破解椭圆最值的求解策略
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Ｚ
上，离心率ｅ ＝ ，已知点Ｐ （ ０ ， 妄 ） 到这个椭圆上
点 的最 远距 离 为 √ ７，求这 个椭 圆 的方程 ，并 求椭 圆上 到点 Ｐ 的距离 为 √ ７的点 的坐 标 ．
分析 在椭 圆上任取一点 Ｐ，由两点间距离公
福建中学数学 （ Ｉ ）求椭圆 Ｇ的方程 ；
４ ． １多角度探究 ，扩大高考题 的功效
一
题 多解 探 究过程 就 是深 入理 解数 学 的过程 ，
是沟通 已有 知识经 验 更深 刻联 系 的过程 ， 能让 知识
结构 有效 重 组 与 整 合 ，构 建 有 序 的 网络 化 知 识 体
系 ；一题 多解 探 究 的过程 也是 深化 数 学理性 认识 ，
有 创新 的是 对 问题 的探 究 ，有 了 问题 ，学生就 有 了
变 式３ ． 最 后 得 结 果、 Ｖ ｆ ｌ Ｉ ｅ ＜ １ ．
４ 反 思
思考的载体 ， 就有了展示 的机会 ． 解题过程中常常 换 一 个角度 试 试 ，可 以克服 思维 定势 的消极 影 响 ，
形 成创 新 思维 的源 泉 ． 通 过 对本 题 多角度 、 全 方位 、 深 层 次 的思考 与探 究 ，以不 同知识 内容 为 切入点 ， 探 究 出不 同 的解 题 方案 ，能 开拓 思路 ，沟通 知识 ，
．
１代数策 略 解析 几何 沟通 了数学 中数 与形 、代 数与 几何 等 基 本对 象 之 间 的关系 ， 是一 门用代 数方 法研 究几 何 问题 及几 何意 义直 观 反 映代 数 关 系 的学科 ．因此 ，
在 处 理解 析 几何 中最值 问题 时 ， 若 目标 与条 件容 易
１
掌握规律 ， 权衡解法优劣 ， 提高解题效率 ， 积累解 题 经验 ，深 化 思维活 动 ； 通 过 将题 目从 特殊推 广 到
一
自觉建 构 认 知结构 并 积极 优化 的过 程 ， 是解 题智 慧
般 ，类 比拓 广延伸 ，挖 掘潜在 的一 般 结论 ，使得
得到开发、 创新 思维和创造能力得到培养和提高 的 过程 ． 平 时在数 学 学 习和解 题 活动 中应 从典 型 的基 础 问题入手合 应 用各部 分 知识开 拓 思路 ，进行 多解探 究
内容 更具 有广 泛性 和拓 展空 间 ， 深 刻揭 示 了问题 的 本质 ，让 我们 的思 维在 发散性 、 广 阔性 、 求异性 、
创造性 、 灵活性、深刻性等方面都得到了很好 的锻 炼 和 发展 ．
破解椭 圆最值 的求解策 略
用数 量关 系来 说 明时 ，不妨考 虑建 立 目标 函数 ， 通 过 函 数 的单调 性 、均值 不 等式 、判 别式 、二 次 函数
的图象等知识点来解决 ． １ ． １二次函数法 利 用 二 次 函 数 求最 值 要 注 意 自变 量 的取 值 范 围及对 称轴 位 置 ，当对称 轴位 置 不确定 时 ，必须 进 行 分 类讨论 ． 例 １设椭 圆的中心是坐标原点 ，长轴在 轴
２ ０ １ ５ 年第４ 期
式表示 Ｉ Ｐ Ｍｌ ，转化为 ， Ｙ的函数，求函数的 最小
值．
解析 设椭 圆的方程为 Ｘ ２ ＋ ｙ ２
＝
ｌ ＞６ ＞０ ） ，
（ Ｉ Ｉ ）在椭 圆 上， 是否存在点 Ｍ（ ｍ， ） 使得 直线 ， ： ＋ ｎ ｙ＝１ 与 圆 ０： ＋ Ｙ ＝１ 相 交于 不 同的
考查椭 圆的离心率 ． 考虑便于计算 ， 给出Ｏ Ｍ 倾斜 角为 ６ ０ 。 ，／Ｏ ＭＮ ＝６ ０ 。 ． 结果 ， 任 意椭 圆皆满 足 ． 于 是 给 出 ＺＯ ＭＮ ＝４ ５ 。 ， ＭＮ 的倾 斜 角 为 １ ３ ５ 。 ，得 到
■—■
并在 多解 中不断求筒和优化 ． ４ ． ２深入探究 ，拓展高考题的宽度 数 学 问题 的本质 是 思维活 动 ， 思维过 程 中最 富
］ 时 ，椭 圆 ＋ ：１ 上 总 存 在 点 Ｎ ，使 得
ｊ ａ Ｄ
ＺＯ ＭＮ＝７ ５ 。 ， 则 椭 圆离 心率 ｅ 取值 范 围是— —
．
改 编 思路 变 式 ２ 是 已知椭 圆判 定点 的位 置 ． 逆 向思考 ， 如果 确 定点 的位 置考 查椭 圆呢？于 是 想到
两 点 ， 曰且 Ａ Ａ Ｏ Ｂ的 面积 最 大 ， ？若 存在 ，求 出点
２ ０ １ ５ 年 第 ４期
福 建 中学数 学
４ ３
变式 ３如图 ６ ， 设点 Ｍ（ ｘ ｏ ， ｂ ） ， 当 ∈ ［ 一
ｊ
，
训 练 ，并 在解 题过 程 中不 断总 结经验 ，积累 解 题 的 思 维方法 ． 只 有牢 固树 立起 在 知识 与 方法 的立 体 网 络 中思考 并 解决 问题 的观 念 ， 养 成一 题 多解 探 究 习 惯 ，摒 弃“ 一题 一法 ” 大量操 练 的“ 题海 战术 ” ，把数 学 学活 ， 让 头脑 变 活 ， 我们 在解 题 时才会 思绪 飞转 ， 各种 方法 和技 巧 才会 迅速 闪现 在脑 海 中 ， 常规 的解 法、 简 捷 的解法 、 创造 性 的优美 解法 便会接 踵 而至 ，
许 沐英 福建 省 莆 田 四中新 校 区数 学 组 （ ３ ５ ｌ １ ０ ０ ）
圆锥 曲线在高考中 占有很重要的地位 ， 频频 出 现 在 近几 年 的福建 高 考试卷 中 ， 在各 种题 型 中均 有 考 查 ．而椭 圆最值 问题 为 三 曲线之 首 ，它涉 及 的知
识 面 广 ，综 合性 强 ，处 理方 法灵 活 多变 ，能 够充 分 考 查 学 生的 函数与 方 程思 想 、数形 结合 思 想、转 化 与化 归等 数 学思 想方 法 ， 从 而让 学 生感觉 到 无从 入 手． 下 面介 绍 几种 常见 的与 椭 圆有 关 的最 值 问题 进 行 分 类破 解策 略 ．
上，离心率ｅ ＝ ，已知点Ｐ （ ０ ， 妄 ） 到这个椭圆上
点 的最 远距 离 为 √ ７，求这 个椭 圆 的方程 ，并 求椭 圆上 到点 Ｐ 的距离 为 √ ７的点 的坐 标 ．
分析 在椭 圆上任取一点 Ｐ，由两点间距离公
福建中学数学 （ Ｉ ）求椭圆 Ｇ的方程 ；
４ ． １多角度探究 ，扩大高考题 的功效
一
题 多解 探 究过程 就 是深 入理 解数 学 的过程 ，
是沟通 已有 知识经 验 更深 刻联 系 的过程 ， 能让 知识
结构 有效 重 组 与 整 合 ，构 建 有 序 的 网络 化 知 识 体
系 ；一题 多解 探 究 的过程 也是 深化 数 学理性 认识 ，
有 创新 的是 对 问题 的探 究 ，有 了 问题 ，学生就 有 了
变 式３ ． 最 后 得 结 果、 Ｖ ｆ ｌ Ｉ ｅ ＜ １ ．
４ 反 思
思考的载体 ， 就有了展示 的机会 ． 解题过程中常常 换 一 个角度 试 试 ，可 以克服 思维 定势 的消极 影 响 ，
形 成创 新 思维 的源 泉 ． 通 过 对本 题 多角度 、 全 方位 、 深 层 次 的思考 与探 究 ，以不 同知识 内容 为 切入点 ， 探 究 出不 同 的解 题 方案 ，能 开拓 思路 ，沟通 知识 ，
．
１代数策 略 解析 几何 沟通 了数学 中数 与形 、代 数与 几何 等 基 本对 象 之 间 的关系 ， 是一 门用代 数方 法研 究几 何 问题 及几 何意 义直 观 反 映代 数 关 系 的学科 ．因此 ，
在 处 理解 析 几何 中最值 问题 时 ， 若 目标 与条 件容 易
１
掌握规律 ， 权衡解法优劣 ， 提高解题效率 ， 积累解 题 经验 ，深 化 思维活 动 ； 通 过 将题 目从 特殊推 广 到
一
自觉建 构 认 知结构 并 积极 优化 的过 程 ， 是解 题智 慧
般 ，类 比拓 广延伸 ，挖 掘潜在 的一 般 结论 ，使得
得到开发、 创新 思维和创造能力得到培养和提高 的 过程 ． 平 时在数 学 学 习和解 题 活动 中应 从典 型 的基 础 问题入手合 应 用各部 分 知识开 拓 思路 ，进行 多解探 究
内容 更具 有广 泛性 和拓 展空 间 ， 深 刻揭 示 了问题 的 本质 ，让 我们 的思 维在 发散性 、 广 阔性 、 求异性 、
创造性 、 灵活性、深刻性等方面都得到了很好 的锻 炼 和 发展 ．
破解椭 圆最值 的求解策 略
用数 量关 系来 说 明时 ，不妨考 虑建 立 目标 函数 ， 通 过 函 数 的单调 性 、均值 不 等式 、判 别式 、二 次 函数
的图象等知识点来解决 ． １ ． １二次函数法 利 用 二 次 函 数 求最 值 要 注 意 自变 量 的取 值 范 围及对 称轴 位 置 ，当对称 轴位 置 不确定 时 ，必须 进 行 分 类讨论 ． 例 １设椭 圆的中心是坐标原点 ，长轴在 轴
２ ０ １ ５ 年第４ 期
式表示 Ｉ Ｐ Ｍｌ ，转化为 ， Ｙ的函数，求函数的 最小
值．
解析 设椭 圆的方程为 Ｘ ２ ＋ ｙ ２
＝
ｌ ＞６ ＞０ ） ，
（ Ｉ Ｉ ）在椭 圆 上， 是否存在点 Ｍ（ ｍ， ） 使得 直线 ， ： ＋ ｎ ｙ＝１ 与 圆 ０： ＋ Ｙ ＝１ 相 交于 不 同的
考查椭 圆的离心率 ． 考虑便于计算 ， 给出Ｏ Ｍ 倾斜 角为 ６ ０ 。 ，／Ｏ ＭＮ ＝６ ０ 。 ． 结果 ， 任 意椭 圆皆满 足 ． 于 是 给 出 ＺＯ ＭＮ ＝４ ５ 。 ， ＭＮ 的倾 斜 角 为 １ ３ ５ 。 ，得 到
■—■
并在 多解 中不断求筒和优化 ． ４ ． ２深入探究 ，拓展高考题的宽度 数 学 问题 的本质 是 思维活 动 ， 思维过 程 中最 富
］ 时 ，椭 圆 ＋ ：１ 上 总 存 在 点 Ｎ ，使 得
ｊ ａ Ｄ
ＺＯ ＭＮ＝７ ５ 。 ， 则 椭 圆离 心率 ｅ 取值 范 围是— —
．
改 编 思路 变 式 ２ 是 已知椭 圆判 定点 的位 置 ． 逆 向思考 ， 如果 确 定点 的位 置考 查椭 圆呢？于 是 想到
两 点 ， 曰且 Ａ Ａ Ｏ Ｂ的 面积 最 大 ， ？若 存在 ，求 出点
２ ０ １ ５ 年 第 ４期
福 建 中学数 学
４ ３
变式 ３如图 ６ ， 设点 Ｍ（ ｘ ｏ ， ｂ ） ， 当 ∈ ［ 一
ｊ
，
训 练 ，并 在解 题过 程 中不 断总 结经验 ，积累 解 题 的 思 维方法 ． 只 有牢 固树 立起 在 知识 与 方法 的立 体 网 络 中思考 并 解决 问题 的观 念 ， 养 成一 题 多解 探 究 习 惯 ，摒 弃“ 一题 一法 ” 大量操 练 的“ 题海 战术 ” ，把数 学 学活 ， 让 头脑 变 活 ， 我们 在解 题 时才会 思绪 飞转 ， 各种 方法 和技 巧 才会 迅速 闪现 在脑 海 中 ， 常规 的解 法、 简 捷 的解法 、 创造 性 的优美 解法 便会接 踵 而至 ，
许 沐英 福建 省 莆 田 四中新 校 区数 学 组 （ ３ ５ ｌ １ ０ ０ ）
圆锥 曲线在高考中 占有很重要的地位 ， 频频 出 现 在 近几 年 的福建 高 考试卷 中 ， 在各 种题 型 中均 有 考 查 ．而椭 圆最值 问题 为 三 曲线之 首 ，它涉 及 的知
识 面 广 ，综 合性 强 ，处 理方 法灵 活 多变 ，能 够充 分 考 查 学 生的 函数与 方 程思 想 、数形 结合 思 想、转 化 与化 归等 数 学思 想方 法 ， 从 而让 学 生感觉 到 无从 入 手． 下 面介 绍 几种 常见 的与 椭 圆有 关 的最 值 问题 进 行 分 类破 解策 略 ．