高考数学(文)一轮复习 1-1集合的概念与运算

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板块一 知识梳理·自主学习
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[必备知识]
考点 1 集合的基本概念 1．集合元素的性质：确__定__性__、__无__序__性__、__互__异 ___性_ ．
2．元素与集合的关系
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[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．集合{x|y＝ x－1}与集合{y|y＝ x－1}是同一个集合．( × ) 2．设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则 M∩N＝M.( × ) 3．已知集合 A＝{1,2}，集合 B 满足 A∪B＝{1,2}，则集合 B 有 4 个．( √ ) 4．若 5∈{1，m＋2，m2＋4}，则 m 的取值集合为{1，－1,3}．( × ) 5．设集合 A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若 A⊆B，则 a＝1 或－1.( × ) 6．设全集为 R，函数 y＝ 1－x2的定义域为 M，则∁RM＝{x|x>1 或 x<－1}．( √ )
①属于，记为_∈____；②不属于，记为__∉___.
3．常见数集的符号
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号 N
N*或 N＋ Z
有理数集 Q
实数集 R
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4.集合的表示方法：①_列__举__法____；②_描__述__法____；③_图__示__法__．__
的真子集
∅⊆A ∅ B(B≠∅)
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考点 3 集合的基本运算 并集
交集
补集
图形
符号 A∪B＝ {x|x∈A 或 x∈B} A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B} ∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A}
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(2)已知集合 A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝ x∈Z y＝
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3．[2015·安徽高考]设全集 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则 A∩(∁UB)＝( )
A．{1,2,5,6}
B．{1}
C．{2}
D．{1,2,3,4}
解析 由题意得∁UB＝{1,5,6}，则 A∩(∁UB)＝{1}，因此选 B.
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)
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高考一轮总复习 ·数学（文） (2)已知集合 A＝{x|x<－3 或 x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的取值范围是_(－__∞__，__－_.1]
[解析] 由题意知 2m－1≤－3，m≤－1，∴m 的取值范围是(－∞，－1].
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5．[2015·课标全国卷Ⅱ]已知集合 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则 A∪B＝( )
A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2)
D．(2,3)
解析 由题意得 A∪B＝{x|－1<x<3}，即 A∪B＝(－1,3)．
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延伸探究 1 本例(2)中的 B 改为 B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？
答案 (－∞，2)∪(6，＋∞)
解析 当 B＝∅时，有 m＋1>2m－1，则 m<2.
m＋1≤2m－1
m＋1≤2m－1
当 B≠∅时
2m－1<－3
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【变式训练 1】 (1)[2016·西安模拟]已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数 是( )
A.1 B．3 C.5 D．9 解析 当 x＝0，y＝0,1,2 时，x－y＝0，－1，－2， 当 x＝1，y＝0,1,2 时，x－y＝1,0，－1， 当 x＝2，y＝0,1,2 时，x－y＝2,1,0. 根据集合中元素的互异性知，集合 B 中的元素为－2，－1,0,1,2.共 5 个.
[必会结论] 1．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 2．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 3．A∪A＝A，A∪∅＝A. 4．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 6．狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 7．一般地，对任意两个有限集合 A，B，有 card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 8．若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集个数为 2n－1，非空真子集个数为 2n－2.
，或
m＋1>7
，
解得 m>6.综上可知 m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞).
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延伸探究 2 本例(2)中的 A 改为 A＝{x|－3≤x≤7}，B 改为 B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？ 答案 (－∞，4]
解析 当 B＝∅时，满足 B⊆A，此时有 m＋1>2m－1，即 m<2，当 B≠∅时，要使 B⊆A，则有
考点 2 集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言
相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素 相同
A⊆B且 B⊆A ⇔A＝B
子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素
A⊆B 或 B⊇A
A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中 真子集
至少有一个元素不是 A 中的元素
A B或B A
空集是 任何集合 的子集，是任何非空集合 空集
a，ba，1
，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则
a2016＋b2016＝___1_____.
[解析] 由已知得ba＝0 及 a≠0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1，又根据集合中元素的互异 性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2016＋b2016＝(－1)2016＝1.
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(2)已知集合 A＝{a＋2016，a2－2015a＋2016,2015}，且 2016∈A，则实数 a 的取值集合为_{_2_0_1_5_}__.
解析 令 a2－2015a＋2016＝2016，则 a＝0 或 a＝2015. 当 a＝0 时，集合 A 中元素重复，故舍去. 当 a＝2015 时，集合 A 满足题意. 令 a＋2016＝2016，则 a＝0(舍去). 故 a 的值只能为 2015.
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4．[课本改编]设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使 M∩N＝N 成立的 a 的值是( )
A．1
B．0
C．－1 D．1 或－1
a2＝1，
解析
若
M∩N＝N，则
N⊆M.结合集合元素的互异性得
a＝－1，
所以 a＝－1.故选 C.
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二、小题快练 1．[2015·重庆高考]已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( ) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A B D．B A 解析 由真子集的概念知 B A，故选 D.
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B．{－2}
C．{－1，－2} D．{－1,0}
[解析] 当 x＝－1 时，2－x＝3∉A，此时－x＝1∈B， 当 x＝0 时，2－0＝2∈A， 当 x＝2 时，2－2＝0∈A， 所以 B＝{1}，选 A.
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(2)现有三个实数的集合，既可以表示为
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考向 集合间的基本关系 例 2 (1)[2016·金版创新]已知集合 E＝{x|y＝ 2－x}，若 F⊆E，则集合 F 可以是( A.{x|x≤1} B．{x|x>2} C.{x|x≤3} D．{x|1≤x≤3} [解析] 因为集合 E＝{x|y＝ 2－x}， 所以 E＝{x|2－x≥0}＝{x|x≤2}. 因为 F⊆E，观察选项，应选 A.
m＋1≥－3， 2m－1≤7，
m≥2，
解得 2≤m≤4.
综上可知 m 的取值范围是(－∞，4].
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1．判断两集合关系的关键及方法 (1)关键：明确集合中的元素或其属性. (2)方法：①列举法：将集合中的元素一一列举出来. ②元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，看是否是同一类元素. ③直观图表法：利用数轴或 Venn 图直观判断. 2．根据集合的关系求参数的关键点及注意点 (1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的 关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论. (2)注意点：注意区间端点的取舍. 提醒 解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况.
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【变式训练 2】 (1)已知集合 A＝{x|y＝ 1－x2}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A.A B
B．B A
C.A⊆B D．B⊆A
解析 由题意知 A＝{x|y＝ 1－x2}，∴A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴B A， 故选 B.
2．[课本改编]已知集合 A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝ n，n∈A}，则 A∩B 的真子集个数为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析 由题意得 B＝{0,1， 2， 3，2}，所以 A∩B＝{0,1,2}，所以 A∩B 的真子集个数为 23－1＝7， 故选 C.
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第1章 集合与常用逻辑用语
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第1讲 集合的概念与运算
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1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
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板块二 典例探究·考向突破
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考向 集合的基本概念
例 1 (1)[2016·重庆模拟]设集合 A＝{－1,0,2}，集合 B＝{－x|x∈A 且 2－x∉A}，则 B＝( )
A．{1}
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6．[2016·唐山模拟]已知全集 U＝{x|x2>1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3<0}，则∁UA＝( )
A．(1,3)
B．(－∞，1)∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 ∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1 或 x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，∴∁UA＝{x|x<－1 或 x≥3}．
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板块五高考一轮总复习 ·数学 Nhomakorabea文）解决集合概念问题的一般思路 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时， 注意弄清其元素表示的意义是什么．如例 1(1)中集合 B 中的代表元素为数－x 而不是 x. (2)由本例 1(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防 止与集合中元素的互异性相矛盾.