问题驱动原则在高等数学教学中的运用1

问题驱动原则在高等数学教学中的运用
摘要：问题驱动是一种新的教学模式.在高等数学教学中要以问题驱动，构建知识框架，不断提出问题，引导自主探究，通过自主探究问题，培养学生的创新思维，反思问题，培养学生数学思维，变化问题，巩固知识体系.
关键词：问题；问题驱动；自主探究；创新；能力
教学是一个不断发现问题、分析问题、解决问题的过程，所以数学教学课堂要围绕问题展开，即以问题驱动.问题意识是人与生俱来的本能.爱因斯坦曾说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.培养问题意识和问题解决过程是当前教学改革中的热点问题之一.美国教育家布鲁巴克认为：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题”.高等数学教育的一个重要的目的是培养学生的创新意识与创新能力，而创新意识与创新能力主要表现在能不能“提出问题——提出好问题——提出有价值的问题——提出能够推动数学发展的问题”[1].
问题是数学发展的原始驱动力，也是增强数学趣味性，激发学生学习主动性，提升教学效果有效性的源泉.
1.问题驱动，构建知识框架
建构主义者认为，数学学习是一个主动的建构过程，从而就必须突出学习者的主体作用.一切数学知识、技能和思想方法的获得，都必须经过学习者以自己原有的数学知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，并经过学习者主体感知、消化、改造使之适合自己的数学认知结构，才能被理解与掌握[2].同时要使数学学习学有所得，真正形成优良的认知结构，还必须有一个反思、交流、批判、检验、改进、发展的过程.因此，教学设计的关键是合理设置问题驱动，在学生的新旧知识互动过程中搭建知识框架.
1.1利用本源问题，构建知识框架
所谓数学本原性问题，是指哪些来源于数学的发展、发现，它是朴素的、原始的、简单的，但能推动数学家去创造数学的哪一类问题[3].教学中要深入研究教材，从历史的角度审视微积分的发展与数学文化，探索产生数学知识的本原问题，抓住知识的源泉与根基，化知识的学术形态为教育形态，返璞归真，升本立
意，创造性的运用本原性数学问题，让学生经历概念、定理的产生过程.
例1 产生导数概念的本原性问题是物理上的速度、几何上的切线.因此有关导数的诸多性质都可通过深入研究物理上的速度、几何上的切线而导出.如通过研究变速运动的瞬时速度与曲线的切线斜率而概括抽象得出导数概念；通过研究变速运动的平均速度或通过研究观察弓背上的切线与弓弦的关系模型导出Lagrange 中值定理——a
b a f b f f --=')()()(ξ；通过研究切线（斜率）的变化情况给出二阶导数的几何意义——反应曲线的弯曲程度.
1.2 创设情境问题，构建知识框架
创设问题情境，是促使学生主动建构，提高课堂教学效率的常用方法.常言道：“学起于思，思源于疑，学贵在疑”.创设问题情境，首先要有一定的新颖性，只有问题新颖，才有利于激发学生思维，让学生在问题情境中感悟、探索、升华；其次情境问题要有双向性，一方面使学生在认知上产生疑问，引发认知冲突，激发求知欲；另一方面，要符合教学内容和教学目标，具有导向性，学生经过自主探究，能使学生形成新的认知，体验发现的乐趣；再次所创设的情境问题必须符合学生认知结构并与学科相适应.
例2 对于重要极限公式“e n
n n =+∞→)11(lim ”，学生不知这个公式是如何来的？有实际意义吗？数学家是如何想到研究这个公式的？
对这个问题，可创设学生熟知复利情境问题：一元钱，存入银行，年利率为1，分别按年、月、天、小时、分计算，到期连本带利各是多少？
通过列表层层计算，使学生体会到数学公式不是空穴来风，都是有其实际背景的.
2.不断提出问题，引导自主探究
教学是一种有目的、有计划的创造性活动.在教学活动中,教师要提升教学理念，升本立意进行教学设计预设，不断提出问题，引导学生自主探究，激活原有知识，理解同化、 迁移，生成新的知识, 进而得到更广泛更深入更高层次的问题，有效实现教学预设.
高等数学教学中对于一些难于理解的概念或定理，可设置一系列问题，引导学生自主探究，通过逐步探究，自然而然地引出概念；或通过逐步探究问题，形成猜想，论证猜想，形成结论，有效贯彻既教猜想，又教证明的教学原则.
例3 一致收敛概念是高等数学中学生较难理解接受的概念，如何自然引出，并使学生容易接受呢？采用问题驱动，即可较好地解决.
在复习函数级数∑∞
=1)(n n x u 的收敛点、收敛区间、部分和函数及和函数)(x S ＝
∑=∞→n
k k n x u 1
)(lim ，一般函数)(x f 的有关分析性质，即连续性、可微性和可积性后，
先提出问题1：在 [a,b]上收敛的级数∑∞=1
)(n n x u 的每一项)(x u n 是否与它的和函数
)(x S 具有相同的分析性质？引导学生考察反例∑∞
=-∈+12]1,1[,)1(n n x x x ，从而得出一般项)(x u n 与它的和函数)(x S 不一定具有相同的分析性质.
再进一步提出问题2、在什么条件下，函数级数每一项u n (x)所具有的分析
性质其和函数)(x S 也具有相同的分析性质？
引导学生分析逆推，考察函数)(x S 在0x 连续的条件：
设∑∞
=1)(n n x u 在],[b a 上收敛于)(x S , )(x u n 在],[b a 上连续，],[0b a x ∈,考察)(x S 在0x 续的条件.
对0>∀ε，∵|)()()()()()(||)()(|0000x S x S x S x S x S x S x S x S n n n -+-+-=- |)()(||)()(||)()(|000x S x S x S x S x S x S n n n n -+-+-≤
由于)(x S n 在0x 连续，∴0>∃δ,当δ<-||0x x 时，有ε<-|)()(|0x S x S n n ； 由∑∞
=1)(n n x u 在0x 收敛于)(0x S 知，存在N ，当n>N 时，有ε<-|)()(|00x S x S n ； 由此可见，欲使)(x S 在0x 连续，只须对上述N ，当n>N 时，对满足δ<-<||00x x 的所有x ,均有η<-|)()(|x S x S n （*）
但是一般说来，对不同的x , 使（*）式成立的N 是不同的，至此，自然而然引进一个新的概念—一致收敛.
3．自主探究问题，培养学生的创新思维
问题是教学的源泉，也是学生自主探究学习的动力,它既能给学生提供探究和发现的体验，又有助于培养学生的问题意识和创新意识.而高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，高等数学中的诸多公式、定理都是来源于初等数学，是初等数学中公式、定理的变形推广与深化发展.因此教学中要认真剖析教材中的问题，把握初数与高数的联系，及时为学生提供具有适度与发展性的问题，供学生自主、合作探究学习.
例4通过分析研究柯西积分不等式“⎰⎰⎰≥⋅b
a b a b a dx x g x f dx x g dx x f 2
22])()([)()(是中学柯西不等式211212
)()()(∑∑∑===≥⋅n
i i i n i i
n i i b a b a 的推广变形，从而提出探究问题：中学其它常用不等式也有其积分形式吗？引导学生课后利用定积分概念进行自主、合作、类比探究，并交流展示学生探究的结果： 均值积分不等式：⎰⎰-≥≥-⎰-b a dx x f a b b a x f dx a b e dx x f a b b a
)()(1)(ln 1 均方值积分不等式：k b a b a k dx x f a
b dx x f a b ))(1()(1⎰⎰-≥- 琴森积分不等式： ])(1[)]([1⎰⎰-≤-b a
b a dx x a b f dx x f a b ϕϕ ()(x f 上凸) 或 ])(1[)]([1⎰⎰-≤-b a
b a dx x a b f dx x f a b ϕϕ（)(x f 下凸）[4] 通过对这些不等式的自主、合作、探究学习，学生一方面对定积分概念有了深刻认识，同时体验了数学发现的乐趣，增强了对数学的热爱.
4．反思问题，培养学生数学思维
在数学教学中还要时刻督促提醒学生养成解答或证明之后，还要认真反思回顾的良好习惯！一是反思问题是否还有不同的解（证）法，剔除解题思维回路，实现问题的解法优化；二是反思问题能否推广变形或特殊化，形成新的问题，培养学生提出问题的能力；三是反思解决问题的方法是否适用于其它问题，概括提
炼思想方法，拓宽解题思路，培养数学思维.
例5 通过对上述均值积分不等式的反思，易得如下问题：
设()f x 在],[b a 上连续，且()0f x >，证明：2)()
()(a b dx x f dx dx x f b a b a -≥⋅⎰⎰. 此问题既是均值积分不等式的变形，又是柯西不等式的特殊情形，对该不等式在引导学生运用柯西积分不等式或利用定积分定义证明的基础上，还要反思回顾高等数学中还有哪些结论与该结论的形式类似或与不等式有关，应用这些结论需具备什么条件？
学生通过自主、合作探索研究发现，利用拉格朗日微分中值定理、积分中值定理、函数的单调性、判别式、二重积分等都能证明该命题.但利用拉格朗日微分中值定理、积分中值定理、函数的单调性证明的关键是构造满足定理的函数：
2()()()[,]()
t t a a dx F t f x t a a b f x =--∈⎰⎰，t 经过这样的自主、合作探究学习，既能使学生整体掌握知识，又利于培养学生数学思维的灵活性.
5．变化问题，巩固知识体系
数学教学的深化和发展是通过变式训练学习来完成的.数学学习往往要历经“过程”而达成，然后转变为“概念”（对象）的认知过程[5].数学变式主要有概念变式、定理性质变式和问题变式.概念变式利于深化概念的本质属性与外延，定理变式利于揭示定理的形成过程与应用，问题变式利于培养学生数学思维灵活性.教学中要善于设计一系列具有针对性、层次性和挑战性的变式问题，以问题为目标，激励、引导学生辩证思考，概括提炼数学思想方法，巩固知识体系.
例6 在讲解了数列极限的概念之后，为了强化学生对概念的理解与运用，可提供如下变式思考问题，促使学生掌握理解运用极限概念.
思考1、符号语言“,,0N ∃>∀ε对ε<->∀||,a a N n n ”四段话中，那部分是刻画“∞→n ”的？那部分是刻画“a a n →”的？
思考2、定义中“n N ,,δ”都代表什么？含义是什么？起何作用？
思考3、四段话中各句的位置能否调换？
思考4、定义中的“>和<”能否换成“≥和≤”？[6]
学生通过这样的变式思考学习，有利于深刻理解数列极限的量化定义，提升数学化意识.
例7 当学习了重要极限“e x
x x =+∞→)11(lim ”公式后，可引导学生探究计算如下变式极限问题：x x x )11(lim -∞→，x x x a )1(lim +∞→，bx x x )11(lim +∞→，bx x x
a )1(lim +∞→，x x x 1
0)1(lim +→，x x x 10)1(lim -→，x x ax 10)1(lim +→，x b x x )1(lim 0+→，x b x ax )1(lim 0+→等.通过探究学习，可使学生深刻理解公式的实质和熟练运用公式解决问题.
实践证明，在高等数学教学中坚持问题驱动教学原则，有助于培养学生的主体意识和主动精神，提高学生的创新思维能力.问题驱动教学的实践一方面要以现代教育理念为指导，另一方面要处理好以下问题：①切实实现学生为主体，教师为引导；②授其以渔，使其会学、愿学；③提升理念，精心预设；④恰当合理运用现代教育技术.
参考文献
[1] 张玉灵，冯改红.在高等数学中尝试“问题驱动”教学模式[J]，成都师范学院学报，2013.29（3）
[2] 郑君文，张恩华.数学学习论[M]，广西教育出版社，1996.12第一版.
[3] 张萌南.新的数学概念——用问题驱动的数学[J]，数学教学，2004.4.
[4]黄贵 李志萍，于问题驱动数学教学的几种策略[J]，职业教育研究，2008
（3）.
[5]葛仁福，基于研究性学习的数学分析教学实践[J]，数学教育学报，2013.22（1）.。