广州青教师初中数学解题比赛决赛试卷

2005年广州市青年教师初中数学解题比赛
决赛试卷
本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷.请将选择题和填空题地答案做在第3页地答卷上.全卷共三大题25小题，满分150分，考试时
间120分钟.第I 卷（选择题，共44分）
一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确地答案代号填在第3
页地答题卷上）
1、a 是任意实数，下列判断一定正确地是（）. （A ）a a ->（B ）
a a
<2
（C ）23a a >（D ）02≥a 2、已知集合},032|{},4|{22<--=<=x x x N x x M 则集合=⋂N M （ ）. （A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）}21|{<<-x x （D ）}32|{<<x x 3、若二次函数2y ax bx c =++地图象如图所示，则点（a ＋b ，ac ）在（ ）. （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限
4、同圆地内接正十边形和外切正十边形地周长之比等于（ ）.（A ）cos18°（B ）sin18°（C ）cos36°（D ）sin36°
5、用黑白两种颜色地正六边形地面砖按如下所示地规律，拼成若干个图案：
则第8个图案中有白色地面砖（）块
.
(A)34(B)36(C)38(D)40
6、将正方形地四边四等分，包括顶点共有16个点，这16个点可得到地 直线条数是（ ）. (A)120 (B)84 (C)82 (D)80
7、如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°， 则∠BCO 等于（ ）.（A ）20° （B ）30° （C ）40° （D ）50°
8、如果y x ,为实数，且,0)1(22=-+-y x x 则x 地取值范围是（）
. (A)任意实数 (B)负实数(C)2
1
0≤
<x (D)10≤≤x 9、方程012=-+x x 所有实数根地和等于（ ）.
(A)1-(B)1 (C)0 (D)5
10、将四个完全相同地矩形（长是宽地3倍），用不同地方式拼成一个大矩形， 设拼得地大矩形面积是四个小矩形地面积和，则大矩形周长地值只可能是（ ）. (A)1种(B)2种(C)3种(D)4种 11、一次函数b ax x f +=)(（a 为整数）地图象经过点（98，19），它与x 轴 地交点为（p,0）,它与y 轴地交点为（0，q ）,若p 是质数，q 为正整数，则满 足条件地所有一次函数地个数为（）.
(A)0 (B)1(C)2 (D)大于2地整数
第II 卷（非选择题，共106分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页地答题卷上） 12、函数x y lg =在定义域上是函数（填奇或偶）；
在区间上是增加地.
13、如图，有两个同心圆，大圆地弦AB 与小圆相切于点P ， 大圆地弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，两圆组成地圆 环地面积是.
14、已知t b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx x f +=)(一定通过第象限. 15、已知上的点，为上的点，为内一定点，为ON B OM A MON P MON ∠=∠,400
则当
PAB ∆地周长取最小值时，的度数为APB ∠. 16、已知实数b a ,满足t b a ab t b ab a 那么且,,12222--==++地取值范围是
O
C B A
D .
A
B
C
D
O
17、若c b a ,,为实数，且,2,0==++abc c b a 那么c b a ++地最小值可达到. 三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、（本题8分）若直线0=+-a y x 与圆122=+y x 相交，求实数a 地取值范围.
19、（本题8分）菱形ABCD 地边AB=5，对角线BD=6，且AC 与BD 相 交于点O ，沿BD 折叠得四面体ABCD ，已知该四面体地体积等于8， 求二面角A-BD-C 地大小.
20、（本题8分）设,0,1
2≠=++a a x x x
求1242
++x x x 地值.
21、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元. 在进行市场调
查后，为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了400套，总利润比计划多了4000元，问实际销售运动衣多少套？
每套运动衣实际利润多少元？
22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S. 作BC地平行线与
1
AB、AC分别交于D、E . 设三角形BDE地面积为M，求证：M≤S
4
23、（本题11分）已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC
＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=地两根，⑴求a 和b 地值；
⑵△'''C B A 与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将 △'''C B A 以1厘米/秒地速度沿BC 所在地直线向左移动.
ⅰ)设x 秒后△'''C B A 与△ABC 地重叠部分地面积为y 平方厘米，求y 与x 之间地函数关系式,并写出x 地取值范围； ⅱ)几秒后重叠部分地面积等于3
8平方厘米？
24、（本题11分）已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 地弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，经过E 作EF ⊥CE 交CB 地延长线于F.⑴ 求证：BC 是⊙P 地切线；
⑵ 若CD ＝2，CB ＝22，求EF 地长；
⑶ 若设k ＝PE:CE,是否存在实数k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出k 地值；若不存在，请说明理由. 25、（本题12分）如图，EFGH 是正方形ABCD
A M
A'
地内接四边形，两条对角线EG 和FH 相交于点O ，且它们所夹地锐角为θ，
CFH BEG ∠∠与都是锐角，已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 地面积为S ，（1） 求证：kl
S 2sin =
θ （2） 试用S l k 、、来表示正方形ABCD 地面积.
25、 （1）证明：
θθθθθθθθsin 2
1
sin 21sin 21
sin 21sin 21
sin 21sin 021
sin 021⋅=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++=+=∆∆∆∆∆∆kl FH EG OH EG OF EG OH GO OH EO F GO F EO S S S S S S S GOH EOH GOF EOF EHG
EFG 所以kl
S
2sin =θ
（2）解：PQRT DA CD BC AB H G F E 的垂线，得矩形、、、分别作、、、过.
设正方形ABCD 地边长为a,2222,,,a l c a k b c QR b PQ -=-===则, 由PEF BEF TEH AEH S S S S ∆∆∆∆==,， RGH DGH QFG GFC S S S S ∆∆∆∆==, 得S S S PQRT ABCD 2=+，
S a l a k a S bc a 2,2222222=-⋅-+=+∴即，
2222224)4(S l k a S l k -=-+∴，
由（1）知S kl l k S S
kl 42,2sin 222>≥+>=所以θ
， 故S
l k S l k a S ABCD
44222
222
-+-==
2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案
2005-3-20
一、选择题答案（每小题4分，共44分）二、填空题答案（每小题5分，共30分）
三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）
由题意，⎩⎨⎧=+-=+0
122a y x y x
⇒012222=-++a ax x
直线与圆相交，∴0>∆
即0)2(4)1(842
2
2
>--=--=∆a a a
则022
<-a ，即22<
<-a 时，有0>∆直线与圆相交
（此题可有几何方法，相应评分）
19、解： AO=OC=435BO AB 2
222=-=-，
易得 θ = ∠ ⊥ ⊥
AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 地平面角. .
sin 166sin 38
BD
S 31
V ,
sin 8sin 421
AOC sin OC AO 21
S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=
∆∆
依题意,8sin 16=θ得2
1
sin =
θ，又πθ<<0, 656
ππ
θ或
所以=
, 故所求二面角地大小为6
56ππ或
20、解：分析 已知式和要求值地式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们地倒数.
因为,0,1
2
≠=++a a x x x
故 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 C D
A
A
B
B D
C C
A
区 学校 姓名 考号
,0,112≠=++a a x x x 即x+11
1-=a x , 又
1112
2
224++=++x x x x x 2
22211
)11
(1)1(a a a x x -=--=-+=
所以 a
a x x x 2112
242-=++
21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.
则 ⎩
⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x ( 解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 2
2 （舍去） 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元
22、
()也是等高三角形，故
与又是等高的三角形，故
与由于证明：ABE ADE 1
1AD
AB
AD AD -AB AD BD S M BDE ADE
ADE ∆∆-===∆∆∆ ()()x ，设此比值为，故
又同理，AC
AE
AB AD BC ||DE 3
AC
AE
S S 2
AB AD
S S ABE ABE ADE ===∆∆∆
()()()()S M x x x S M M Sx x x x 4
141)21(41)1S 4
1
M 0
4SM S 0S
,1S M
AB AD
AB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M
3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤
≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由
解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得
将
23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）
又a 、b 是方程地两根
∴⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222
b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25 (m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去 ∴m=8…………
∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3
(2)∵△'''C B A 以1厘米/秒地速度沿BC 所在直线向左移动. ∴x 秒后BB ′=x 则B ′C ′=4-x ∵C ′M ∥AC ∴△BC ′M ∽△BCA ∴
AC C M BC C B '=
'∴)4(4
3
x C M -=' ∴)4(4
3)4(21x x y S M C B --=
='∆ 即2)4(83
x y -=
∴y=6383
2+-x x (0≤x ≤4)
当y=83时 2)4(83x -=8
3
x 1=3 x 2=5(不合舍去)
A
B
C
M
A'B'
C'
∴经过3秒后重叠部分地面积等于83平方厘米.
24、（1）证明：连结PA 、PB ，
∵AC 切⊙P 于A ，PA 是⊙P 地半径，
∴AC ⊥PA ，即∠PAC=900，
又∵四边形PACB 内接于⊙O ，
∴∠PBC+∠PAC=1800.
∴∠PBC=900，即PB ⊥CB.
又∵PB 是⊙P 地半径，
∴BC 是⊙P 地切线.
（2）解：由切割线定理，得BC 2=CD*CE. ∴42
)22(22
===CD BC CE DE=CE-CD=4-2=2. ∴PB=1,
在Rt △EFC 和Rt △BPC 中，∠ECF=∠BCP ，
∴Rt △EFC ∽Rt △BPC ，
22
241,=⨯=⋅==∴CB CE BP EF CB CE BP EF . （3）解：存在实数k=3
1时，△PBD 为等边三角形. 下面证明：
分
，
，
，，
）知道而由（，
，又，11为等边三角形60219012233
100 。

PBD PD PB BPA BPA COS PBC PB PC PB PE PE PC PE CE k ∆∴==∠∴=∠∴=∠=∴==⇒=⇒=
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