 3x ＋321x＋432，x＞7且x∈N
设该厂 x 天购买一次配件时，平均每天支付的费用为 f(x)元， 236 * 370 ＋ ， 0 ＜ x ≤ 7 且 x ∈ N x 则 f(x)＝ . 432 * 3x＋ ＋ 321 ， x ＞ 7 且 x ∈ N x 236 当 0＜x≤7 时，f(x)＝370＋ x ，f(x)是(0，7]上的减函数，
(2019· 盐城月考)如图所示， 已知边长为 8 米的 正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米，CD＝6 米．为合 理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM， 使点 P 在边 DE 上．
(1)设 MP＝x 米，PN＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数 的解析式及定义域； (2)求矩形 BNPM 面积的最大值．
(1)分段函数模型的应用 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变 量的取值区间．对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的 解析式．需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者 或最小者． (2)应用分段函数时的三个注意点 ①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． ②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． ③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再求各 段函数值范围的并集．
a＋ b ＝ 1， alog48＋b＝1 解析：依题意得 ，即2 alog464＋b＝4 3 3a＋b＝4. 解得 a＝2，b＝－2. 所以 y＝2log4x－2，当 y＝8 时，即 2log4x－2＝8. x＝1 024(万元)．
答案：1 024
2． 某养殖场需定期购买饲料， 已知该场每天需要饲料 200 千克， 每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管费与其他费用平均每 千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元．求该场多少 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 解：设该场 x(x ∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最 少，平均每天支付的总费用为 y1.
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03 ＝ 6(元)，所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－ 2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)． 1 2 300 从而有 y1＝x(3x －3x＋300)＋200×1.8＝ x ＋3x＋357≥417， 300 当且仅当 x ＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值． 故该养殖场 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用 最少．
设
2 m ≥－ 10 t ＋10t＋1 1 1 1 ＝t，则4≤t≤1，故 (4≤t≤1)恒成立． 2 x m≤20t ＋10t＋1 2
由 m≥－10t
12 71 ＋10t＋1＝－10t－2 ＋24≤t≤1恒成立得
7 m≥2
1 (当 t＝2时取等号)． 由 m≤20t
所以当 x＝7 时， 2 826 f(x)有最小值 7 .
144 432 当 x ＞ 7 时， f(x) ＝ 3x ＋ x ＋ 321 ＝ 3 x＋ x ＋ 321≥3×2×
144 x× x ＋321＝393， 144 当且仅当 x＝ x ， 即 x＝12 时取等号． 2 826 又 7 ＞393，所以当该厂 12 天购买一次配件时才能使平均每 天支付的费用最少．
解析：T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．
答案：78 ℃
3．(2019· 江苏省高考名校联考信息卷(八))某油库的设计容量为 30 万吨，某年年初石油储量为 10 万吨，从该年年初起计划每 月购进石油 m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内 每月用石油 1 万吨， 区域外前 x 个月的需求量 y(万吨)与 x 的函 数关系式为 y＝ 2px(p>0，1≤x≤16，x∈N*)，并且前 4 个月 区域外的需求量为 20 万吨． (1)试写出第 x 个月石油调出后，油库内储油量 M(万吨)与 x 的 函数关系式； (2)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区 域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量 不超过油库的总容量，试确定 m 的取值范围．
解：(1)由条件得 20＝ 2p·4⇒p＝50， 所以 y＝10 x(1≤x≤16，x∈N*)． M＝10＋mx－x－10 x(1≤x≤16，x∈N*)． (2)因为
10＋mx－x－10 0≤M≤30，所以 10＋mx－x－10
x≥0 (1≤x≤16，x x≤30
∈N*)恒成立， 10 10 m≥－ x ＋ x＋1 即 (1≤x≤16，x∈N*)恒成立， m≤20＋ 10 ＋1 x x
S(x)是关于 x 的二次函数， 且其图象开口向下， 对称轴为 x＝10， 所以当 x∈[4，8]时，S(x)单调递增．所以当 x＝8 米时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米．
分段函数模型(高频考点) (2019· 江苏省四星级学校联考 ) 某品牌开发了一种新产 品，欲在沿海城市寻找一个工厂代理加工生产该新产品，由于 该新产品的专利保护要求比较高，某种核心配件只能从总公司 购买并且由总公司统一配送， 该厂每天需要此核心配件 200 个， 配件的价格为 1.8 元/个，每次购买配件需支付运费 236 元．每 次购买来的配件还需支付保密费用(若 n 天购买一次， 则需要支 付 n 天的保密费用)，其标准如下：7 天以内(含 7 天)，均按 10 元/天支付；7 天以外，根据当天还未生产时剩余配件的数量， 以每天 0.03 元/个支付．
一次函数、二次函数模型 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门 的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为 一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的 1 2 函数关系可近似地表示为： y＝2x －200x＋80 000， 且每处理一 吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．该单位每月 能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至 少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
2
1 ＋ 10t ＋ 1 4≤t≤1 恒成立得
19 1 m≤ 4 ( 当 t ＝ 4 时取等
7 19 号)，所以2≤m≤ 4 .
1．必明辨的 1 个易错点 解决实际问题忽视定义域． 2．必会的 1 种方法 解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选 择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号 语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
某市有两家乒乓球俱乐部，其收费标准不同， A 俱乐部每张球台每小时 5 元；B 俱乐部按月收费，一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元， 超过 30 小时的部分每 张球台每小时 2 元．某学校准备下个月从这两家中的一家租一 张球台开展活动，其活动时间不少于 15 小时，也不超过 40 小 时． (1)设在 A 俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的费用为 f(x)元 (15≤x≤40)； 在 B 俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的费用为 g(x)元(15≤x≤40)，试求 f(x)和 g(x)； (2)问选择哪家比较合算？为什么？
解：(1)由题意，可得 f(x)＝5x(15≤x≤40)． 当 15≤x≤30 时，g(x)＝90， 当 30<x≤40 时，g(x)＝90＋(x－30)×2＝2x＋30， 所以
90，15≤x≤30， g(x)＝ 2x＋30，30<x≤40.
(2)当 5x＝90，即 x＝18 时，f(x)＝g(x)； 当 15≤x<18 时，f(x)＝5x<90，g(x)＝90， 所以 f(x)<g(x)； 当 18<x≤30 时，g(x)＝90， 而 f(x)＝5x>5×18＝90，
1．某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r， 存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变 化的函数关系式是________．
解析：由指数函数模型得 y＝a(1＋r)x.
答案：y＝a(1＋r)x
2．某物体一天中的温度 T(单位：℃)是时间 t(单位：h)的函数： T(t)＝t3－3t＋60，t＝0 表示中午 12：00，其后 t 取正值，则下 午 3 时的温度为________．
(1)当 9 天购买一次配件时，求该厂用于配件的保密费用 p(元) 的值； (2)设该厂 x 天购买一次配件，求该厂在这 x 天中用于配件的总 费用 y(元)关于 x 的函数关系式， 并求该厂多少天购买一次配件 才能使平均每天支付的费用最少．
【解】 (1)当 9 天购买一次配件时，该厂用于配件的保密费用 p＝70＋0.03×200×(2＋1)＝88(元)． (2)①当 0＜x≤7 时，y＝1.8×200x＋10x＋236＝370x＋236.
【解】
设该单位每月获利为 S，则 S100x－y1 2 ＝100x－2x －200x＋80 000
1 2 ＝－2x ＋300x－80 000 1 ＝－2(x－300)2－35 000， 因为 400≤x≤600，所以当 x＝400 时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏 损．
(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数 模型， 其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降 (自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图 象与单调性求解． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润 问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与 单调性解决．
常形象地称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增
快 (a>1)，但随着 x 的逐渐增 长的特点是开始阶段增长得较_____ 慢 ，常称之为“蜗牛式增长”． 大，其函数值的变化越来越_____
(4) 幂函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随 xα 中 α 的取值变化而定，常见的有二次函数模型． a (5)“对勾”函数模型：形如 f(x)＝x＋x(a>0，x>0)的函数模型， 在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决， 有时利用函数的单调性求解最值．