人教版七年级下册数学教案第八章-二元一次方程组全章教案

第八章二元一次方程组全章教案
教材内容
本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。

教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。

接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。

然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。

最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。

教学目标
〔知识与技能〕
1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；
2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；
3、了解三元一次方程组的解法；
4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

〔过程与方法〕
1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。

2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。

〔情感、态度与价值观〕
通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

重点难点
二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。

课时分配
8.1二元一次方程组……………………………………1课时
8.2 消元——二元一次方程组的解法………………… 4课时
8.3再探实际问题与二元一次方程组………………… 3课时
*8.4三元一次方程组解法举例…………………………2课时
本章小结…………………………………………………2课时
8.1二元一次方程组
[教学目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二元一次方程组的解。

[重点难点]二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理解二元一次方程组的解是难点。

[教学过程]
一、问题导入
我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问。

看下面的问题：[出示1]
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
你知道吗？
二、二元一次方程和二元一次方程组
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
x＋y＝22
2x＋y＝40
这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？
所含未知数的个数不同；特点是：（1）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数是1。

像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y必须同时满足方程x＋y ＝22和2x＋y＝40
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22 ①
2x＋y＝40 ②
像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组.
三、二元一次方程、二元一次方程组的解
探究：[出示2]满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.
为此我们用含x的式子表示y，即y＝22－x（x可取一些自然数）。

显然，上表中每一对x、y的值都是方程①的解。

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
如果不考虑方程的实际意义，那么x、y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
还可以取x＝－1，y＝23；x＝0.5，y＝21.5，等等。

所以，二元一次方程的解有无数对。

上表中哪对x、y的值还满足方程②？
x＝18，y＝2还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作
18,
4. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
四、例题
例1 若方程x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7是二元一次方程.求m 2＋n 的值。

分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？ 解：依题意，得
2 m –1＝1，2–3n ＝1. 由2 m –1＝1，得 m ＝1 由2–3n ＝1得n ＝1/
3 ∴m 2＋n ＝1＋1/3＝4/3. 五、课堂练习[出示3]
1、下列各对数值中是二元一次方程x ＋2y=2的解的是〔 〕 A ⎩⎨
⎧==0
2
y x B ⎩⎨⎧=-=22y x C ⎩⎨⎧==10y x D ⎩⎨⎧=-=01y x
2、课本94面练习。

六、课堂小结
1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；
2、二元一次方程、二元一次方程组的解. 作业：
课本90面1－4.
课后反思
课题： 8.2 消元（1）
课题：8.2 消元（2）
课题：8.2 消元（3）
课题：8.2 消元（4）
第八章复习一（8.1－8.2）
一、双基回顾
1、二元一次方程
含有，并且未知项的次数是的方程叫做二元一次方程。

〔1〕下列方程中是二元一次方程的是.
①2x-5=y; ②x+1/2=1; ③xy=3; ④5x+2/y=1;⑤x2-3y=0; ⑥x＋1/2y=3.
2、二元一次方程组
两个含有，并且未知项的次数是的两个方程组成二元一次方程组。

3、二元一次方程的解
使二元一次方程的两个未知数，叫做二元一次方程的解。

〔2〕写出二元一次方程3x+2y=14的非负整数解。

4、二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的叫做二元一次方程组的解。

〔3〕
5
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程组
7,
317.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解吗？为什么？
5、怎样用代入消元法解二元一次方程组？怎样用加减消元法解二元一次方程组？
〔4〕用两种方法解方程组
433, 3215. x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
二、例题导引
例1解方程组6,23
2()3324.
x y x y
x y x y +-⎧+=⎪
⎨⎪+-+=⎩
例2 若(a-3)x+y ︱a ︱-2
=9是关于的x 、y 的二元一次方程，求a 的值。

例3 已知方程组35,
4.x y ax by -=⎧⎨
-=⎩
与方程组6,47 1.ax by x y +=⎧⎨-=⎩的解相同，求
a －
b 的值。

例4 兴华学校美术小组的同学分铅笔若干枝，若其中4人每人各取4枝，其余的人每人取3枝，则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？
三、练习升华
1、将二元一次方程5x ＋2y=3化成用含有x 的式子表示y 的形式是y= ；化成用含有y 的式子表示x 的形式是x= 。

2、若方程21
(32)7m x
n y -+-=是二元一次方程，则m ，n .
3、已知x ＝2，y ＝2是方程ax －2y ＝4的解，则a ＝________.
4、方程x ＋2y=7在自然数范围内的解〔 〕 A 有无数个 B 有一个 C 有两个D 有三个
5、若⎩⎨
⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-81my nx ny mx 的解则⎩
⎨⎧==
n m
6、解方程组 （1）453(1)23x y x y -=⎧⎨-=-⎩ （2）3429525x y x y +=⎧⎨-=⎩　
（3） 53215.05.1=+=-y x y x （4）23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩
7、已知方程组⎩
⎨⎧-=+=-2755
32y x y x ，求y x :的值。

8、超市里某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？
能力提高
9、二元一次方程组941
611x y x y +=⎧⎨+=-⎩
的解满足2x －ky =10，则k 的值等于〔 〕
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
10、在b ax y +=中，当5=x 时6=y ，当1-=x 时2-=y ，则=a ，=b . 11、二元一次方程组⎩⎨
⎧-=-+=+1
223
23m y x m y x 的解互为相反数，则m ＝〔 〕 A 、 －7 B 、 －8 C 、 －10 D 、 －12 12、解方程组
（1）⎩⎨⎧-=+=-++10512)()(2y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+7
43243y x y
x
13、已知0432)2052(2
=-++--y x y x 求y x ,的值。

14、为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为200克,试问1•号电池和5号电池每节分别重多少克?
探究创新
15、阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组191817(1)
171615(2)x y x y +=⎧⎨
+=⎩
时，我们如果直接考虑消元，那将非常繁琐，而采用下面的解法却轻而易举：（1）－（2）得2x+2y=2,所以x+y=1(3).(3)×16,得16x+16y=16(4).(2)-(4)，得x=-1,从而y=2.所以原方程组的解是1
2x y =-⎧⎨
=⎩
，请用上述方法解方程组
200820072006(1)
200620052004(2)
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
8.3 实际问题与二元一次方程（1）
[教学目标] 学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

[重点难点] 解决含有多个未知数的实际问题是重点；找出问题中的两个等量关系是难点。

[教学过程] 一、导入新课
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题． 二、 例题
看下面的问题。

例 养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
分析：怎样检验李大叔的估计是否正确？
（1）先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；（2）根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．
本题的等量关系是什么？
30只母牛一天用的饲料量+15只小牛一天用的饲料量=675 （1）
（30+12）只母牛一天用的饲料量+（15+5）只小牛一天用的饲料量=940（2）
设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg 和ykg ， 根据题意可列怎样的方程组？
⎩⎨
⎧=+=+)
2(9402042)1(6751530y x y x
解这个方程组得 ⎩
⎨⎧==520
y x
答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg 和5kg ，饲料员李大叔对母牛的食量估
计正确，对小牛食量估计有一定的偏差。

三、课堂练习[出示]
某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？[答案：
⎩⎨
⎧==2800
1400
y x 作业：课本101面1、2、3题。

补充练习：《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
课后反思
8.3 实际问题与二元一次方程（2）
[教学目标] 学会借助二元一次方程组解决有关配套与设计的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

[重点难点] 运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题是重点；找出问题中的两个等量关系是难点。

[教学过程] 一、导入新课
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决． 二、 例题
看下面的问题：[出示1]
例 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1 ：5，现要在一块长200 m ，宽100 m 的长方形土地，分为两块长方形土地，分别种植两种作物，怎样划分这块地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)？
分析：本题中的基本关系是什么？本题中的等量关系有哪些？ 总产量＝单位面积产量×面积
甲作物的单位面积产量︰乙作物的单位面积产量＝1︰1.5 甲作物的总产量︰乙作物的总产量＝3︰4 怎样划分这块土地呢？ 第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE ，如图（1）；第二种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE 和FECD,如图（2）。

(1) (2)
对第一种种植方案，设AE=xm ，BE=ym ，可得怎样的方程组？
⎩⎨
⎧=⨯=+4
31005.1:100200
：y x y x 解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==172941715105y x 具体怎么划分呢？请你作答。

过长方形土地的长边上离一端约106 m 处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．
你能求出第二种种植方案的答案吗？试试看。

三、课堂练习[出示2]
一种圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
作业：
课本102面4、6题
[出示3]补充题：一个长方形，把它的长减少4cm ，宽增加2cm ，变成一个正方形，且面积与长方形的面积相等，怎样划分长方形？
课后反思
8.3 实际问题与二元一次方程（3）
[教学目标] 学会用列表的方式分析、解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

[重点难点] 解决含有多个未知数的实际问题是重点；用列表分问题中的数量关系是难点。

[教学过程] 一、情景导入
最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．通常白天的用电称为高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.
若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元，低谷电价为每千瓦时0.28元．八月份小彬家的
A
B
C D E F
总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？
像这样的实际问题还有很多。

二、例题 例 如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．公路运价为1. 5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
分析：要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量。

本题涉及的量较多，我们知道，这种情况下常用列表的方式来处理。

本题涉及哪两类量呢？
一类是公路运费，铁路运费，价值；二类是产品数量，原料数量。

由上表可列方程组
()()⎩
⎨
⎧=+⨯=+⨯972001201102.115000
10205.1y x y x 解这个方程组，得 ⎩⎨
⎧==400
300
y x
销售款:8000×300=2400000; 原料费:1000×400=400000;运输费:15000+97200=112200. 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 三、课堂练习
前面我们提到过峰谷电价问题，你能求出小彬家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？试试看。

作业：
课本P102 5、8、9。

课后反思
A
B
铁路120km
公路10km
长春化工厂
铁路110km 公路20km
*8.4三元一次方程组解法举例
[教学目标]1、了解三元一次方程组的概念；2、掌握三元一次方程组的解法。

[重点难点]三元一次方程组的解法。

[教学过程]
一、导入新课
前面我们学习了二元一次方程组及其解法，知道有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决。

实际上，有不少问题含有三个或更多的未知数，那么怎样解决呢？
二、三元一次方程组的概念
看下面的问题：[出示1]
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张？
这里有三个未知数，自然要设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，依题意，有
x+y+z=12
x+2y+5z=22
x=4y
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程全在一起，写成
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ②
x=4y ③
这个方程[出示2]含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。

三、三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？
我们知道二元一次方程组是通过消元变成一元一次方程组来解的，那么能不能通过消元把三元一次方程组变为二元一次方程组来解呢？
显然，把方程③分别代入方程①②消去x就变成了二元一次方程组，即
5y+z=12 ①
6y+5z=22 ②
因此，[出示3]解三元一次方程组的基本思想是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”变成“二元”，从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组来解。

这里还体现了化归的思想方法。

四、例题
[出示4]例1 解三元一次方程组
3x+4z=12 ①
2x+3y+z=9 ②
5x－9y+7 z=8 ③
分析：消去哪一个未知数可以把这个方程组转化为二元一次方程组？怎么消元？
解：②×3+ ③，得
11x+10z=35 ④
联立①④有
3 x +4z=7
11x+10z=35
解之，得
x =5
x=-2
把x =5，x=-2代入②，得
2×5+3y+z=9
∴y=1/3
因此，这个方程的解为
x=5 ①
y=1/3 ②
z=-2 ③
[出示5]例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时y=0，当x=-2时y=3，当x=5时,y=60求a、b、c的值。

解：依题意，得
a-b+c=0 ①
4a+2b+c=3 ②
25a+5b+c=60 ③
②- ①,得a+b=1 ④
③- ①，a+b=1 ⑤
联立④与⑤有a+b=1
a+b=1
解之，得a=3
b=-2
把a=3，b=-2代入①，得c=-5
因此
a=3
b=-2 ②
c=-5
答：a=3，b=-2，c=-5。

五、课堂练习
课本114面练习1、2题。

六、课堂小结
本节课我们学习了三元一次方程组及其解法，和二元一次方程组的解法一样，都是利用消元的思想，把“多元”化成“一元”，从而求出方程组的解。

作业：
课本114面1、2，115面3题。

课后反思
本章小结
一、知识结构
二、回顾与思考
1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程的解？什么是二元一次方程组的解？
2、什么是消元的思想？解二元一次方程组消元的途径有哪些？
3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题有什么相同之处？有什么不同之处？
三、例题导引
例1 已知方程组15,(1)4 2.(2)ax y x by +=⎧⎨-=-⎩甲由于看错了方程（1）中的a ，得到方程组的解为31
x y =-⎧⎨=-⎩，乙由于看错了方程(2)中的b ，得到方程组的解为4,3.
x y =⎧⎨
=⎩，若按正确的计算，求x ＋6y 的值。

例2 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。

在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
例3 据研究，一般洗衣粉含量以0.2％～0.5％为宜，即100千克洗衣水里含200～500克的洗衣粉比较合适，因为这时表面活性最大，去污效果最好。

现在，洗衣缸里放了两汤匙洗衣粉（一汤匙约0.02千克），4千克衣服，若要使洗衣粉的含量为0.4％（放入衣服之后），容量达到15千克，还需加多少洗衣粉，添多少水才合适？
三、练习升华
课本118－119面1－3；5－10题.。