复变函数总练习题1

复变函数总练习题1
第⼀章练习题
1、已知⽅程i e z 31+=，则z Im 为（）
A. ln2
B.
32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23
±=+k k ππ
2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （） A.0 B. i C.－i D.1
3、设iy x z +=，则z
w 1
=将圆周222=+y x 映射为（）
A ．通过0=w 的直线
B ．圆周2
1=
w
C ．圆周22=-w
D ．圆周2=w
4、已知⽅程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( )
A. 2+i
B. -2+i
C. 2-i
D. -2-i
5、复数)3sin 3(cos z π
πi +-=的三⾓形式是 ( )
A. 32sin 32cos ππi +
B. 3sin 3cos ππi +
C. 32sin 32cos ππ-+i
D. 3sin 3cos ππ-+-i 6、⽅程1Re 2=z 所表⽰的平⾯曲线为（） A.圆
B.直线
C.椭圆
D.双曲线
7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表⽰的曲线为
A. 直线
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表⽰的图形是（）
A.半平⾯
B.圆域
C.直线
D.点
9、下列集合为有界单连通区域的是（）
A. 10<
B. 0Re >z
C. 2<-i z
D. ππ
<
10、若13-=z 且0Im >z ，则Z ⼀定等于（）
A ．-1 B. i 2321--
C. i 2
321+ D. i 31+-
11、2
11
lim
z z +∞→的值为（）
A ．0 B. i π2- C. 1 D.0
12、则3Im z =__________________________ 13、知⽅程(12)43i z i +=+，则z =___________； 14、31z =且Im 0z >，则z =___________；
15 、数()2arg(3)f z z =-在复平⾯除去实轴上⼀区间______ __ 外是连续解析函数。

16、映射i
w z
=下，圆周22(1)1x y +-=的像曲线为__________；
17、程z 3+1=0的所有复数根为___________.
18、程)0(>=k k z z 在复平⾯上表⽰的曲线为__________ 19、程cos sin (0t 2)z t i t π=+≤≤表⽰的曲线为__________ 20、
1Re 2=z 所表⽰的平⾯曲线为______________ 21、则3Im z =____________ 22、31z i =-，则z =____________ 23、知 ,)
2)(3()
3)(2)(1(i i i i i z ++---=
则=z ___________
24、3
arg 1π
=
z ，4
=
z ，则=)arg(21z z ____________
25、___________
26、ξ=∞
→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n
n (i)
21_____________
27、C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=)),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i
z ____ 28、n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n n z lim _____________
29、b a z a z =++-，其中a ，b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是________ 30、{}n z 收敛的充要条件是{}n z Re 和{}n z Im 都收敛，判断此命题是否正确，并给出充分理由
31、证明函数z
z
z f =
)(在0→z 时极限不存在. 32、⽅程2it t z +=，+∞<<∞-t 定义了什么样的曲线？ 33、证明)(21lim
z
z
z z i z -→不存在. 34、求解⽅程组12122(1)43z z i i z iz i -=?
++=-
第⼆章练习题
1、设)cos(i z =，则z Re 等于 ( )
A. 211e e +--
B. 211e e +-
C. 2
1
1e e -- D. 0
2、设)5cos(i z +=π，则z Re 等于 ( )
A. 2e e 55+--
B. 2e e 55+-
C. 2
e e 5
3、设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，则下列等式中错误的是（）
A./()f z =
x u ??+i x v ?? B. /()f z = y v
+i x v C. /()f z =
y u ??+i y
v
D. /()f z =x u -i y u
4、设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是( )。

A. u,v 在点z 0处有偏导数
B. u,v 在点z 0处可微
C. u,v 在点z 0处满⾜C-R 条件
D. u,v 在点z 0处可微，且满⾜C -R 条件
5、若()z f z e =，则下列结论不成⽴．．．
的是（） A.()f z 在z 平⾯上解析 B. ()f z 为⾮周期函数 C. ()f z 在z 平⾯上⽆零点 D. ()f z 在z 平⾯上⽆界 6、映射i z z 2z 32-
=+=ω在处的伸缩率为（）
A.40
B.102
C. 10
D. 5
7、函数()f z =
A ．复平⾯ B. 除去原点的复平⾯ C. 除去实轴的复平⾯ D. ( ) 8、设函数()f z u iv =+在区域D 内有定义，则在D 内（） A.由,u v 为调和函数可得()f z 解析 B. 由,u v 满⾜C.－R.条件可得()f z 解析 C.由v 为u 的共轭调和函数可得()f z 解析 D.以上三种都不成⽴9、已知⽅程i e z 31+=，则z Im 为（） A. ln2 B. 3
2π
C. ,...1,0,2±=k k π
D.
,...1,0,23
±=+k k ππ
10、设2
()f z z =，则()f z 在复平⾯上（） A ．原点处解析 B. 处处解析 C. 处处不解析 D. 原点处可导 11、设22()f z x iy =+，则()f z 在复平⾯上（） A ．直线y x =上可导 B. 处处解析 C. 直线y x =上解析 D. 原点处可导 12、函数)(z f 在⼀点处解析是)(z f 在这点可导（）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 13、)1log(i -的值是（）
A ．i 42ln 21π+ B. i 42ln 21π- C. i 432ln 21π+
D. i 4
-- 14、log(1)-=_____________.
15、函数2(z 1)Ln +的⽀点是____________
16____________
17____________ 18、函数2w x ixy =+的可导范围为_____________
19、复变函数z z f Im )(=在复平⾯上可导的点集为 20、复数2i +的模是__________ ，辐⾓是__________
21
_____________值函数 22、设()f z ＝u iv +是解析函数，并且已知(x,y)1v x =-,则'(z)f =________. 23、函数()21f z z =+在z ＝10－i 处的伸缩率是__________； 24、函数ixy x w +=2在__________范围内可导 25、()i
i +1=_____________________
26、求解析函数()f z u iv =+，其中22
y
v x y
=
+，并使得(2)0f =. 27、验证233),(xy x y x u u -==是复平⾯上的调和函数，并求⼀个以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使得i f =)0(。

28、已知22u x y =-，求解析函数()f z ＝u iv +. 29、已知22u x y xy =-+，求解析函数()f z ＝u iv + 30、已知323y y x v -=，求相应的解析函数iv u f +=
31、已知,2)4)((22xy y xy x y x v u -++-=+试确定解析函数iv u z f +=)( 32、设22cos x u e y x y =+-，求函数v ，使得iv u z f +=) (在Z 平⾯解析，且1)0(=f .
并写出()f z 的复数表达式. 33、设1
1
)(+-=z z Log
z F ，求⼀单值解析分枝，使得0在割线上，且i f π=)0(上，求)2(f ，求)0(下f ?
34、设函数)1()(z z z F -=，求)(z F 的枝点及1
(
)>02f 上
的⼀个单值解析分枝在
1z =-,z i =处的值.
35、试说明)1()(z z z F -=在割去线段1Re 0≤≤z 的z 平⾯内能分出两个单值解
析分⽀，求出⽀割线1Re 0≤≤z 上岸取正值的那⽀在z=-1的值
36、设()F z =,求作⼀单值解析分⽀,使(2)f =并求(2)f -及
)(i f 的值.
37、设3232(z)(x lxy )f my nx y i =+++在复平⾯上解析，求,,l m n 。

38、讨论函数2 ()f z z =的解析性.
39、证明题：已知函数f 在区域D 内解析，如果f 在D 内解析，则f 在D 内恒
为常数
第三章练习题
1、设C ：｜z+3｜=1的正向，则dz i
z C ?-1
等于( )。

A. 1 B. 0 C. 2πi D. 12πi
2、dz i
z dz
z ?=-3π等于（） A. 1 B. 0 C.i π2 D. i π12 3、设C 为正向圆周11z -=，那么dz z z C ? +-3
3)1()1(1
＝（）
A.
38i π B. 38i π- C. 34i π D. 34
i π- 4、设C 为从i -到i 的直线段,则?C
dz z =（）
A. i
B. 2i
C. i -
D. （） 5、积分=+?
=dz z z 2
1
2
1
1
（） A ．i π2 B. i π2- C. 1 D.0
6、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z
C ?21
=
A. 2i π
B. 1
C. 0
D.（） 7、设C 是正向圆周12,z +=n 为正整数，则积分dz i z C n ?
+-1
)(1
A. 2i π
B. 1
C. 0
D. 12i
π 8、设C 是正向圆周1,z =则积分dz e z
C z ?
-1
sin = A. 2i π B. 1 C. 2i π- D. 2sin1i π
9、设(x,y)c u =（常数），则(x,y)u 的共轭调和函数为
A. 任意调和函数
B. 任意解析函数
C. 任意函数
D. 任意常数 10、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z
C ?
1
= _____________ 11、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z z
C +?1
(= _____________
12、设C 是沿原点到点1i +的直线段，则2c
zdz ?=____________
13、设c 为|z|=2正向圆周，则?C z
dz z
e 2=______.
14、设为|z|=2正向圆周，则dz z e C z
-2)1(=______.
15、设c 为|z|=1正向圆周，则dz z C
-2
1
=______. 16、设()f z 是单连通区域D 内解析且不为零，C 为D 内任⼀条简单闭曲线，则
dz z f z f z f C
+'+'')
(1
)(2)(=________.
17、设c 为2=z 的正向圆周，则dz z z z c ?-+-1
1
22=_____________
18、计算积分212(1)z
C e dz i z z π-?，其中，C 为不经过0与1的正向简单闭曲线.
19、积分
dz z z z
z ?=-2
2)1(sin 20、计算积分dz z z e z z
=-22)1(.
21、计算积分2
252
(1)z z dz z z =--?
22、计算dz z I C
=2，其中C 是从原点到2=z ，再从2=z 到i z +=2的直线段.
23、计算[]2Re C
I z z dz =+?，其中C 是从(1,0)A 逆时针到B(1,0)-的上半单位圆周
24、已知()f z =23371
z d z ξξξξ=++-?，求'(1i)f +
25、计算dz z z z c ?
++)1(322，其中12
:=-i
z c
26、设C 为正向圆周)1(≠=R R z ,计算积分dz z ze I C z
-=3
)1(
27、计算积分[]dz z i z c
+Im 2，其中c 是从点A （1,0）到点B(-1,0)的上半个圆周28、证明2
21)!()!
2(21n n zi dz z z n
z π
=?
+?=
第四章练习题
1、幂级数∑∞
=++012)31(n n z i 的收敛半径是（）A.1
B.
1
2 2、级数n
n n z
n
])1([0
31--∑∞
=的收敛半径是（） A. 1 B.43 C. 2 3
D. 2 3、罗朗级数
2
(3)n
n n z ∞
-=-∞
-∑的收敛域为（）
A.32z -<
B.23z <-<+∞
C.
1
2
32z <-< D.
12
3z <-<+∞
4、级数1
n n z ∞
=-∑的收敛域为（）
A.1z <
B.01z <<
C. 1z ≤
D. 01z ≤
5、级数1n
n i n
∞
=∑的敛散是（）
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 不⼀定收敛 6、若幂级数0n n n a z +∞
=∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. （）
7、1
()1
z f z e =-在z i π=处的泰勒级数的收敛半径为
A. i π
B. 2i π
C. π
D. （） 8、设幂级数∑∞
=0n n n z a 的收敛半径R>0，则此幂级数的和函数（）
A.在|z|
B.在|z|
C.在|z|
D.在|z|
9、z
z f cos 1
)(=的孤⽴奇点为（）
A. )(,,02Z k k ∈+ππ
B. )(,,2Z k k ∈+∞ππ
C. )
(,,,02Z k k ∈+∞ππ D. )(,2
Z k k ∈+ππ
10、tan ,0(z)1,0
z
z f z z ?≠?
=??=?的孤⽴奇点为（）
A. )(,,02Z k k ∈+ππ
B. )(,,2Z k k ∈+∞ππ
C. )
(,,,02Z k k ∈+∞ππ D. )(,2
Z k k ∈+ππ
11、下列级数中，绝对收敛的级数是（）
A.11(1)n i
n
n ∞
=+∑ B.
2ln n
n i n
∞
=∑ C. 1(1)2n n n i n ∞
=??
-+
∑ D. 1(8)!
n
n i n ∞
=∑ 12、设∞为)(z f 的可去奇点，则说法不正确．．．的是（） A.)(lim z f z ∞
→存在 B.0)),((Re =∞z f s
C. )),((Re ∞z f s 不⼀定为零
D.)(z f 在∞有界 13、0=z 是)1(2
2-z e z 的（）
C. 3阶零点
D. 2阶零点
14、1z =是函数21
()(1)sin 1
f z z z =--的（）
A.可去奇点
B.本性奇点
C. ⼆阶极点
D.⼆阶零点 15、设1z =-时函数
4
cot()
(1)z z π+的m 级极点，那么m =（）
A.2
B.3
C.4
D.5
16、0=z 是函数4)(z
e z
f z
=的m 阶极点，则m=（）
A.2
B.3
C.4
D.5 17、以0z =为本性奇点的函数是（） A.
sin z z B. 1
(1)
z z - C. 1sin z D. ( ) 18、z=0是函数()f z =
3sin z
z
的m 阶极点，则m = （） A. 1 B. 2 C. 3 D.4
19、若∞是整函数(z)f 的n 阶极点，则(z)f 是（）
A. 常数
B. n 次多项式
F --=-在∞的邻域内（）
A. 可以展成泰勒级数
B.可以展成洛朗级数
C. 不可以展成泰勒级数
D. 不可以展成洛朗级数 21、z=1是函数f(z)= 1
z 1e -的( )。

A. 解析点
B. 本性奇点
C. 可去奇点
D. 极点
22、设z=0为函数)(z f =21z + 31
z
的m 阶极点，则m = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
23、设z=1为函数)(z f =1
1sin 1
z -的 ( )
A. ⼀阶极点
B. 可去奇点
C.零点
D. ( )
24、z=0是函数2sin )(z
z
z f =的（）
A. ⾮孤⽴奇点
B. 极点
C. 可去奇点
=+∑+-n n n z n n 的收敛半径为（）
A.1
B.2
C. ∞+
D.e
26、幂级数0!n
n
n n z n
+∞
=∑的收敛半径为___________ 27、函数
2
1
z 在1z =-处的泰勒展开式为________. 28、函数()f z =2
11
z +关于z 的幂级数展开式为___________；
29、若幂级数0
n n n C z ∞
=∑
在1(1)2z =
+处收敛，那么该级数在4
5
z i =处的敛散性为________.
30、若幂级数∑∞
=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在z=2处的敛散性为_______
31、设z ＝0为()sin f z z z =-的m 阶零点，则m ＝ _____； 32、若函数()f z 在整个复平⾯上处处解析，则称它为_________ 33、设()f z 为整函数，且()0f ∞=，则()f z = _________ . 34、函数f(z )=
z
1
关于1-=z 的展开式为___ ___ 35、设1lim 1,n n n
a i a +→∞=+则幂级数01n n n a
z n ∞
cos 1)(z z z f -=的m 阶极点，则m =______.
37、3π=z 是函数π
π
--=z z z f 3)
3sin()(的奇点类型是______________ 38、函数3
1
1)(--=z e i
z z f 在Z=0处的泰勒展开式收敛半径是____________ 39、函数3
21
)(+=z z f 在Z=0处的泰勒展开式为_____________ 40、将1 1
z z -+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围. 41、将
2
1
(1)
z z z +-在01,1z z <<<<∞内展开。

42、将函数2
1
2)(2-++=z z z z f 在21<
43、函数()()()
1
12f z z z =
--在1=z 的各种去⼼邻域内的洛朗展式。

44、求函数)
1(1
)(2
z z z f -=
在（+∞<
1
()(1)f z z =-展开为z i -的幂级数。

46、求函数2
z f +=在指定圆环+∞<-
)
1(1
)(z z z f -=，求)(z f 在（1）圆环10<
48、设函数f 在区域D 内解析，且在某⼀点0z D ∈有(n)0(z )0,n 1,2,f == ，证明f 在区域D 内恒为常数
第五章练习题
1、z z z z f 53)(46+-=在1
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个 2、在复数范围内，⽅程0345=++z z 的根的个数为 ( )
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5 3、13)(36+-=z z z f 在1
A. 6个
B. 5个
C. 3个
D. 1个 4、在复数范围内，⽅程30z z +=的根的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5
5、设z=0为函数)(z f =21z + 31
z
的m 阶极点，则m = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6、设2
1)(z e z z f z
-+=，则Res[f(z)，0]=（）
A. 0
B.2
1- C.i π D. i π-
z e z f z -=则Res[f(z)，0]=（） A.
241 B.2 C. 121 D. 125
1 8、.设n 为偶数，则1cos Re ,0n
z s z -??
=（） A.等于0 B.等于1 C.等于2i π D.随n 变化 9、设z a =为解析函数()f z 的m 级零点,那么() ()
Re z a
f z f z s
='=（） A. m B. -m C. m -1 D. 10、设z a =为()f z 的有限的可去奇点,则()Re z a
f z s ==（）
A. 2i π
B. 1
C. 0
D. -2i π
11、若a
z z g z f -=)
()(，且)(z g 在a 点解析，0)(≠a g 则]),([Re a z f s =（）
A.)(a g
B.)(/a g
C.)(2a ig π
D.0
12、24
1()z
e f z z -=在0z =处的留数为______________
13、z
z
z f sin )(=
在z =∞处的留数为___________ 14、函数??
+++++=
5)1(1...1111)(z z z z f 在0z =处的留数为______________ 15、积分?=n
z zdz πtan =__________
20、)0,(Re n z
z
e s =_____________
21、计算复积分dz z
z z ?
=1sin 1
22、如果f 在扩充复平⾯上除有限个孤⽴奇点n z z z ,...,,21外处处解析，则有限个孤⽴奇点处的留数与),(Re ∞f s 之间有什么样的关系。

试计算积分
Γ--)1)(3(2z z dz
，其中2:=Γz ，并验证此关系。

23、求函数2
)1)(1()(+-=
z z z
z f 在所有孤⽴奇点处的留数
24、计算积分20
54sin d π
θθ+?
. 2201
(p 0).12cos p I d p πθθ=-+? 25、计算积分2
4cos .9x I dx x +∞
-∞=+?
+∞+=02.1cos dx x x I 20s i n .1x x
I dx x +∞=+? 26、计算实积分dx x J ?+∞+=041
1
27、计算积分420416dx
x x +∞++?、
28、计算积分dx x x x
+∞∞-++5
4cos 2
29、⽤留数⽅法计算积分dz z z z z ?=--22
)1(2
5.
30、计算积分dz z z z ?
31、判断下⾯的命题是否正确并给出理由：不存在⼀个在零点解析的函数)(z f ,v
使0)11(
=+n f ，且n
n f 21)21(=，,...2,1=n 32、证明，在Z=0解析，且满⾜n n f 21)121(=-，n
n f 21
)21(=，,...2,1=n 的函数)(z f 不存在
33、证明:⽅程)1(1>=-λλz ze 在单位圆1z <内只有⼀个解，⽽且这个解是正实
数。

34、有同学为了计算实积分dx x J ?
+∞
+=041
1
做了如图⽰的积分路径，请回答⼀下
问题：（1）运⽤该路径是否能够求解出上述实积分？如果能请求解（2）如果不能求解出，请构造合理的积分路径求解
x
第六章练习题
1、直接解析开拓常⽤的⽅法有透弧开拓和解析开拓
第七章练习题
1、求上半平⾯0Im >z 到单位圆域内1
0)(arg ='i f
2、求将单位圆1
条件1)1(,0)2
1
(-==L L
(>'f
（2）0)21(=f ，2
)21(arg π
='f
4、求分析线性映照)(z f w =使它将0Im >z 映为1
（1）0)(=i f ，1)1(=-f （2）0)(=i f ，0)(arg ='i f
5、求分析线性映照)(z f w =使它将0Im >z 映为R w w <-0，且满⾜0)(w i f =，0)(>'i f
6、求分式线性映照)(z f w =，使它将1'f 1<α
7、求分式线性映照)(z f w =，使它将1
)21(i
f =，
0)2
1
(>'f 8、求点i +2关于圆周（1）1=z ; (2) 3=-i z 的对称点。