导数在函数中的应用(一轮复习听课导学案)

导数在函数中的应用
一、总体要求
【学习目标】
1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；
2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】
1、利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的最值；
2、利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；
3、导数与函数、不等式、方程等知识相融合的问题；
二、考点梳理知识点一 函数的导数与单调性的关系
函数y ＝
)(x f 在某个区间内可导, (1)若)(x f '＞0，则()x f 在这个区间内_____________;
(2)若)(x f '＜0，则()x f 在这个区间内_____________;
(3)若0)(='x f ，则()x f 在这个区间内_____________;
知识点 二 函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点:
若函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值____，且f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点:
若函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值____，且f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．
3．函数的最值与导数：
(1) 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的连续函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值.
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y ＝
)(x f 在(a ,b )内的 值； ② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .
三.考点应用 典例解析
考点一 利用导数研究函数的单调性
例1．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．
A ．(－1,1]
B ．(0,1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
归纳总结----求单调区间的一般步骤:
容易忽视的问题:________________________________________________________ 例2.已知函数()R b a b ax x x f ∈++-=,)(23，若函数()x f 在区间[]2,0上单调递增。

试求实数a 的取值范围。

归纳总结：函数()x f 在区间[]b a ,内递增（或递减），可以转化为：________________.
考点二 利用导数研究函数的极值
例3: （2013 福建高考）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 的极值．
归纳总结----求极值的一般步骤:
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 易错的知识点:导数值为0的点一定是极值点吗?_____________________________
考点三 用导数研究函数的最值:
例4:(教材课后习题改编)已知函数:()1ln +=x x x f
(1)求函数在1=x 处的切线方程
(2)求函数在区间(]e ,0上的最值.
归纳总结—求函数在区间[]b a ,上的最值一般步骤:____________________________ _______________________________________________________________________.
例5：设函数f （x ）=x 2-mlnx ，h （x ）=x 2-x+a ．
当a=0时，f （x ）≥h （x ）在（1，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；
四.数学思想的渗透
例6：已知函数y=f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )
(A)(-∞，
12)∪(12,2) (B)(-∞，0)∪(12，2) (C)(-∞，12) ∪(12，+∞) (D)(-∞，12)∪(2，+∞) 例7：（例5的变式）设函数f （x ）=x 2-mlnx ，h （x ）=x 2-x+a ．当m=2时，若函数k （x ）=f （x ）-h （x ）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围。

例8：已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
五、课后训练部分
【基础自测】
1．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．
A ．x ＝12为f (x )的极大值点
B ．x ＝12为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点
2．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33
，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1
3．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．
A ．(－1,1]
B ．(0,1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
4、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.必要非充分条件
D.充要条件
5、已知a ，b 为正实数，函数f （x ）＝a 3x ＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f （x ）在[－1，0]上的最小值为（ ）
A ．－32
B ．32
C ．－2
D ．2 6、设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )
A.a<-1
B.a>-1
C.a ≥-
D.a<-
7．对于R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f ′(x)≥0，则必有（ ）
A ．f(0)＋f(2)<2f(1)
B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C ．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D ．f(0)＋f(2)>2f(1)
【能力提升】
8.对于R 上可导的任意函数()x f ，若满足()()0/>+x xf
x f 且()1-f =0，则()0>x f 的解集是（ ）
A 、()1,-∞-
B 、()+∞,0
C 、()1,-∞-()+∞⋃,1
D 、()0,1-
9、已知函数a ax x a x x f ---+=232131)(，x 其中a>0.
（I ）求)(x f 的单调区间；（II ）若)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；
10、设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。

11．设f (x )＝e x
1＋ax 2
，其中a 为正实数． (1)当a ＝43
时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．
【高考再现】
1、(2014课标全国)设函数f’(x)是奇函数()()R x x f ∈的导函数，f （-1）=0，当x>0时，()()0/<-x f x xf ，则使得f (x) >0成立的x 的取值范围是（ ）。

（A ）()()1,01,⋃-∞- （B ）()()0,1,1-⋃+∞
（C ） ()()0,11,-⋃-∞- （D ）()()1,0,1⋃+∞
2(2013课标全国)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．若x ＝0是f (x )的极值点。

（1）求实数m 的值。

（2）讨论f(x)的单调性；。