(优辅资源)四川省自贡市高三第一次诊断性考试理数试题 Word版含解析

四川省自贡市2017届高三第一次诊断性考试
理数试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫
=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭
，，则A B 为（ ）
A ．[]1 3，
B ．[)1 3，
C ．[)3 -∞，
D ．(]3 3-， 【答案】B
考点：1.不等式的解法；2.集合的运算. 2. 已知复数1
1z i i
=
++，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：1111
1(1)(1)22i z i i i i i i -=+=+=+++-,该复数对应的点为11(,)22
Z ，在第一象限，故选A.
考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.
3. 已知函数()f x 的定义域为R ，M 为常数.若p ：对x R ∀∈，都有()f x M ≥；q ：M 是函数()f x 的最小值，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分
也不必要条件 【答案】B 【解析】
试题分析：：对x R ∀∈，都有()f x M ≥/⇒M 是函数()f x 的最小值, M 是函数()f x 的最小值⇒对x R ∀∈，都有()f x M ≥,所以p 是q 的必要不充分条件，故选B. 考点：1.常用逻辑用语；2.充分条件与必要条件.
4. 如果128 a a a ，，…，为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C.1845a a a a +<+ D ．1845a a a a = 【答案】B
考点：等差数列的性质.
5. 已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝
⎭等于（ ）
A ．． D 【答案】A 【解析】
试题分析：因为24
cos 35
πα⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭，所以
111
sin sin sin sin cos sin 3222πααααααα⎛⎫⎫
++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎭
22
333πππααπα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫
=-+
-=+= ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
，故选A. 考点：三角恒等变换与诱导公式.
6. 已知集合{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===，，，，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）
A ．6
B ．32 C.33 D ．34 【答案】A 【解析】
试题分析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为113
2
3336C C A =，但集合B ，C 中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为：36333-=个,故选A.
考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.
7. 设()(32log f x x x =++，则对任意实数 a b ，，若0a b +≥，则（ ） A ．()()0f a f b +≤ B ．()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D ．()()0f a f b -≥ 【答案】B
考点：函数的奇偶性与单调性.
8. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如下表所示：
若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中a 的值为（ ） A ．3 B ．3.15 C.3.5 D ．4.5 【答案】D 【解析】
试题分析：a y bx =-，由回归方程： 2.5343456
0.350.70.744
a y x ++++++=-=
-⨯
，解
之得 4.5a =,故选D. 考点：线性回归.
9. 将函数2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则
函数()f x 的单调递增区间（ ）
A ．()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，
B ．()511 1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
， C.()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， D ．()719 2424k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
， 【答案】A. 【解析】
试题分析：函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期T π=，所以44T π=，函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图
象向右平移
4π后所得函数的解析式为()2sin 2()2sin(2)463f x x x πππ⎡
⎤=-+=-⎢⎥⎣
⎦，由
222()232
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈得函数()f x 的单调递增区间为
()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
，,故选A. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.
10. 已知{}0 1 2a ∈，
，，{}1 1 3 5b ∈-，，，，则函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，上为增函数的概率是（ ） A ．
512 B ．13 C.14 D ．1
6
【答案】B
考点：1.一次函数与二次函数的性质；2.古典概型.
【名师点睛】本题考查一次函数与二次函数的性质、古典概型，属中档题；求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
11. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）
A ．20
B ．21 C.22 D ．23 【答案】C
考点：程序框图.
【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图
的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
12. 设函数()()31x f x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（ ）
A ．23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B ．23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．2 1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
【答案】D 【解析】
试题分析：设()()31x g x e x =-，()h x ax a =-，则()()'32x g x e x =+，∴2 3x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，，
()'0g x <，()g x 单调递减；2 3x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
，，()'0g x >，()g x 单调递增，所以23x =-处
取得最小值2
33
e --
，所以()()010g a h =-<-=，()()1120g h e -=>，直线()h x ax a =-恒过定点()1 0，且斜率为a ，所以()()111420e g h a ----=-+≥，∴2
e
a ≥而1a <，∴a 的取值范围 12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于0（或小于0）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 在边长为1的正三角形ABC 中，设2 3BC BD CA CE ==，
，则AD BE ⋅= ． 【答案】1
4
-
考点：向量线性运算与数量积的几何运算.
14. 设实数x y
，满足
70
310
350
x y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪--≥
⎩
，则2
z x y
=-的最小值为．
【答案】8【解析】
试题分析：作出不等式组
70
310
350
x y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪--≥
⎩
表示的平面区域如图：
根据图形得：当直线2
z x y
=-经过点B时z取得最大值，
由
70
310
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
解得：()
5 2
B，，∴
max
5228
z=⨯-=
.
考点：线性规划.
15. 已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．
【答案】3π
考点:三视图.
【名师点睛】本题考查三视图，属基础题；解三视图相减问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体
16. 设()'f x 是函数()f x 的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，
为函数()f x 的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对
称中心，设函数()32342g x x x x =-++，利用上述探究结果 计算：1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
… ．
【答案】76
考点：1.新定义问题；2.导数的运算；3.函数的对称性.
【名师点睛】本题考查新定义问题、导数的运算、函数的对称性，属难题；解决新定义问题首先要对新概念迅速理解，并学以致用，本题注意经过两次求导得到的零点为函数的拐点，也是函数的对称中心，再就是对函数中心对称的性质在掌握，即若函数()f x 关于点(,)a b 成中心对称，则(2)()2f a x f x b -+=.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
在ABC △中， A B C ，，的对边分别为 a b c ，，， 83
C b π
==，，ABC △的面积为.
（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求()cos B C -的值. 【答案】（Ⅰ）7c =；（Ⅱ）13
14
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由1sin 2
ABC S ab C =⨯=△a ，再由余弦定理可求边c ；（Ⅱ）由
由（Ⅰ）已知三角形三边，则余弦定理可求cos B ，由同角三角函数基本关系求出sin B ，利用两角差余弦公式求之即可. 试题解析：（Ⅰ）已知3
C π
=
，8b =，
因为1sin 2ABC S ab C =⨯△，即158sin 23
π
=⨯⨯⨯，解得5a =，
由余弦定理得：2222cos 49c b a ab C =+-=解得7c = （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2224925641
cos 2707
a c
b B a
c +-+-===，
由于B
是三角形的内角，得sin B = 所以(
)1113
cos cos cos
sin sin
3
3
7214
B C B B π
π
-=+=
+⨯= （12分） 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换. 18. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121
1 2
b b ==，，若*n N ∈时，11n n n n a b b nb -+-=.
（Ⅰ）求{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）1
12n n b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；（Ⅱ）1
11042n n S n -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭
.
试题解析：（Ⅰ）由数列{}n b 满足121
1 2
b b ==
，，1n n n n a b b nb --=， 当1n =时，1221a b b b -=，即1113
322
a a =⇒=，
又因为数列{}n a 是公差为2的等差数列，所以21n a n =+ （3分） 由21n a n =+得()1121n n n n b b nb +++-=， 化简得：12n n b b +=，即
112
n n b b +=， 即数列{}n b 是以1为首项，以1
2
为公比的等比数列， 所以1
12n n b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
. （6分）
考点：1.等差数列、等比数列的定义与性质；2.错位相减法求和.
【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义与性质以及错位相减法求和，属中档题；，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数. 本题在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力,本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.
19. （本小题满分12分）
甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；
（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至第13次射击中获得优秀的次数ξ的分布列和期望. 【答案】（Ⅰ）乙比甲的射击成绩稳定；（Ⅱ）ξ的分布列：
()0.672E ξ=
（Ⅱ）由题意得：甲运动员命中8环及以上的概率为25
p =
， 则甲在第11至13次射击中获得优秀次数的情况为ξ取得0 1 2 3，，，， ∴()333270555125P ξ==⨯⨯=；()13233541555125P C ξ==⨯⨯⨯=
， ()2
23
2336
255125
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
()3
2835125
P ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭.
∴ξ的分布列：
∴()43688401230.672125125125125
E ξ=+⨯
+⨯+⨯== （12分 考点：离散型随机变量的概率分布列、期望与方差.
【名师点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列、期望与方差，属中档题；离散型随机变量的概率分布列、期望与方差一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频
率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注. 20. （本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ABC ⊥底面，112
AA AC AC ===，AB BC =且AB BC ⊥.
（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；
（Ⅱ）求二面角1A AC B --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）. 【解析】
试题分析：作AC 的中点O ，因为11A A AC =，且O 为AC 的中点可得1AO AC ⊥，又侧面11AAC C ⊥底面ABC ，由此可证1A O ⊥底面ABC ,以O 为坐标原点，OB 、OC 、1OA 所在直
线分别为 x y z ，，轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）写出相应点的坐标，求出1A B 与AC ，由
10A B AC ⋅=可证1A B AC ⊥；（Ⅱ）求出平面1
AAC 的法向量与平面1A CB 的法向量，由向量知识求即可.
试题解析：（Ⅰ）作AC 的中点O ，因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， ∴1
AO AC ⊥， 又侧面11AAC C ABC ⊥底面，其交线为AC ，且111AO AAC C ⊂平面， ∴1
AO ABC ⊥底面 （2分） 以O 为坐标原点，OB 、OC 、1OA 所在直线分别为 x y z ，，轴建立空间直角坐标系：
由已知得：()0 0 0O ，，，()0 1 0A -，，
，(10 0 A ，，()0 1 0C ，，
，(10 2 C ，， ()1 0 0B ，，
，则有：(1 1 0 A B =，，，()0 2 0AC =，，，10A B AC ⋅=， ∴1A B AC ⊥ （6分）
考点：1.空间直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.
21. （本小题满分12分）
已知函数()()()()()121
'10'2x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），
()()2
1 2
g x x ax b a R b R =
++∈∈，. （Ⅰ）求()f x 的解析式及极值； （Ⅱ）若()()f x g x ≥，求
()12
b a +的最大值.
【答案】（Ⅰ）()212x f x e x x =-+；()f x 的极大值为3(0)2
f =，无极小值；（Ⅱ）4e
.
试题解析：（Ⅰ）由已知得()()()1''10x f x f e f x -=-+， 令1x =，得()()()'1'101f f f =-+， 即()01f = （1分） 又()()'10f f e
=
，∴()'1f e =，
从而()21
2
x f x e x x =-+ （2分）
∴()'1x f x e x =+-，
又()'1x f x e x =+-在R 上递增，且()'00f =， ∴当0x <时，()'0f x <；0x >时，()'0f x >， 故0x =为极值点，∴()3
02
f = （2分） （Ⅱ）()()()2
1102
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()()'1x h x e a =-+，
①当10a +≤时，()()'0h x y h x >⇔=在x R ∈上单调递增，x ∈-∞时，
()h x -∞→与()0h x ≥相矛盾；
考点：1.导数的运算；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为15x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.
【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程4y x =-，曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y +-=；
（Ⅱ）2.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）直线方程中消去参数t 即可得到普通方程，在方程4cos ρθ=两边同乘以ρ，由极坐标与直角坐标互化公式转化即可得到曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心到直线
l 的距离减去半径即可得到P 到直线l 的距离的最小值.
试题解析： （Ⅰ）直线l
：152
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
消去参数t 得普通方程
4y x =- （2分）
由4cos ρθ=得24cos ρρθ=， 由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，以及222x y ρ+=， 整理得：()2
224x y +-= （2分）
考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.直线与圆的位置关系. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知a 是常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）设0m n >>，求证：22
1
222m n a m mn n
+
≥+-+. 【答案】（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的性质可得
12123x x x x +--≤++-=,31212x x x x =++-≤++-,从而可求得3a =；（Ⅱ）先作差得()()()
22
2
11
222m n m n m n m mn n m n +
-=-+-+-+-，再利用基本不等式可证之即
可.
试题解析：（Ⅰ）12123x x x x +--≤++-=，
31212x x x x =++-≤++-，
∵对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立， ∴3a = （4分） （Ⅱ）证明：()()()
22
2
11
222m n m n m n m mn n m n +
-=-+-+-+-， ∵0m n >>，
∴()()()
2
1
3m n m n m n -+-+
≥=-，
∴2
1
2232m n m mn n
+-≥-+，
即22
1
222m n a m mn n +
≥+-+ （10分）
考点：1.绝对值不等式的性质；2.不等式的证法；3.基本不等式.。