高中数学第一章 1.1.2_1.1.3四种命题四种命题间的相互关系讲义(含解析)新人教A版选修1_1

1．1.2 & 1.1.3 四种命题四种命题间的相互关系
预习课本P4～8，思考并完成以下问题
1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？
2．什么样的两个命题有相同的真假性？
3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？
[新知初探]
1．原命题与逆命题
2．原命题与否命题
3．原命题与逆否命题
4．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( )
(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( )
答案：(1)√(2)√
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
答案：B
3．命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是
________________________________________________________________________．答案：若x2≤y2，则x≤y
4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p与q的关系是________．答案：互为逆否命题
四种命题的概念
[典例]
命题．
(1)对顶角相等；
(2)全等三角形的对应边相等．
[解] (1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；
逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；
否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；
逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角．
(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
四种命题的转换方法
(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
[注意] 四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式． 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； (2)当x ＝2时，x 2
－3x ＋2＝0.
解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2； 否命题：若x ≠2，则x 2
－3x ＋2≠0； 逆否命题：若x 2
－3x ＋2≠0，则x ≠2.
四种命题真假的判断
[典例] (1)“正三角形都相似”的逆命题．
(2)“若x 2
＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题． (3)“若m >0，则x 2
＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．
[解] (1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题． (2)原命题的否命题为“若x 2
＋y 2
＝0，则x ，y 全为零”．真命题．
(3)原命题的逆否命题为“若x 2
＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．因为方程x 2
＋x －m ＝0无实根，
所以判别式Δ＝1＋4m <0，解得m <－14，
故m ≤0，为真命题． [一题多变]
1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m >0，则x 2
＋x －m ＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？
解：原命题的逆命题为“若x 2
＋x －m ＝0有实根，则m >0”．
因为方程x 2
＋x －m ＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m ≥0，所以m ≥－14，故逆命题为
假命题．
2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2
＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，
则结论如何？
解：原命题的逆否命题为“若mx 2
＋x －1＝0无实根，则m ≤0”．因为方程mx 2
＋x －1＝0无实根，则m ≠0，所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－1
4
，故m ≤0，为真命题．
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
等价命题的应用
[典例] 证明：若f (a )＋f (b )≥f (－
a )＋f (－
b )，则a ＋b ≥0.
[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，
b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．
若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．
法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．
这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾． 因此假设不成立，故a ＋b ≥0.
“正难则反”的处理原则
(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．
证明：若m 2
＋n 2
＝2，则m ＋n ≤2.
证明：将“若m 2
＋n 2
＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，
则m 2＋n 2
≠2”．
由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22
＝2，
所以m 2
＋n 2
≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
层级一 学业水平达标
1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b
D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b
解析：选D 条件“a ＝－b ”和结论“|a |＝|b |”互换后得到逆命题：若|a |＝|b |，则
a ＝－
b .故选D.
2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 全是锐角”的否命题为( ) A ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 全不是锐角 B ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不全是锐角 C ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 中必有一个是钝角 D ．以上都不对
解析：选 B “全是”的否定是“不全是”，故该命题的否命题为“在△ABC 中，若
C ≠90°，则A ，B 不全是锐角”．
3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：选C “若a >－3，则a >－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.
4．若命题p 的逆命题为q ，命题q 的否命题为r ，则命题p 是命题r 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题
D ．以上都不对
解析：选C 由四种命题的关系，知命题p 与命题r 互为逆否命题． 5．在下列四个命题中，为真命题的是( ) A ．“x ＝2时，x 2
－5x ＋6＝0”的否命题 B ．“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题 C ．若ac >bc ，则a >b
D ．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
解析：选D A 中命题的否命题为“x ≠2时，x 2
－5x ＋6≠0”，是假命题；B 中命题的逆命题为“若b 2
＝9，则b ＝3”，是假命题；C 中当c <0时，为假命题；D 中原命题与其逆否命题等价，都是真命题．
6．命题“若x ≠1，则x 2
－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2
－1＝0，则x ＝1”，因为x 2
－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．
解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.
答案：[1,2] 8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． (1)正数a 的立方根不等于0；
(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)原命题：若a 是正数，则a 的立方根不等于0，是真命题． 逆命题：若a 的立方根不等于0，则a 是正数，是假命题． 否命题：若a 不是正数，则a 的立方根等于0，是假命题． 逆否命题：若a 的立方根等于0，则a 不是正数，是真命题．
(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．
逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．
否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．
逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
层级二应试能力达标
1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．0个B．1个
C．2个 D．4个
解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.
3．命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是奇数，则x与y不都是奇数
B．若x＋y是奇数，则x与y都不是奇数
C．若x＋y不是奇数，则x与y不都是奇数
D．若x＋y不是奇数，则x与y都不是奇数
解析：选C 由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为若x＋y不是奇数，则x，y
不都是奇数，故选C.
4．有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2
－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中，为真命题的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．④
D ．①②③
解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题；③的逆否命题：“若x 2
－2x ＋m ＝0没有实数解，则
m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B
＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．
5．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”； 否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”； 逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”； 全为真命题． 答案：4
6．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2
－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是
________________________________________________________________________．
解析：由已知，易得{x |x 2
－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2
－2x －3>0}＝
{x |x <－1或x >3}，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤m －1，m ＋1<3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1<m －1，
m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.
答案：[0,2]
7．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于1
3.
证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都不小于1
3，则a ＋b ＋c ≥1.
由条件a ≥13，b ≥13，c ≥1
3
，
三式相加得a ＋b ＋c ≥1，显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，
b ，
c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，
则a ，b ，c 中至少有一个小于13
.
8．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解：能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以
c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．。