精品解析：【校级联考】江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考理科数学试题(解析版)

2019年江西省高三联合考试
数学试卷（理科）
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解分式不等式求得集合A，求对数函数定义域求得集合B，由此求得两个集合的交集
【详解】由解得，由解得，故，故选C.
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查对数函数定义域，考查集合的交集，属于基础题
2.已知复数，则复数的虚部为（）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.
【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.
【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题. 3.抛物线的焦点是直线
与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.
【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为
，故
，即
抛物线的方程为
，故准线方程为
，故选D.
【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.
4.下列命题中正确的是（ ） A. 若为真命题，则为真命题. B. “”是“
”的充要条件. C. 命题“，则或
”的逆否命题为“若或
，则”.
D. 命题：，使得
，则
：
，使得
.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据且、或命题真假性判断A 选项真假，根据充要条件知识判断B 选项真假，根据逆否命题的概念判断C 选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D 选项真假. 【详解】对于A 选项，当真时，
可能一真一假，故
可能是假命题，故A 选项为假命题.对于B
选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B 选项为真命题.对于C 选项，原
命题的逆否命题为“若
且
，则”，故C 选项为假命题.对于D 选项，原命题为特称
命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.
5.等差数列前项和为，，则（）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质求得，利用前项和公式求得.
【详解】由于数列为等差数列，故，所以，故选A.
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的
性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A. 2019
B. 2018
C. 2017
D. 2016
【答案】B
【解析】
【分析】
运行程序，找出规律，当不满足时，退出循化，输出的值.
【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，……，依次类推，当为奇数时，为，当为偶数时，为，，判断否，输出，故选B. 【点睛】本小题主要考查程序框图的运算结果，考查合情推理，属于基础题.
7.设，，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的正负，计算出的值，由此比较出三者的大小.
【详解】由于，故，
，故，而，故，所以，故选A. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题.
8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据三角函数图像求得的解析式，然后求得需要平移的单位长度.
【详解】由于，故，所以，，由，求得，
故，故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到，故选A. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 求解
的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用底面的外心和高的一半求得球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】画出几何体的直观图如下图所示，设球心为，底面等边三角形的外心为，由三视图可知，设球的半径为，则，故球的表面积为，故选C.
【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.要找到几何体外接球的球心，主要根据几何体的结构，利用球心到球面上的点的距离相等，通过解直角三角形来求解出半径，从而求得球的表面积或者体积.
10.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化
简后求得离心率.
【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得
，故，设焦点坐标为
，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即
，两边除以得，解得.故，
故选B.
【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
11.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。

现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】
先将种产品分成三组，然后存放在三个仓库，由分步乘法计数原理求得安全存放的方法种数.
【详解】设种产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有
，，，，共种，每一种分组方法安排到个仓库，有种方法，故总的方法种数有种，故选D.
【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，属于中档题.
12.设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确个数的有（）
（1）（2）190是数列中的项
（3） （4）当
时，取最小值 A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C 【解析】 【分析】 先求得的结果，归纳推理得到个数的表达，即的值，由此对四个结论逐一分析，从而得出正
确选项. 【详解】当
时，，故
.当时，，，，
，故
.当
时，
，
，
，故
，
共有个数，即，故（1）结论正确.以此类推，当
，时，，
，
故
可
以
取
的
个
数
为
，即
，当
时上式也符合，所以
；
令，得
，没有整数解，故（2）错误.
，所以
，故，所以（3）判断正确.，
，当
时
，当
时
，故当
时取得最小值，故（4）正
确.综上所述，正确的有三个，故选C.
【点睛】本小题主要考查取整函数的理解，考查分析和推理的能力，考查裂项求和法，考查数列最小值的求法，综合性很强，属于难题.当数列的通项公式是两个等差数列相乘的倒数时，求前项和的方法是裂项相消求和法.基本不等式等号不成立时，可在附近的整数点来求取本题（4）所要求的最小值.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量，满足，
，且
，则向量在向量方向上的投影为_________．
【答案】-1
【分析】
利用，得到，由此计算出，进而求得向量在向量方向上的投影.
【详解】由于，所以，即，，所以向量
在向量方向上的投影为.
【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量投影的计算，属于基础题.
14.已知实数，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】
画出可行域，由此判断出目标函数在在点处取得最大值，并求得最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.
【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查非线性目标函数的最大值，属于基础题.
15.已知的展开式中含项的系数为-14，则______．
【答案】
【解析】
根据乘法分配律求得系数的表达式，由此求得的值，利用几何意义计算出定积分.
【详解】根据乘法分配律得，，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故
.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查利用几何意义计算定积分，属于中档题.
16.在棱长为1的正方体中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为，以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为，则正方体体对角线在，公共部分的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图像，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，根据比例计算出在，公共部分的长度.
【详解】画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得
，故.
【点睛】本小题主要考查正方体的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17.已知锐角面积为，，，所对边分别是，，，，平分线相交于点，且
求：（1）的大小；
（2）周长的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式和余弦定理化简已知条件，求得的值进而求得的大小.（2）设周长为，，利用正弦定理求出的长，由此求得周长的表达式，利用辅助角公式化简后，根据三角函数求最值的方法求得周长的最大值.
【详解】（1）∵，∴，
故：.
（2）设周长为，，则，
∵、分别是、的平分线，，∴.
由正弦定理得，
，
.
∵，∴，
当时，周长的最大值为.
【点睛】本小题主要考查正弦定理的应用，考查余弦定理和三角形面积公式的应用，考查三角恒等变换，属于中档题.
18.某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；
（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研
机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（ii）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：①，；②.
【答案】（1），返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（2）（i），中位数的估计值
为，（ii）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程，令求得返回个点时该商品当天销量.（2）（i）用每组的中点值乘以频率，然后相加，得到平均值的估计值.中位数为第个数，利用减去第一组和第二组的人数，除以第三组的总人数，得到的数值加上可得到中位数的估计值. （ii）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列，进而计算出数学期望.
【详解】（1）易知，，
，
，
.
则关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.
（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值，及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为
.
（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.
，，，
故随机变量的分布列为
.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用频数分布表计算平均值和中位数，考查超几何分布的计算，属于中档题.
19.已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所在平面为角，，
，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，结合证得平面，
由此证得平面平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面
的法向量，来计算出二面角的余弦值.
【详解】（1）∵平面平面且平面平面，且，∴平面，∴，又∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所在平面成，∴，又∵，，如图建立空间直角坐标系
，，，，由，得，
设平面，平面的法向量分别为
，，，
，，，
，得，，得，
，二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，属于中档题.
20.已知椭圆：，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线：.
（1）求椭圆方程；
（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）以为直径的圆能过两定点、
【解析】
【分析】
（1）根据以及，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，两点的坐标，根据直线的方程求得两点的坐标，由此求得以为直径
的圆的方程.联立直线的方程和椭圆的方程，利用韦达定理写出两点坐标的关系，代入圆的方程进行化简，由此求得圆和轴交点的坐标.当直线斜率不存在时，求得点的坐标，求得为直径的圆的方程，由此求得该圆也过直线斜率存在时的两个点.由此判断出圆过定点，并得到定点的坐标.
【详解】（1），得，所求椭圆方程：.
（2）当直线斜率存在时，设直线：，、，
直线：，
令，得，同理，
以为直径的圆：，
整理得：①
，得，
，②
将②代入①整理得：，令，得或.
当直线斜率不存在时，、、、，
以为直径的圆：也过点、两点，
综上：以为直径的圆能过两定点、.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆交点的求法，考查已知圆直径端点的坐标求圆的方程的方法，综合性较强，需要一定的运算求解能力.直线和圆锥曲线联立方程，消元后得到的一元二次方程往往含有参数，此时一般考虑用韦达定理表示两根之间的关系.
21.已知函数，.
（1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；
（2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，求得斜率和切点的坐标，利用点斜式写出切线方程.根据函数的导数求得函数的单
调区间，由此求得函数的最大值.（2）将两个零点代入函数的解析式，将得到两个方程相减，化简为
的表达式，通过令，将所要证明的不等式转化为证明，构造函数
，利用导数证明，由此证得原不等式成立.
【详解】（1）解：当，时，，，
则，切点为，故函数在处的切线方程为.
令，则在是减函数，
又，∴，，，，，，
在上是增函数，在是减函数，.
（2）证明：∵，是的两个零点，不妨设，
∴，
，，
∴，，
相减得：
，
，
∴，
令，即证，，
，
令，，，
在上是增函数，又∵，
∴，，命题得证.
【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，综合性较强，属于难题.在求解有关函数零点的问题过程中，要注意利用在零点位置函数值为零这一特点来列方程，得到两个零点的关系式，再转化为题目所要求证的问题来解决.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，已知曲线：与曲线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知：与，的公共点分别为，，，当时，求的值. 【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，求得的极坐标方程.先将的参数方程消参得到直角坐标方程，再根据
求得的极坐标方程.（2）将代入的极坐标方程，求得的表达式，代
入，由此计算出的值.
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即.
曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知，，
∴，
∵，∴，，
由，知，当，∴.
【点睛】本小题主要考查直角坐标方程、参数方程转化为极坐标方程的方法，考查利用极坐标的概念求解有关边长比值的问题，属于中档题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求的解集；
（2）若关于的不等式能成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法去绝对值，将转化为分段函数的性质，由此求得不等式的解集.（2）将原不等式
转化为能成立，利用换元法令，将上述不等式转化为
能成立,根据（1）中分段函数的表达式求得的最大值，
由绝对值不等式求得的最小值，由上述最小值小于上述最大值列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1），
故的解集为.
（2）由，能成立，
得能成立，
即能成立，
令，则能成立，
由（1）知，，又∵，
∴，∴实数的取值范围：.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查能成立问题的求解策略，考查绝对值不等式，考查分析和求解能力，属于难题.。