2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(文科)含解答

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列命题中，正确的是
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】解：对于A，要满足，，才能得到，故错；
对于B，时，由，得，故错；
对于C，若，，则或或，故错；对于D，若，则，则，故正确；
故选：D．
A，要满足，，才能得到；
B，时，由，得；
C，若，，则或或；
D，若，则，则；
本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．
2.一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中
A. 真命题与假命题的个数不同
B. 真命题的个数一定是偶数
C. 真命题的个数一定是奇数
D. 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
【答案】B
【解析】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，
原命题与逆否命题具有相同的真假性，
否命题与逆命题具有相同的真假性，
真命题的若有事成对出现的，
真命题的个数一定是一个偶数．
故选：B．
根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的．
本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目．
3.若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹为
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
【答案】D
【解析】解：点P到直线的距离比它到点的距离小1，
点P到直线的距离和它到点的距离相等，
故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
即，则点P的轨迹方程为，
故选：D．
由题意得，点P到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，写出抛物线的方程．
本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，是解题的关键．
4.等差数列中，若，则
A. 256
B. 512
C. 1024
D. 2048
【答案】C
【解析】解：等差数列中，若，
可得，
则
．
故选：C．
运用等差数列的性质和指数的运算性质，结合等差数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等差数列的性质和求和公式，以及指数的预算性质，考查运算能力，属于基础题．
5.已知函数既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取
值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：函数既存在极大值，又存在极小值
有两异根，
，
解得或，
故选：D．
求出函数的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m的范围．
利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反．
6.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分的条件是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意；
“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；B 不正确．
“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；C不正确；
“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；D不正确．
故选：A．
欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个“”能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可．
本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．
7.若，则的最小值为
A. B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】解：设，因为，则，
则，
由“对勾函数”的性质可得：
在为减函数，
即，
故选：C．
由三角函数的有界性得：，因为，则，
由对勾函数的单调性得：在为减函数，即
，得解．
本题考查了三角函数的有界性及对勾函数的单调性，属中档题．
8.平面四边形ABCD中，若，，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：中，，，
，得．
，，．
故选：B．
由平面几何知识，不难算出，从而求得AC，AD即可．
此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
9.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】解：由题意知，抛物线的焦点坐标点，直线AB的方程为，由，得，设，，
则，，
，
，
故选：A．
由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，
设出、两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得
，由韦达定理可以求得答案．
本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．
10.若函数的导函数的图象如图所示，则函数
的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由的图象知，当时，，时，，即当时，，排除B，C，
当时，，排除A，
故选：D．
根据的图象得到当时，，时，，然后讨论x 的范围得到函数取值是否对应进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数符号的一致性进行排除是解决本题的关键．
11.若P是椭圆上的点，点Q，R分别在圆：和圆：
上，则的最大值为
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】B
【解析】解：椭圆中，，
椭圆两焦点，恰为两圆和
的圆心，
，准线，
过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，
连接，，并延长，分别交两圆于，，
则
．
故选：B．
椭圆中，，故椭圆两焦点，恰为两
圆和的圆心，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则
，由此能求出的最大值．
本题考查椭圆和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
12.已知函数的图象过点，为函数的导函数，e为自然
对数的底数若1'/>恒成立，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设，
则，
1'/>恒成立，
恒成立，
单调递增，
，
，
不等式，
，
，
故选：C．
构造函数设确定在R单调递增，即可求出不等式的解集．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为______．
【答案】
【解析】解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，
离心率，
，，
又，
，
，
当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为，
双曲线的两条渐近线互相垂直所成的角是；
故答案为：．
设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率，可
求得，从而可求双曲线的两条渐近线所成的角．
本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．
【答案】1
【解析】解：由x，y满足约束条件作
出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过点A时，直线在
y轴上的截距最小，z有最小值为1．
故答案为：1．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程
的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求
得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，依此规律，这个数
列前44项之和为______．
【答案】116
【解析】解：数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，
规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，
当第8个1后接8个3时，共有，
则前44项之和为．
故答案为：116．
由题意可得该数列规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后结8个3时，项数为44，计算可得所求和．
本题考查数列的求和，注意总结数列的规律，考查运算能力，属于基础题．
16.若长度为，4x，的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围
是______．
【答案】
【解析】解：，可得为最大边．
由于此三角形为钝角三角形，
，化为：，
由，解得．
又，解得：，
的取值范围为．
故答案为：．
，可得为最大边由于此三角形为钝角三角形，可得，解出，根据三角形两边之和大于第三边可求，即可得解
本题考查了余弦定理、不等式的解法、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知命题p：函数在定义域上单调递增；命题q：不等式
对任意实数x恒成立．
Ⅰ若q为真命题，求实数a的取值范围；
Ⅱ若“￢”为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ因为命题q：不等式对任意实数x恒成立为真命题，
所以或
综上所述：分
Ⅱ因为“￢为真命题，故p真q假．
因为命题p：函数在定义域上单调递增，所以分
q假，由可知或
所以或分
所以实数a的取值范围为，分
【解析】Ⅰ恒成立，时，，即，结果相并；
Ⅱ为真时，；￢为真，即q为假时，或，结果再相交．
本题考查了复合命题及其真假，属基础题．
18.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求A；
Ⅱ若，求的面积．
【答案】本小题满分12分
解：Ⅰ．
由正弦定理，得分
整理得，
分
因为，所以，
又，所以分
方法二：由余弦定理得：分
化简整理得：分
即，
又，所以分
Ⅱ由余弦定理得：，
，即，分
又，
解得，分
所以分
【解析】Ⅰ方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求，进而可求A；方法二：由余弦定理对已知进行化简可得，然后再由余弦定理可求，进而可求A；
Ⅱ由已知结合余弦定理可得，结合已知，可求b，c代入三角形面积可求．
本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式及两角和的正弦公式，诱导公式等知识的综合应用，数中档试题
19.设函数，曲线在点处的切线方程为
．
Ⅰ求b，c的值；
Ⅱ若，求函数的极值．
【答案】本小题满分12分
解：Ⅰ，分
由题意得解得：，分
Ⅱ依题意，由得，分
所以当时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增分
故的极大值为，的极小值为分
【解析】Ⅰ求出函数的导数，利用已知条件推出方程，然后求解b，c的值；
Ⅱ若，判断导函数的符号，然后求解函数的极值．
本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．
20.已知函数，数列的前n项和为，点在曲线
上．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前n项和．
【答案】本小题满分12分
解：Ⅰ因为点，在曲线
上，所以，
，分
当，时，
分
当，
时，，满足上式，分，
所以分，
Ⅱ因为，，
所以分，
，
分
【解析】Ⅰ利用点在曲线上，通过通项公式与数列的和关系，然后求解数列的通项公式；
Ⅱ化简数列，利用数列的裂项相消法，求解数列的前n项和．
本题考查数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与曲线相结合，考查计算能力．
21.椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ过点M作两条互相垂直的直线，，椭圆C上的点P到，的距离分别为，，求的最大值，并求出此时P点坐标．
【答案】本小题满分12分
解：Ⅰ由题意知，，
所以椭圆方程为：分
Ⅱ设，因为，则分
因为，所以
分
因为，
所以当时，取得最大值为，此时点分
【解析】Ⅰ利用椭圆的离心率，然后求解a，b，即可得到椭圆C的方程；
Ⅱ设，结合，然后求解的表达式，然后求解表达式的最大值，然后求解求解P点坐标．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．
22.已知函数．
Ⅰ当时，讨论的单调性；
Ⅱ证明：当时，．
【答案】本小题满分12分
解：Ⅰ，分
当时，．
令0'/>，得；令，得；分
所以在单调递增，在单调递减分
当时，令0'/>，得；
令，得或；分
所以在单调递增，在和单调递减分
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在和单调递减分
Ⅱ当时，分
令，则．
当时，，单调递减；
当时，0'/>，单调递增；分
所以因此分
方法二：
由Ⅰ得，当时，在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值；分
当时，，，分
所以当时，取得最小值；分
而，所以当时，分
【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过a的值，当时，导函数的符号，推出的单调性；
Ⅱ当时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．
方法二：判断当时，判断导函数的符号，求解函数的最小值，然后求解函数的最值．
本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．。