第二章 点到直线的距离(第三课时) 两条平行直线间的距离
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即x＋2y－3＝0.
课堂小结
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x， y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平 行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以 kAB＝－01－－11＝2， 所以两条平行直线的斜率为－12， 所以直线 l1 的方程为 y－1＝－12(x－1)，
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”， 从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运 动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围.
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围；
解 如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 1两条平行线间的距离公式的推导. 2.会求两条平行直线间的距离.
导语
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于 平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的.
一、两条平行直线间的距离
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)， 点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行 直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
提示 在直线 Ax＋By＋C1＝0 上任取一点 P(x0，y0)，点 P(x0，y0)到直线
Ax ＋ By ＋ C2 ＝ 0 的 距 离 ， 就 是 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 即 d ＝ |Ax0＋By0＋C2|，
A2＋B2 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此 d＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C2|＝|－AC21＋＋BC22|＝ |CA1－2＋CB2|2.
二、由平行直线间的距离求参数
例2 已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l的方程是_2_x_－__y_＋__1_＝__0__.
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0， 于是有 |c－3| ＝ |c－－1| ，
22＋－12 22＋－12
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 方法二 由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x－y＋c＝0， 则 c＝3＋2－1＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
例1 (1)(教材P78例7改编)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y ＋5＝0间的距离.
解 由题意，将 l2 的方程化为 3x＋5y＋52＝0，
所以
d＝
1－25 ＝ 32＋52
3 234＝36834.
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得 的线段为AB，则AB的长为
A2＋B2
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它
们之间的距离是
√A.1
B.2
C.12
D.4
解析 由两条直线平行可得150＝1m2，解得 m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得 d＝|－532＋－11202|＝1.
反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间 的距离问题.
跟踪训练2 (多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为 2 5，
则实数c的值为
A.9
√B.－9
√C.11
D.－11
解析 ∵直线 x－2y－1＝0 与直线 x－2y－c＝0 的距离为 2 5，
∴|－1＋c|＝2 5， 5
知识梳理
1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长. 2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不
|C1－C2| 同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ A2＋B2 . 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数 分别对应相同.
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离 公式， 得|AB|＝|－112＋＋132|＝ 2.
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条 直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平 行直线间的距离d＝ |C1－C2| .
课堂小结
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x， y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平 行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以 kAB＝－01－－11＝2， 所以两条平行直线的斜率为－12， 所以直线 l1 的方程为 y－1＝－12(x－1)，
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”， 从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运 动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围.
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围；
解 如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 1两条平行线间的距离公式的推导. 2.会求两条平行直线间的距离.
导语
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于 平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的.
一、两条平行直线间的距离
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)， 点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行 直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
提示 在直线 Ax＋By＋C1＝0 上任取一点 P(x0，y0)，点 P(x0，y0)到直线
Ax ＋ By ＋ C2 ＝ 0 的 距 离 ， 就 是 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 即 d ＝ |Ax0＋By0＋C2|，
A2＋B2 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此 d＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C2|＝|－AC21＋＋BC22|＝ |CA1－2＋CB2|2.
二、由平行直线间的距离求参数
例2 已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l的方程是_2_x_－__y_＋__1_＝__0__.
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0， 于是有 |c－3| ＝ |c－－1| ，
22＋－12 22＋－12
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 方法二 由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x－y＋c＝0， 则 c＝3＋2－1＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
例1 (1)(教材P78例7改编)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y ＋5＝0间的距离.
解 由题意，将 l2 的方程化为 3x＋5y＋52＝0，
所以
d＝
1－25 ＝ 32＋52
3 234＝36834.
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得 的线段为AB，则AB的长为
A2＋B2
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它
们之间的距离是
√A.1
B.2
C.12
D.4
解析 由两条直线平行可得150＝1m2，解得 m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得 d＝|－532＋－11202|＝1.
反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间 的距离问题.
跟踪训练2 (多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为 2 5，
则实数c的值为
A.9
√B.－9
√C.11
D.－11
解析 ∵直线 x－2y－1＝0 与直线 x－2y－c＝0 的距离为 2 5，
∴|－1＋c|＝2 5， 5
知识梳理
1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长. 2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不
|C1－C2| 同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ A2＋B2 . 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数 分别对应相同.
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离 公式， 得|AB|＝|－112＋＋132|＝ 2.
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条 直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平 行直线间的距离d＝ |C1－C2| .