数学人教B版必修5课件：3.3 一元二次不等式及其解法
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则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是________．
【解析】由表知 x＝－2 时，y＝0，x＝3 时，y＝0. ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可化为 y＝a(x＋2)(x－3)，又当 x＝1 时，y＝－6，∴a＝1. ∴不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解为 x＜－2 或 x＞3.
【答案】{x|x<－2 或 x>3}
3．设集合 A＝{x|(x－1)2<3x－7}，则集合 A∩Z 中有______个元素． 【解析】∵不等式(x－1)2<3x－7 可化为 x2－5x＋8<0， 即(x－52)2＋74>0 ∴A＝∅，故 A∩Z 中没有元素．
【答案】0
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
(3)原不等式可化为 6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程 6x2＋x－2＝0 有两个不同实根，分别是－23，12， ∴原不等式的解集为{x|－23≤x≤12}． (4)原不等式可化为 4x2－4x＋1≤0， 即(2x－1)2≤0. ∴原不等式的解集是{x|x＝12}．
【答案】(1){x∈R|x≠13}
(2)∅
命题方向2：一元二次不等式的实际应用 例 2：某热带风暴中心 B 位于海港城市 A 东偏南 30°的方向， 与 A 市相距 400 km.该热带风暴中心 B 以 40km/h 的速度向正 北方向移动，影响范围的半径是 350 km.问：从此时起，经多 少时间后 A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
变式训练 2：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前 滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹 车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速 40km/h 以内 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车， 但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过 12m，乙车的 刹车略超过 10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x＋0.01x2，s 乙＝0.05x＋0.005x2. 问：超速行驶应负主要责任的是谁？
课堂检测
1.不等式 2x2－x－1>0 的解集是( ) A．(－12，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)
【解析】∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由 2x2－x－1>0 得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－12， ∴不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)． 【答案】D
5．解下列关于 x 的不等式： (1)－x2＋5x－4>0； (2)2x＋5≥3x2.
解：(1)原不等式等价于 x2－5x＋4<0. ∵方程 x2－5x＋4＝0 的根为 x＝1 或 x＝4. ∴原不等式的解集为{x|1<x<4}． (2)原不等式等价于 3x2－2x－5≤0. ∵方程 3x2－2x－5＝0 的根为 x＝－1 或 x＝53. ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤53}．
3.3 一元二次不等式及其解法
情境引入导学
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用，各地一线城市的房价增速下降，但仍是涨多跌少．某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2，到了 2011 年 2 月末，楼盘 均价高于 20 580 元/m2，那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数？能列出不等式求解吗？
又ac＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a. ∴不等式 cx2＋bx＋a<0 变为(－23a)x2＋(－53a)x＋a<0， 即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0. ∴不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集为{x|－3<x<12}．
解法二：∵原不等式的解集为{x|－13≤x≤2}． ∴－13，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，且 a<0.
变式训练 3：已知方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12和 2. (1)求 a、b 的值； (2)解不等式 ax2＋bx－1>0.
解：(1)∵方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12和 2，
由根与系数的关系，得－－1212＋×22＝＝－2a ba
，
解得 a＝－2，b＝3. (2)由(1)知，ax2＋bx－1>0 变为－2x2＋3x－1>0， 即 2x2－3x＋1<0，解得12<x<ห้องสมุดไป่ตู้. ∴不等式 ax2＋bx－1>0 的解集为{x|12<x<1}．
Δ>0 x1，x2
Δ＝0 x0＝－2ba
Δ<0 没有实数根
f(x)>0 的解集
_{_x_|x_>_x_2_或__x_<_x_1_}_ ____________ ___R_____
f(x)<0 的解集
__{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}___
___∅_____
__∅______
课堂典例讲练
命题方向1：简单的一元二次不等式的解法
由根与系数的关系得－－1313＋×22＝＝－ac ba
，即baac＝＝－－5323
.
由于 a<0，所以不等式 cx2＋bx＋a<0 可化为acx2＋bax＋1>0， 即－23x2－53x＋1>0. 即 2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0. ∴不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集为{x|－3<x<12}．
(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0， ∴不等式 2x2－4x＋7<0 的解集为∅.
变式训练 1：(1)不等式 9x2－6x＋1＞0 的解集为________； (2)不等式 x2－4x＋5＜0 的解集为________．
【解析】(1)因为 Δ＝0，方程 9x2－6x＋1＝0 有两个相等实数解： x1＝x2＝13.∴不等式的解集为{x∈R|x≠13}． (2)∵Δ＝－4＜0，方程 x2－4x＋5＝0 无实数解，函数 y＝x2－ 4x＋5 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点，所以不等 式的解集为∅.
知能自主梳理
1.一元二次不等式的概念
含有__一__个____未知数，且未知数的__最__高____次数为_2_的__整__式__不等
式，叫做一元二次不等式．
2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝f(x)的 示意图
Δ＝b2－4ac f(x)＝0 的根
例 1：解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0;
(2)x2－3x＋5>0；
(3)－6x2－x＋2≥0; (4)－4x2≥1－4x；
(5)2x2－4x＋7<0.
解：(1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程 2x2－3x－2＝0 有两个不同实根， 分别是－12，2， ∴原不等式的解集为{x|x>2，或 x<－12}． (2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0， ∴x2－3x＋5>0 的解集为 R.
解：如图，以 A 市为原点，正东方向为 x 轴建立直角坐标系． ∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心 B 的坐标为(200 3，－200)， x 小时后台风中心 B 到达点 P(200 3，40x－200)处．
由已知，A 市受台风影响时，有|AP|≤350， 即(200 3)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得 16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得，3.75≤x≤6.25， A 市受台风影响的时间为 6.25－3.75＝2.5. 故在 3.75h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达 2.5h.
命题方向3：“三个二次”关系的应用 例 3：若不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是{x|－13≤x≤2}，求不 等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
解：解法一：由 ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|－13≤x≤2}知，a<0， 又(－13)×2＝ac<0，则 c>0. 又－13，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， ∴－ba＝53. ∴ba＝－53.
2．下列不等式是一元二次不等式(其中 a、b、c、m 为常数的是)( )
①x2>0；
②－x－x2≤5；
③ax2>2;
④x3＋5x－6>0；
⑤mx2－5y<0;
⑥ax2＋bx＋c>0.
A．①②③
B．①②④
C．①②
D．①②③④
【解析】①②符合定义，所以①②都是． ③不是，因为 a＝0 时，不符合定义． ④不是，因为 x 的最高次数为 3，不符合定义． ⑤不是，因为当 m＝0 时，它为一元一次不等式；当 m≠0 时，它 是二元． ⑥不是，因为 a＝0 时，不符合一元二次不等式的定义． 【答案】C
解：要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清 速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型， 由题意列出不等式 甲：0.1x＋0.01x2＞12， 乙：0.05x＋0.005x2＞10， ∵x＞0，∴解得 x 甲＞30 km/h，x 乙＞40 km/h，经比较知乙车超 过限速，应付主要责任.
【解析】由表知 x＝－2 时，y＝0，x＝3 时，y＝0. ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可化为 y＝a(x＋2)(x－3)，又当 x＝1 时，y＝－6，∴a＝1. ∴不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解为 x＜－2 或 x＞3.
【答案】{x|x<－2 或 x>3}
3．设集合 A＝{x|(x－1)2<3x－7}，则集合 A∩Z 中有______个元素． 【解析】∵不等式(x－1)2<3x－7 可化为 x2－5x＋8<0， 即(x－52)2＋74>0 ∴A＝∅，故 A∩Z 中没有元素．
【答案】0
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
(3)原不等式可化为 6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程 6x2＋x－2＝0 有两个不同实根，分别是－23，12， ∴原不等式的解集为{x|－23≤x≤12}． (4)原不等式可化为 4x2－4x＋1≤0， 即(2x－1)2≤0. ∴原不等式的解集是{x|x＝12}．
【答案】(1){x∈R|x≠13}
(2)∅
命题方向2：一元二次不等式的实际应用 例 2：某热带风暴中心 B 位于海港城市 A 东偏南 30°的方向， 与 A 市相距 400 km.该热带风暴中心 B 以 40km/h 的速度向正 北方向移动，影响范围的半径是 350 km.问：从此时起，经多 少时间后 A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
变式训练 2：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前 滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹 车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速 40km/h 以内 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车， 但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过 12m，乙车的 刹车略超过 10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x＋0.01x2，s 乙＝0.05x＋0.005x2. 问：超速行驶应负主要责任的是谁？
课堂检测
1.不等式 2x2－x－1>0 的解集是( ) A．(－12，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)
【解析】∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由 2x2－x－1>0 得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－12， ∴不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)． 【答案】D
5．解下列关于 x 的不等式： (1)－x2＋5x－4>0； (2)2x＋5≥3x2.
解：(1)原不等式等价于 x2－5x＋4<0. ∵方程 x2－5x＋4＝0 的根为 x＝1 或 x＝4. ∴原不等式的解集为{x|1<x<4}． (2)原不等式等价于 3x2－2x－5≤0. ∵方程 3x2－2x－5＝0 的根为 x＝－1 或 x＝53. ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤53}．
3.3 一元二次不等式及其解法
情境引入导学
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用，各地一线城市的房价增速下降，但仍是涨多跌少．某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2，到了 2011 年 2 月末，楼盘 均价高于 20 580 元/m2，那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数？能列出不等式求解吗？
又ac＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a. ∴不等式 cx2＋bx＋a<0 变为(－23a)x2＋(－53a)x＋a<0， 即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0. ∴不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集为{x|－3<x<12}．
解法二：∵原不等式的解集为{x|－13≤x≤2}． ∴－13，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，且 a<0.
变式训练 3：已知方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12和 2. (1)求 a、b 的值； (2)解不等式 ax2＋bx－1>0.
解：(1)∵方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12和 2，
由根与系数的关系，得－－1212＋×22＝＝－2a ba
，
解得 a＝－2，b＝3. (2)由(1)知，ax2＋bx－1>0 变为－2x2＋3x－1>0， 即 2x2－3x＋1<0，解得12<x<ห้องสมุดไป่ตู้. ∴不等式 ax2＋bx－1>0 的解集为{x|12<x<1}．
Δ>0 x1，x2
Δ＝0 x0＝－2ba
Δ<0 没有实数根
f(x)>0 的解集
_{_x_|x_>_x_2_或__x_<_x_1_}_ ____________ ___R_____
f(x)<0 的解集
__{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}___
___∅_____
__∅______
课堂典例讲练
命题方向1：简单的一元二次不等式的解法
由根与系数的关系得－－1313＋×22＝＝－ac ba
，即baac＝＝－－5323
.
由于 a<0，所以不等式 cx2＋bx＋a<0 可化为acx2＋bax＋1>0， 即－23x2－53x＋1>0. 即 2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0. ∴不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集为{x|－3<x<12}．
(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0， ∴不等式 2x2－4x＋7<0 的解集为∅.
变式训练 1：(1)不等式 9x2－6x＋1＞0 的解集为________； (2)不等式 x2－4x＋5＜0 的解集为________．
【解析】(1)因为 Δ＝0，方程 9x2－6x＋1＝0 有两个相等实数解： x1＝x2＝13.∴不等式的解集为{x∈R|x≠13}． (2)∵Δ＝－4＜0，方程 x2－4x＋5＝0 无实数解，函数 y＝x2－ 4x＋5 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点，所以不等 式的解集为∅.
知能自主梳理
1.一元二次不等式的概念
含有__一__个____未知数，且未知数的__最__高____次数为_2_的__整__式__不等
式，叫做一元二次不等式．
2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝f(x)的 示意图
Δ＝b2－4ac f(x)＝0 的根
例 1：解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0;
(2)x2－3x＋5>0；
(3)－6x2－x＋2≥0; (4)－4x2≥1－4x；
(5)2x2－4x＋7<0.
解：(1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程 2x2－3x－2＝0 有两个不同实根， 分别是－12，2， ∴原不等式的解集为{x|x>2，或 x<－12}． (2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0， ∴x2－3x＋5>0 的解集为 R.
解：如图，以 A 市为原点，正东方向为 x 轴建立直角坐标系． ∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心 B 的坐标为(200 3，－200)， x 小时后台风中心 B 到达点 P(200 3，40x－200)处．
由已知，A 市受台风影响时，有|AP|≤350， 即(200 3)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得 16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得，3.75≤x≤6.25， A 市受台风影响的时间为 6.25－3.75＝2.5. 故在 3.75h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达 2.5h.
命题方向3：“三个二次”关系的应用 例 3：若不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是{x|－13≤x≤2}，求不 等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
解：解法一：由 ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|－13≤x≤2}知，a<0， 又(－13)×2＝ac<0，则 c>0. 又－13，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， ∴－ba＝53. ∴ba＝－53.
2．下列不等式是一元二次不等式(其中 a、b、c、m 为常数的是)( )
①x2>0；
②－x－x2≤5；
③ax2>2;
④x3＋5x－6>0；
⑤mx2－5y<0;
⑥ax2＋bx＋c>0.
A．①②③
B．①②④
C．①②
D．①②③④
【解析】①②符合定义，所以①②都是． ③不是，因为 a＝0 时，不符合定义． ④不是，因为 x 的最高次数为 3，不符合定义． ⑤不是，因为当 m＝0 时，它为一元一次不等式；当 m≠0 时，它 是二元． ⑥不是，因为 a＝0 时，不符合一元二次不等式的定义． 【答案】C
解：要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清 速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型， 由题意列出不等式 甲：0.1x＋0.01x2＞12， 乙：0.05x＋0.005x2＞10， ∵x＞0，∴解得 x 甲＞30 km/h，x 乙＞40 km/h，经比较知乙车超 过限速，应付主要责任.