基于LMS的自适应均衡技术的研究

基于LMS的自适应均衡技术的研究
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第一章绪论
§1.1 自适应均衡技术的由来
在数字通信系统中，特别是高速数字传输系统中，均衡是一个很重要的问题，无论是通过公用电话交换网，或者是通过短波信道，微波信道和卫星信道，都需要使用均衡技术[6]。

本节将对均衡技术做一简要回顾。

数字通信系统中，为了提高频带利用率和业务性能，满足高可靠性各种非话业务的无线传输，特别是为移动ISDN（综合服务数据网）的引入，都需要（几十至上百千比特每秒）高速移动无线数字信号传输技术。

而在采用时分多址（TDMA）这种高速数字移动通信中，由于多径传播，不仅产生瑞利性衰落，且产生因延时分散而造成的频率选择性衰落，无疑会使电波传输特性恶化，造成接收信号既有单纯的电平移动，又伴随有波形失真产生，影响接收质量，且传输速率越高，多径传输所引起的码间干扰（ISI）就越严重。

码间干扰被认为是在移动无线通信信道中传输高速率数据时的主要障碍。

为了克服ISI引起的失真，在一个通信系统中常常使用称之为信道均衡的信号处理技术。

均衡器的目的通过使用滤波器或其它技术来重建原始信号，去掉ISI的影响，从而提高数据传输的可靠性。

从广义上讲，均衡可以指任何用来削弱干扰的信号处理操作。

在无线信道中，可以用各种各样的自适应均衡技术来消除干扰。

由于移动衰落信道具有随机性和时变性，这就要求均衡器必须能够实时地跟踪移动通信信道的时变特性，而这种均衡器又称为自适应均衡器。

自适应均衡器一般包含两种工作模式，即训练模式和跟踪模式。

首先，发射机发射一个已知的、定长的训练序列，以便接收机处的均衡器可以做出正确的设置。

典型的训练序列是一个二进制伪随机信号
或是一串预先指定的数据序列，而紧跟在训练序列之后被传送的是用户数据。

接收机处的均衡器将通过递推算法来评估信道特性，并修正滤波器系数以对信道做出补偿。

在设计训练序列时，要求作到即使在最差的信道条件下，均衡器也能通过这个序列获得正确的滤波系数。

这样就可以在收到训练序列后，使得均衡器的滤波系数已经接近最佳值。

而在接收用户数据时，均衡的自适应算法就可以跟踪不断变化的信道[9]。

结果就是，自
适应均衡将不断改变其滤波特性。

均衡器从调整至形成收敛，整个过程的时间跨度是均衡器算法、结构和多径信道变化率的函数。

为了保证能有效地消除码间干扰，均衡器需要周期性地作重复训练。

均衡器被大量用于数字通信系统中，因为在数字通信中用户数据是被分为若干段并被放在相应的时间段中传送。

在实际的数字传输系统中，使设计的均衡器能高速跟踪不断时变的信道，其中寻求高速的自适应算法是其实现的关键，因此研究好的自适应均衡算法和均衡器具有重要的理论和现实意义。

§1.2 自适应均衡技术的发展与研究现状
均衡技术最早应用于无线电通信领域，主要用于消除由于信道响应引起的码间干扰（ISI）。

自从二十世纪六十年代初B.Widrow提出自适应信号处理的理论后，均衡技术也由早期的固定式均衡和预置式均衡进入了自适应均衡的阶段[9]，并且从此取得了巨大的发展。

二十世纪六十年代后期，基于最小均方误差（LMS）算法的自适应均衡就已经得到了描述[9]，这是一种典型的线性处理方法。

此后，这一方法被广泛地应用于多种码间干扰（ISI）不是很严重的场合。

随着通信技术的发展，人们发现这种线性均衡结构在很多应用领域的处理效果无法令人满意。

随后，自适应均衡技术开辟了两条非线性的发展方向。

其中之一就是判决反馈均衡器（DFE）[6]，另一个发展方向就是采用极大似然估计的思想对信息符号或序列进行检测的方法，即自适应极大似然序列估计（MLSE）。

判决反馈均衡器与线性均衡方法
相比其性能有很大的提高，这主要表现为它对于信号幅度畸变的良好补偿性能，并且避免了线性均衡增强噪声的现象，同时，这种均衡器对信号采样的相位不敏感[6]。

所谓自适应极大似然序列估计（MLSE）方法实质是在基于维特比（Viterbi）算法的极大似然序列估计[6][26]的基础上采用自适应信道估计器为序列检测提供信道信息[26]。

由于结合了自适应信道估计技术，使得这一方法获得了更为广阔的发展空间。

从另一方面来看MLSE方法通过充分利用信道特性而获得了优良性能的同时也带来了其计算量随着信道的复杂度的提高急剧增长的问题[6][26]。

上述三种自适应均衡器的基本类型均是在二十世纪六十年代末到七十年代初
期间提出的[6]。

这三种基本类型构成了自适应均衡器的主要框架。

之后，在此基础上自适应均衡技术无论是在结构上还是在算法上都取得了极大地发展。

从均衡器的实现结构上看，主要包括横向和格型结构两种。

用于实现均衡器学习的算法非常丰富，其中包括：最小均方误差（LMS）、递推最小二乘（RLS）算法、快速横向自适应滤波型（FTF）算法，即快速RLS算法、以及增益归一化FTF算法、平方根Kalman算法（Square-Root RLS）等[3][7][9]。

这些算法都具有各自不同的特点，适用于多种不同的应用领域。

如今，自适应均衡技术已经发展到了各种类型的均衡器互相借鉴、融合，以及与通信系统中的其他环节结合的阶段。

首先，非线性均衡的两大类方法：判决反馈均衡器与极大似然序列估计方法的相互结合[6][26]奏响了这一阶段的序曲。

在此方法中，判决反馈均衡器的作用是限制信道响应引起的MLSE算法复杂性的急剧增长，因而，它与基于维特比算法的极大似然序列估计是分离的，实际上是起到预滤波的作用。

此后，又出现了将判决反馈均衡器嵌入极大似然序列估计的结合方式[26]。

在该结构中，判决反馈均衡器就不单单起到预滤波的作用，而还起着补偿信道畸变和为MLSE检测器提供输入信号预测的作用，由于该方法使用了嵌入结构以及预测信号的方式，因此在很大程
度上抑制了传统DFE均衡器中误码传播的弱点。

此外还出现了联合判决反馈均衡器与线性预测方法跟踪衰落信道特性[26]；极大似然序列估计器与FIR滤波器联合工作[26]以及与分集技术相结合的方法等。

而另外一种常见的方式则是自适应均衡方法联合各种编码以及调制技术，例如：极大似然序列估计器与网格编码调制（TCM）技术相结合[26]；判决反馈均衡器结合编码技术[26]以及编码调制技术[13]等新方法、新理论。

综上所述，随着人们生活的提高，无线通信技术已经成为通信领域中一个非常活跃的研究热点。

其中新的技术和方法不断地涌现，而自适应均衡技术则是无线通信系统实现高速、高效的关键技术。

因此，深入的研究无线通信系统的环节及其中的自适应均衡技术，不断提高无线通信系统的性能以满足各种应用领域的需求是十分必要和紧迫地。

§1.3 无线通信中的自适应均衡技术
§1.3.1 无线通信中的均衡器在无线通信系统中，均衡器常被放在无线接收机的基带或中频部分实现。

因
为基带包络的复数表达式可以描述带通信号波形，所以信道响应、解调信号和自适应均衡器的算法通常都可以在基带部分被仿真和实现。

图1.1是通信系统的结构框图，其中接收机中包含有自适应均衡器。

如果)(t y 是原始信息信号，)(t f 是等效的基带冲激响应，即综合反映了发射
图1.1 使用均衡器的通信系统的结构框图
机、信道和接收机的射频、中频部分总的传输特性，那么均衡器收到的信号可以表示成
)()()()(*t v t f t y t x +*= （1.3.1）其中，)(*t f 是)(t f 的复共轭函数，)(t v 是均衡器输入端的基带噪声，*为卷积操作符。

如果均衡器的冲激响应是)(t w eq ，则均衡器的输出为
)()()()()()(?*t w t v t w t f t y t d eq
eq *+**= )()()()(t w t v t g t y eq *+*= （1.3.2）
其中，)(t g 是发射机、信道接收机的射频、中频部分和均衡器四
者的等效冲激响
应。

横向滤波均衡器的基带复数冲激响应可以描述如下
)()(nT t w t w n
n eq -=∑δ （1.3.3）
其中，n w 是均衡器的抽头系数。

均衡器的期望输出值为原始信息)(t y ，假定
0)(=t v ，那么为了使式（1.3.2）中的)()(?t y t d
=，必须要求)()()()(*t t w t f t g eq δ=*= （1.3.4）均衡器的目的就是实现式（1.3.4），其频域表达式为
1)()(*=-f F f W eq （1.3.5）
其中)(f W eq 和)()f F 是)(t w eq 和)(t f 所对应的傅立叶变换。

式（1.3.5）表明均衡器实际上是传输信道的逆滤波器。

如果传输信道是频率
选择性的，那么均衡器将增强频率衰落大的频谱部分，而削弱频率落小的频谱部分，以使所收到的频谱的各部分衰落趋于平坦，相位趋于线性。

对于时变信道，自适应均衡器可以跟踪信道的变化，以使式（1.3.5）基本满足。

§1.3.2 均衡技术的分类
均衡技术可分为两类：线性均衡和非线性均衡。

这两类的差别主要在于自适
LMS
RLS
快速RLS
平方根RLS 梯度RLS LMS RLS 快速RLS 平方根RLS
梯度RLS LMS RLS 快速RLS 平方根RLS 算法
图1.2 均衡器分类
应均衡器的输出被用于反馈控制的方法。

如果判决输出没有被用于均衡器的反馈逻辑中，那么均衡器是线性的；如果判决输出被用于反馈逻辑中并帮助改变了均衡器的后续输出，那么均衡器是非线性的。

实现均衡的滤波器结构有许多种，而且每种结构的在实现时又有许多
种算法。

图1.2是按均衡器所用的类型、结构和算法的不同，对常用的均衡技术进行分类的结果。

§1.4 自适应均衡器的基本原理
§1.4.1 自适应均衡器的结构体系
正如上节所述，自适应均衡的结构可以是横向结构以及格形结构。

最常用的
均衡器结构是线性横向均衡器（LTE ），如图1.3所示。

它由分为若干级的延迟线构成，级与级之间延迟时间的间隔为T ，且延迟单元的增益相同，所以线性横向均衡器的传递函数可以被表示成延迟符号，即)exp(T j ω-或1-z 的函数。

最简单的
抽头
图1.3 基本的线性横向滤波器结构线性横向均衡器只使用前馈延时，其传递函数是1-z 的多项式，有很多零点，且极点都在0=z ，所以被称为有限冲激响应（FIR ）滤波器，或简称为横向滤波器。

若均衡其同时具有前馈和反馈链路，其传递函数将是1-z 的有理分式，则称为无限冲激响应（IIR ）滤波器。

对于IIR 型均衡器则存在不稳定性问题，当进行自适应处理过程中出现极点移出单位圆之外时，会使均衡器产生不稳定，所以很少被使用。

因此本文所讨论的自适应均衡器均采用横向结构FIR 滤波器。

其主要原因是FIR 结构的自适应技术实现容易，其对加权系数的修正就是调节了均衡器的性能，同时还可以保证其稳定性。

§1.4.2 自适应均衡器算法
在实现中，平台的费用、功耗以及无线传播特性支配着均衡器的结构及其算法的选择。

在便携式无线电话的应用中，当需要让用户的通话时长尽量加长时，用户单元的电池使用时间是关键的。

只有均衡器所带来的链路性能的改进能抵消费用和功耗所带来的负面影响时，均衡器才会得到应用。

由于自适应均衡器是对未知的时变信道做出补偿，因而它需要有特别的算法来更新均衡器的系数，以跟踪信道的变化。

关于滤波器系数的算法有很多，本文根据自适应均衡器的设计的一些实际问题，重点来讨论它的几种算法。

§1.5 论文的主要工作
对于论文的研究和撰写，在导师的指导下，本人阅读了大量的参考资料，做了大量的研究工作，在把握国内外关于自适应均衡研究动态的基础上，对常见的自适应算法的思想进行了理论分析及MATLAB 仿真实现。

具体阐述如下：第一章：概述了无线通信中的自适应均衡技术的由来、发展及研究现状，并对自适应均衡器的基本原理进行简要的描述。

第二章：基于前人研究得到的理论，对LMS算法及其变换域DCT-LMS 算法进行深入的研究。

然后描述了用MATLAB软件仿真实验得出LMS和DCT－LMS自适应均衡滤波器的收敛性和稳态性与滤波器长度、信道失真参数及它们各自算法参数之间的定量关系，为此构建了有实际意义的系统仿真模型、做出了仿真实验结果并分析了仿真实验结果的意义。

最后对DCT-LMS算法性能与传统LMS算法的性能进行了分析比较。

第三章：基于前人研究得到的理论，对RLS算法的收敛性、稳态性、计算复杂度进行深入的研究。

然后采用计算机仿真的方法针对基于RLS算法的自适应均衡系统在不同信道失真特性、不同遗忘因子和不同初始值三种情况分别进行实验，得出仿真结果并分析了仿真实验结果的意义。

最后对RLS算法和LMS算法在同样条件下的仿真结果作了分析比较。

第四章：总结全文并提出进一步研究的方向。

第二章最小均方（LMS ）类自适应算法
§2.1 最小均方（LMS ）算法
最小均方算法即LMS 算法是B.Widrow 和Hoff [3][9]于1960年提出来的。

由于
实现简单且对信道统计特性变化具有稳健性，LMS 算法获得了极为广泛的应用。

LMS 算法是基于最小均方误差准则（MMSE ）的维纳滤波器[9]和最陡下降法提出的。

在本节中，主要讨论LMS 算法。

在讨论LMS 算法之前，先介绍一下推导LMS 算法的准则，即均方误差的概念。

§2.1.1 MSE 的含义
LMS 算法的推导以估计误差平方的集平均或时平均（即均方误差，MSE ）为基
础。

下面先介绍MSE 的概念。

设计一个均衡系统如下图所示：
图2.1 均衡器的系统结构
图2.1中的均衡器为一FIR 横式滤波器，其结构如图2.2所示。

其输入矢量
为
[]T
M n x n x n x n )1(,),1(),()(+--= x （2.1.1）加权矢量（即滤波器抽头系数矢量）为
[]T
M w w w ,,,21 =w （2.1.2）可知滤波器的输出
*1*)()()1()(?w x x w n n i n x w n y T H M
i i ==+-=∑= （2.1.3）
则有)
(
)
(
)
(?
)
(
)
(n
n
d
n
y
d
n
e H x
w
-
=
-
=（2.1.4）
其中H表示共轭转置。

根据最小均方误差准则，最佳的滤波器抽头系数矢量
opt
w应
{}2)(n e
E
w
f=
）
（（2.1.5）使得性能函数—均方误差[9]为最小。

式（2.1.5）称为均方误差性能函数。

)1
+
图2.2 时域FIR横式滤波器
在指定的信道条件下，）
（w
f为各滤波器抽头系数的函数。

现在来研究系统处于平稳状态时的情况。

将式（2.1.4）代入式（2.1.5）可得
{}{})()(
)
(*
e n e E n e E w f= = ）（{}w R w r w r w xx H xd H xd H n d E+ -
=*
2)
(
)
(
{}{}w
R
w
r
w
xx
H
xd
H
n
d
E+
-
=Re
2
)
(2（2.1.6）
其中
xd
r表示)
(n
d和)
(n
x的互相关矢量。

)
xx
R表示)
(n
x的自相关矩阵。

对（2.1.6）式两端对w求导，并令导数为零，得到：
xd
xx
r
w
R=（2.1.7）
当
xx
R为满秩时，从而可得到该横式滤波器抽头系数的最优维纳解为[7][9]：
xd
xx
opt
r
R
w1-
=（2.1.8）§2.1.2 LMS迭代算法
由式（2.1.8）知Wiener滤波器的抽头系数的直接计算需要矩阵求逆，当M较
大时，计算量较大且由于信号和干扰环境的变化常须对求逆过程不断进行。

所以
常用其它递推求解的方法。

下面我们介绍从最陡下降法来推导LMS 算法。

根据最陡下降法[7][9]，有：
)()()1(w f n n w ?-=+μw w （2.1.9）其中，)(w f w ?为)(w f 的
梯度，而μ为常数并被称为步长因子。

又因为：
xd xx w w f r w R 22)(-=? （2.1.10）为了实现上述迭代算法需要知道梯度)(w f w ?的精确值，这就要求输入信号
)(n x 和)(n d 平稳且其二阶统计特性已知[7][9]。

这时才能根据信号)(n x 和需要信号)(n d 的采样值来估计xx R 和xd r ，从而寻找opt w 。

为了克服上述困难和减少求解每次迭代的计算量的问题。

一种粗略的但是却
是十分有效的计算)(w f w ?的近似方法是：直接取2)(n e 作为均方误差{}2)(n e E
的估计值，即 {}22)()(?)(?n e n e E w f w w w ?=?=? （2.1.11）由式（2.1.4）可得 )()(2)(2n n e n e w x -=? （2.1.12）
将式（2.1.11）和式（2.1.12）代入式（2.1.9）得
)()(2)()1(n n e n n x w w μ+=+ （2.1.13）上式就是B.Windrow 在60年代初提出的LMS 自适应迭代算法。

LMS 算法的流程归纳如下：
⑴ 初始化：T M ]000[ =w
⑵ 更新： ,2,1=n
)(?)()(n y
n d n e -= )()(2)()1(n n e n n x w w μ+=+
在第二步中，若取μ=常数，则称之为基本LMS 算法；若取μ=
)()(n n H x x +βα,
其中)2,0(∈α，≥β0，则得到归一化LMS 算法。

LMS 算法的重要特点是将其期望值近似为瞬时值。

故在迭代收敛后，加权矢
量不会等于最优的加权矢量，而是在最优加权矢量附近随机性的波动，等效于在最优加权矢量上叠加了一个噪声，也就是说这种近似存在误差。

所以，LMS 算法又被称为随机梯度法。

此法可以被视为最陡下降法的近似。

其另一个重要的特点是每次迭代需要1+M 次乘法和M 次加法，因而运算处理相当简单。

§2.2 最小均方（LMS ）算法的性能分析
LMS 算法采用瞬时值代替期望值，则会存在着一个算法收敛、稳定性的问题。

在本节中，主要来讨论LMS 算法的收敛性及稳定性。

§2.2.1 LMS 算法的稳定性
比较LMS 算法递推公式（2.1.13）和最陡下降法递推公式（2.1.9）可以看出，LMS 算法用2)(n e w ?作为{}2)(n e E w ?估计。

从而可以想象，LMS 算法的加权矢量平均值{})(n w E 将按最陡下降法的加权矢量的变化规律变化[7][9]。

现在，假设)(n x 和)(n w 不相关来寻找LMS 算法的加权矢量平均值的变化规律。

将式（2.1.4）代入（2.1.13）LMS 算法的递推公式可写为：
)]()()()()([2)()1(n n n n d n n n H w x x x w w -+=+μ （2.2.1）或
)()(2)()]()(2[)1(n d n n n n n H x w x x I w μμ+-=+ （2.2.2）
对式（2.2.2）求均值,可得
{}{}xd xx n E n E r w R I w μμ2)(]2[)1(+-=+ （2.2.3）并令误差矢量)(n v 为
opt n n w w v -=)()( （2.2.4）则{}{}opt n E n E w w v -=)()( （2.2.5）由式（2.2.3）可得
{}{})(]2[)1(n E n E xx v R I v μ-=+ （2.2.6）
和
{})0(]2[)(v R I v n xx n E μ-= （2.2.7）式中opt w w v -=)0()0( （2.2.8）根据矩阵理论有[22]
1-=Q xx Q ΛR
（2.2.9）其中Q 是可以将xx R 对角化的酉矩阵，Λ（),,,(21M Diag λλλ =Λ）是以xx R 的
特征值为对角线元素的对角线阵。

在令 )()(1'n n v Q v -=
即 {}{})()(1'n E n E v Q v -= （2.2.10）由式（2.2.7）可得
{}
)0(]2[)(''v ΛI n v E n μ-= （2.2.11）
由式（2.2.5）还有
{}])0([]2[)(1opt n opt w w Q I Q w n w E --+=-Λμ （2.2.12）由式（2.2.11）和（2.2.12）可得：
当且仅当max /10λμ<< （2.2.13）时{}opt n n E w w =∞→)(lim （2.2.14）其中max λ为滤波器对应的输入信号相关矩阵xx R 的最大特征值。

式（2.2.13）即为LMS 算法的加权矢量平均值的收敛条件。

实际上，有
xx Tr R ≤max λ （2.2.15）
式中xx Tr R 为xx R 的迹，且
{}
in M i M i i xx MS i n x E Tr =+-==∑∑==121)1(λR （2.2.16）
式中in S 为滤波器输入信号)(n x 的功率。

这样还可以得到加权矢量收敛的充分
条件
1)(0-<<="">
（2.2.17）式（2.2.17）导出了一个大M 的LMS 算法滤波器步长参数μ稳定性界的必要
条件，滤波器步长参数μ对M 为较小长度时，至今没有理论上得到μ的固定上界。

但是对于步长μ小的时候：小步长理论对收敛性提供了理论描述[9]即满足式（2.2.13）的要求。

由上面的收敛稳定性分析可以看出，LMS 算法的收敛是有条件的。

步长μ必须要满足一定的要求。

§2.2.2 LMS 算法的收敛速度
对信道均衡自适应算法的选择，除了算法本身的稳定性，我们还要考虑它的
收敛速度。

收敛速度是指对于恒定输入，当迭代算法的迭代结果已经充分接近最优解时，即已经收敛时，算法所需的迭代次数。

一般来说快速的收敛算法可以快速地适应稳定的环境，而且也可以及时地
跟上非稳定环境的特性变化。

从均方误差来看，LMS 算法的最终收敛速度要取决于最慢的一个指数过程，
相应的时间常数为[7][9]
1min max )2(-=μλτm se （2.2.18）min λ为矩阵xx R 的最小特征值。

从式（2.2.13）可知，为了保证自适应算法收
敛μ受限于max λ，将式（2.2.13）代入时（2.2.18）有 min
max max 2λλτ>mse （2.2.19）所以，当xx R 的特征值分散时，即max λ和min λ相差很大时，LMS 算法的收敛速
度性能将变的很差。

特征值分散定义为[7][9]： min
max )(λλ=xx R cond （2.2.20）它反映了一个矩阵xx R 的条件数。

当)(xx R cond 大时，称矩阵xx R 及相应的xx R 方
程为病态[7]
，所以当xx R 为病态时，LMS 算法的收敛性能很差。

由上分析可知，LMS 算法的收敛速度主要是由两个参数来决定：步长μ和特
征值分散。

即对xx R 的特征值分散敏感。

也就是说，对于不同的特征值分散，LMS 算法的收敛速度不同。

另一方面，LMS 算法的收敛速度和步长μ之间也有关系。

由（2.2.13）和（2.2.18）可知在收敛范围内，μ愈大，LMS 算法的收敛速度愈快。

但μ过大时，过渡过程将出现振荡[7]。

我们将在 2.3.2小节通过仿真来说明特征值分散和步长μ对LMS 算法的收敛性能的影响。

§2.2.3 LMS 算法的性能学习曲线及稳态误差
自适应算法的均方误差的过渡过程又称为学习曲线，均方误差学习曲线是研
究自适应滤波器的统计特性的一种通用的方法。

它是基于均方估计误差2)
(n e 的集平均值。

这个学习曲线因此也是均方误差{
}2)(n e E 在时刻n 的图形。

由2.2.1小节分析可想像，LMS 算法的均方误差{}2)(n e E 将近似地按最陡下降法的均方误差的变化规律变化。

这就是说，LMS 算法的学习曲线近似地为几个不同的时间常数的指数之和[7]。

由式（2.2.4）及式（2.1.4）有
)()()(?)()(n n d n y
n d n e H x w -=-= )(])([)()(n n n n d H opt H opt x w w x w ---=
)()()(n n n e H opt x v -= （2.2.21）
而
)()()()(n n n d n e H opt opt x w -= （2.2.22）
为opt w w =时的误差信号，称为最佳误差信号。

最佳误差信号对应于最小均方
误差(维纳误差){}2min )(n e E opt =ε。

由于LMS 算法的加权矢量)(n w 具有随机性，使得LMS 算法的{}2)(n e E
将
高于最陡下降法的{}2)(n e E 。

特别是，对于LMS 算法来说，在{})(n E w 收敛到最佳值opt w 后，加权矢量继续按式（2.1.13）变化，其校正值)()(2n n e x μ不为零，而是继续随机起伏的，从而使)(n w 继续随机起伏。

这就使得LMS 算法的{})(n E w 收敛到opt w 后，均方误差ε将大于维纳误差min ε。

B.Widrow 为此引入了失调系数[7][9]
min
min εεεδ-= （2.2.23）来描述LMS 算法（和其他算法）的稳态均方误差对维纳误差的相对偏差。

并且有[7]
in MS μδ= （2.2.24）可知滤波器阶数愈高，步长因子μ和输入信号功率愈大，就使得失调系数愈大。

由上分析可知，使LMS 算法的性能达到最佳，要选择合适的步长因子μ、滤
波器抽头数、输入信号能量及特征值分散。

总而言之，对于平稳
系统，算法的参数选择应保证较小的稳态误差和较快的收敛速度，这时均衡才能得到较理想的效果。

§2.3 LMS 算法的仿真实现
§2.3.1 ISI 信道模型
任意调制信号的复合包络都可以表示成下面的一般形式[26]
()∑-=n n
x nT t b A t s ),(~ （2.3.1）在本小节中仅考虑线性调制，其中
)(),(t h x x t b a n n = （2.3.2） )(t h a 是振幅形成脉冲，{}n x 是复码元序列。

通常，包括ASK 和PSK 波形，而不是包括大部分FSK 波形。

若式（2.3.2）中信号通过一时不变复低通冲激响应为)(t g 的信道，则接收机
信号的复包络为
)(~)()(~t n
nT t h x t r n
n ∑+-= （2.3.3）其中
τττd t g h t h a )()()(-=?+∞
∞- （2.3.4）是发射脉冲)(t h a 和信道冲激响应)(t g 的卷积，)(~t n 是功率谱为0
N W/Hz 的零均值复加性高斯白噪声（AWGN ）。

由于物理信道是因果的，则式（2.3.4）中的积分下限可以用零代替。

所以有
τττd t g h t h a )()()(0-=?+∞
0≥t （2.3.5）最后，假定)(t h 有一有限持续时间，则对于0，有0)(=t h ，其中L 某一正整数。

极大似然接收机由一个与接收脉冲)(t h 匹配的模拟滤波器)(*t h -组成，模拟滤波器后接一码元间隔或T 间隔的取样器。

假定已采用匹配滤波器，那么其输出端复低通信号是)()()(t v nT t f x t y n
n +-=∑ （2.3.6）
这里
τττd t h h t f ?+∞
∞-+=)()()(* （2.3.7）
而
τττd t z h t v )()()(*-=?+∞
∞- （2.3.8）是滤波的噪声。

注意，总脉冲响应)(t f 由发射滤波器、信道、接收滤波器决定。

T /n
y )
(*)()(t g t h t h a =
图2.3 ISI 信道的数字信号
上面描述的整个系统如图2.3所示。

该系统的接收部分由一与接收脉冲匹配的滤波器和一码元速率采样器组成。

对匹配滤波器的输出每隔T 妙采样序列为
∑+-==n
n k kT v nT kT f x kT y y )()()(
k n
n k n v f x +=∑-
k k
n n k n k v f x f x ++=∑≠-0 （2.3.9）
这里，)(nT f f n =且)(nT v v n =。

在式中（2.3.9）中，第一项是期望项，第
二项是ISI ，最后一项是匹配滤波器输出端的噪声。

显然，图2.3中的离散时域系统可以通过离散时域横向滤波器表示，其系数),,,,,,,,(11011L L L L f f f f f f f f --+--= （2.3.10）这种表示方法用图3.4来描述。

图2.4 ISI 信道数字的离散时域模型
由式（2.3.9）可知，无ISI 的传输条件为
00f f n n δ= （2.3.11）在这种情况下，有
k k k v f x y +=0 （2.3.12）由文献[26]，给出了脉冲)(t f 满足00f f n n δ=的条件是当且仅当
∑∞-∞=?
=+=∑n f T n f F T f F 0)(1)( （2.3.13）时成立，即折叠谱)(f F ∑平坦是充分的且是必要的。

对于无ISI 传输，脉冲)(t f 可以是任意等间隔零相交的函数。

§2.3.2 LMS 算法的自适应均衡的计算机仿真实现
本小节我们来讨论基于LMS 算法的自适应均衡的计算机仿真实现。

当数据以
低于2400比特/秒的速度传输时，ISI 相对较小，在调制解调器的运行中没有问题。

然而，对于高于2400比特/秒高速通信来说，在调制解调器中需要均衡器来校正信道失真[3]。

由于信道特性总的来说是未知的，且是时变的，因此需要用自适应算法进行自适应均衡。

图2.5描述了自适应滤波在自适应的信道均衡中的应用。

最初，传输一个已知的时间较短的训练序列，用LMS 算法来调整均衡器的系数。

在训练序列之后实际的数据序列{)(n y }被传输。

均衡器对信道特性的缓慢变化进行连续跟踪，从而对系数进行调整，用判定来代替已知的训练序列。

当判定误差较少时，这种方法有较好的效果[3]。

信道
（a ）
（b ）
图2.5 数据传输系统中自适应均衡器的模型
（1）学习曲线特性的比较
用于研究LMS 算法性能的自适应均衡系统仿真模型如图2.6所示。

数据发生
器用于产生信道输入序列()y n 。

仿真时取()y n 为双极性信号。

()y n 一方面经信道
传输后(信号为)(n x )由自适应均衡器进行均衡，均衡器的输出为)(?n y。

()y n 同时经延迟电路延迟后作为参考信号()d y n 。

自适应滤波器采用LMS 算法力图使()d y n 与
)(?n y。