六年级数学专题讲义追及问题

追及问题
追及问题主要是研究同向运动的物体之间的速度、时间和路程三者之间的数量关系，其基本数量关系是：
路程差=追及时间×速度差
速度差=路程差÷追及时间
追及时间=路程差÷速度差
〖经典例题〗
例1、兔子与狗要由A地跑到B地．狗每分钟跑100米，兔子每分钟跑80米，兔子比狗先跑了6分钟，他们同时到达B地．那么A地到B地的距离是多少米？
【分析】狗开始跑时，兔子和狗此时的路程差是80×6=480米，狗追上兔子的时间即为狗跑完全程的时间：480÷(100－80)=24分钟，AB的距离是：100×24=2400米．
例2、甲乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。

途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地，A、B两地间的路程是多少？
【分析】甲修理了3小时，而又比乙迟到了1小时，说明行驶同样的路程，甲比乙少用3－1=2小时。

相当于乙先出发2小时，甲正好在B地追上乙。

路程差是40×2=80千米，速度差是50－40=10千米/时，追及时间为80÷10=8小时，因此甲行驶8小时到达B地，A、B地距离是50×8=400千米。

例3、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？
【分析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度8÷2=4米，可求出甲的速度4+2=6米．
〖方法总结〗
这几个题目是典型的追及问题，我们主要找出路程差、速度差、追及时间，知二求一。

在此过程中，要注意到先出发的目的是为了形成一个路程差，要区分先跑的时间、时间差与追及时间的区别，找出两人同时行走的时刻时的路程差。

〖巩固练习〗
练习1：兔子与狗要由A地跑到B地．狗每分钟跑100米，兔子每分钟跑80米，兔子比狗先跑了500米，他们同时到达B地．那么A地到B地的距离是多少米？
练习2：甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分，乙跑一圈要15分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多少分甲追上乙？
练习3：小明从家到学校上课，开始每分钟走50米，走了2分钟。

这时他发现，若根据以往的经验，再按照这个速度走下去，将要迟到2分钟。

于是他立即加快了速度，每分钟多走10米，结果早到了2分钟。

小明家到学校有多远？
练习4：甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发，走12分钟后，甲返回取东西，而乙继续前进，甲取东西用去6分钟，然后改骑自行车以每分钟360米的速度去追乙，骑车多少分钟才能追上乙？
练习5：甲、乙两人分别在80米长的跑道两端，同时相向而行，5秒钟相遇；同时同向而行，甲20秒追上乙，求两人的速度各是多少？
练习6：甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分甲第一次超过乙，22分时甲第二次超过乙。

假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面多少米？
〖经典例题〗
例4、甲、乙、丙三人都从A地到B地．早上7时，甲、乙两人一起从A 地出发，甲每小时走8千米，乙每小时走6千米．丙上午8点从A地出发，下午4点甲、丙同时到达B地．问？丙几点钟追上乙？
【分析】虽然是三个人的追及问题，我们思考的时候还是要从两个人出发，甲丙同时到达B地，先看甲丙的追及过程，丙比甲晚出发1小时，甲丙的路程差是8×1=8(千米)，速度差是8÷8=1(千米)，所以丙的速度是8＋1=9(千米)，乙丙的路程差是6×1=6(千米)，追及时间是6÷(9－6)=2(小时)，所以丙8＋2=10点追上乙．
例5、甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。

问：
(1) A，B相距多少米？
(2)如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？
【分析】(1)乙跑最后20米时，丙跑了40－24＝16(米)，丙的速度是乙的164
205
=。

因为乙到B时比丙多跑24米，所以由差倍问题，A，B两地相距24÷(1
－4
5
)=120米。

(2)甲跑120米，丙跑120－40=80米，丙的速度是甲的
802
1203
=。

甲的速度
是(120÷24)÷2
3
=7.5米/秒。

例6、B地在A，C两地之间。

甲从B地到A地去，甲出发后1小时乙从B 地出发到C地，乙出发后1小时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙。

已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速
度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再追甲？
【分析】若先追甲，甲已走了2时，则追上甲需1时，返回B地又用1时，此时乙已走了3时，再追上乙需1.5时，返回B地再用1.5时。

共用5时。

若先追乙，乙已走了1时，则追上乙需0.5时，返回B地又用0.5时，此时甲已走了3时，再追上甲需1.5时，返回B地再用1.5时。

共用4时。

〖方法总结〗
这几个题目都是多人的追及问题，对于这类问题，还是从两人入手。

这类问题难度比较大，解题时一定要清楚的分析整个过程，找出知道的量比较多的两个人，如例4，题目中所给的甲丙的条件比较多，因此从甲丙的追及过程入手，求出丙的速度，然后在进行第二个过程，乙丙的追及过程。

〖巩固练习〗
练习1：学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。

甲、乙两人早晨6点一起从学校出发，甲每时走5千米，乙每时走4千米，丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时到达军训驻地。

问：丙在何时追上乙？
练习2：快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。

已知快、慢车的速度分别为24千米／时和19千米／时，求中速车的速度。

练习3：甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。

甲出发后多长时间追上乙？
练习4：甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。

已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？
练习5：快、中、慢三车同时从A地出发到B地去，20分钟后快车超过了一个骑车人，30分钟、40分钟后中车和慢车也分别超过了骑车人，已知快车比中车每小时多行6千米，问：快车比慢车每小时快多少？
练习6：B地在A，C两地之间。

甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来。

已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间？
〖经典例题〗
例7、自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
【分析】在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18+9)千米，而自行车所走的路程为(18－9)千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍(=(18+9)÷(18－9))；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的
2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12÷2=6(分钟)；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走了9千米的路程，摩托车的速度9÷6=1.5(千米)，自行车的速度是1.5×3=4.5(千米)．
例8、两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶。

甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点。

如
果甲、乙以后的速度不变，则甲追上乙时，甲从出发开始，共跑
了多少米？
【分析】甲乙相遇后，乙原路返回，再回到B点时，乙行驶
的时间和甲乙相遇的时间相同，这段时间内甲从相遇地点行到Ａ点，因此相遇时，甲行了圆周的一半180米，乙行了90米，甲的速度是乙的2倍。

现在甲乙的路程差是270米，则甲追上乙时，甲应跑270÷(2－1)×2=540米，因此从出发开始共跑了540+360=900米。

例9、有甲乙丙3辆汽车，以一定的速度从A地开往一地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，那么甲出发后需用____分钟才能追上乙。

【分析】当从A地到B(乙追上丙的地点)时，乙的行驶时间是40分钟，丙的行驶时间是50分钟，所以行驶相同路程所用的时间比是4:5,同理，甲、丙二人行驶相同的路程所用的时间比是10:13,那么甲、乙、丙三人行驶相同路程所用的时间比是50:52:65,那么甲、乙二人的时间差是52－50=2，对应的时间是20分钟，所以甲的行驶时间是20÷2×50=500(分钟)。

〖方法总结〗
这几个例题主要的是比例在追及问题中的应用，其间包含了一些差倍与和倍的思想，便于理解，一般都设出份数。

比较重要的是找出对应。

〖巩固练习〗
练习1：甲、乙两人都从A地经B地到C地。

甲8点出发，乙8点45分出发。

乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分。

两人刚好同时到达C地。

问：到达C地时是什么时间？
练习2：龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍，当它门从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米．那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？
练习3：甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行．问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次(包括结束时刻)？
练习4：周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A﹑B两点，甲乙两人分别从A﹑B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同相而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B，如果以后甲﹑乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米？
〖经典例题〗
例10、左下图是一个边长为100米的正三角形，甲自A点、乙自B点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。

甲每分走120米，乙每分走150米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误10秒。

问：乙出发后多长时间在何处追上甲？
【分析】甲乙的速度比是4：5，即甲走4条边，乙走5条边，
所以甲行到C点乙正好追上甲。

甲行一条边的时间是50秒，所
用时间是50×4+10×4=4分钟，因此甲到C点后刚好转过弯，而乙刚好到C点。

例11、下图是一个正五边形，已知甲走3分的路乙要走7分。

如果甲、乙同时从A点出发，顺时针行走，那么甲第三次追上乙时在哪条边上？
【分析】由题意知：甲乙的速度比是7：3，即乙行的路程与甲乙路程差的比
是3：4.因此甲追上乙时，甲比乙多行了1圈，此时乙行了3
4
圈，
即乙每走3
4
圈，甲就追上乙一次。

所以甲第三次追上乙时，乙行
了3
4
×3=
9
4
圈=11
1
4
边，此时乙在BC边上。

例12、如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正
方形。

甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
【分析】甲追上乙一条边(300米)需300÷(90－70)＝15(分)，
此时甲走了90×15÷300＝4.5(条)边，甲、乙不在同一条边上，甲
看不到乙。

甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可
看到乙，共需300×5÷90=162
3
分。

例13、龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩20分钟，又跑了2分钟然后玩20分钟，再跑3分钟然后玩20分钟，……，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？
【分析】乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60＝104分钟；
兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60＝15.6分钟．
注意到兔子休息的规律是跑1、2、3……分钟后，休息20分钟。

于是将15.6分，试着表达成公差为1的等差数列和
15.6=1＋2＋3＋4＋5＋0.6，有5个间隔，所以休息5×20＝100分钟，
于是，兔子跑到终点所需时间为15.6＋100＝115.6分钟；
显然，乌龟先到达，先兔子115.6－104＝11.6分钟．
〖方法总结〗
这几个题目都是行驶路线为折线，且中间有停顿，这样先假设没有停顿的话，估算出大致的追及时间范围，然后根据停顿产生的时间差，再继续行驶求出具体
的时间。

〖巩固练习〗
练习1：如图是一座立交桥的俯视图，中心部分的路面宽20米，AB=CD=100米，阴影部分为四个四分之一圆的草坪，现有甲乙两车分别在A，D两处按箭头方向行驶，甲的速度为56千米/时，乙的速度为50千米/时，甲车要追上乙车至少要多少分钟？
练习2：如图两个圆有一个公共点A，大圆的直径48厘米，小圆的直径为30厘米，两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别沿两个圆圈爬行，当小圆上的甲虫爬了多少圈后，两只甲虫相距最远？
练习3：甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕池边沿A→B→C→D→A的方向行走。

甲每分行50米，乙每分行46米，甲、乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？
练习4：环行跑道周长500米，甲﹑乙两人按顺时针沿环行跑道同时，同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50千米。

甲﹑乙两人每跑200米均要停下休息1分钟，那么甲首次追上乙需要____分钟。