四川省宜宾市第四中学2019届高三数学上学期期末考试试题 理

2018年秋四川省宜宾市四中高三期末考试考试
理科数学
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{2101}A =--，，，，{|1}B x y x ==+，则A B =
A ．{2101}--，
，， B ．{210}--，
， C ．{01}， D ．{101}-，，
2．复数
3i
1i
-=- A ．2i +
B ．2i -
C ．1i +
D ．1i -
3.设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是 A.
11a b
< B.22
ac bc <
C 。

b a
a b
> D.22
a a
b b >>
4。

函数()ln 1
1
x f x x +=
+的大致图象为
A
B
C
D
5.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是
A ．样本中的男生数量多于女生数量
B ．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C 。

样本中多数男生喜欢手机支付
D ．样本中多数女生喜欢现金支付
6。

若将函数x y 2sin =的图象向左平移
6
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ) A ．)(122Z k k x ∈-=
ππ B ．)(2
2Z k k x ∈+=ππ C. )(2
Z k k x ∈=
π D ．)(12
2Z k k x ∈+=π
π
7。

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）
A ．
92 B ．4 C. 3 D 3108. 若函数()32
4f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()1,5
B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞
9。

祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体,:p A ，B 的体积不相等,:q A ,B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件 10．若曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，则实数a 的值为（ ） A 。

12e B 。

1
2 C. e 1
e
11.已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-,在区间()0,1内任取两个实数p ,q ,且p q <,若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．()15,+∞
B ．[)15,+∞ C.(),6-∞ D ．[)6,+∞
12．已知抛物线2
2(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4)的距离之和的最小值为32F 是抛
物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为
A ．2
B ．3
C ．21+
D ．22- 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13。

二项式32104
1(
)x x
-展开式中含3
x 项的系数是 ． 14。

已知函数()113sin cos 244
f x x x x =
--的图象在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x = ． 15.设P 是椭圆
14
922=+y x 第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y 轴和直线x y 32-=分别交于点N M ,，过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线x y 3
2
-
=分别交于点Q R ,,设O 为坐标原点，则OMN ∆和ORQ ∆的面积之和为 。

16。

在ABC ∆中，0120,2,4=∠==BAC AC AB ，D 是边BC 的中点。

若E 是线段AD 的中点，则
=•EC EB 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1)求n a ； （2)设数列1{
}n S 的前n 项和为n T ，求证：4
n T 3<． 18。

(12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市20162011-年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值（满分100分）进行了统计,制成如图所示的散点图：
（1）根据散点图，建立y 关于t 的回归方程∧
∧
∧
+=a t b y ;
(2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018 年“运动参与"评分值。

附：对于一组数据),(),...,,(),,(2211n n y t y t y t ，其回归直线∧
∧
∧
+=a t b y 的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为：-
∧-∧=-
=-
-∧
-=---=
∑∑t b y a t t
y y t t
b n
i i
n
i i i
,)()
)((1
2
1。

19。

(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=，G 为BE 的中点。

(Ⅰ）求证：AG ⊥平面ADF ；
（Ⅱ）若3AB BC =，求二面角D CA G --的余弦值。

20.（本小题满分12分）设O 为坐标原点，已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为)0,2(F ，过点)1,0(-E 的直线l 交抛物线C 于B A ,两点.
（Ⅰ）当直线l 经过点F 时，求||OB OA +的值;
（Ⅱ）过点)1,0(-E 作不经过原点的两条直线EN EM ,分别与抛物线C 和圆F ：错误！未找到引用源。

4)2(22=+-y x 相切于点N M ,,求证：F N M ,,三点共线．
21．（本小题满分12分) 已知函数2
1()e 12
x
f x x ax =---
（其中a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ)若函数()f x 无极值，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ）当0x >时，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22。

(本小题满分10分） ［选修4-4:坐标系与参数方程］
在直角坐标系中，l 是过点(1,0)P -且倾斜角为
4
π
的直线.以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求PA PB +。

23.（本小题满分10分）
［选修4—5：不等式选讲]已知函数()21f x x a x =+--. (1）当1a =时，解不等式()2f x >;
(2)当0a =时，不等式2()7f x t t >--对任意x R ∈恒成立，求实数t 的取 值范围.
2018年秋四川省宜宾市四中高三期末考试考试
理科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.D
2.A
3.D 4。

A 5。

D 6。

D 7。

A 8.B 9。

A 10。

A 11。

B 12。

D
二．填空题
13. 210 14.3- 15.3 16。

4
25
-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17.（12分)
解析：（1)设公差为d ，由题111
2829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，
，解得13a =，2d =． ··· 2分
所以21n a n =+． ··························· 4分
(2） 由（1）,21n a n =+，则有2(321)22n n
S n n n =++=+．
则
11111()(2)22
n S n n n n ==-++． 所以n T 1111
1111
[(1)()()(
)()]232435112
n n n n 11=-+-+-+
+-+--++ 111
(1)2212n n 1=+--++ 3
4
<
． ································ 12分 18。

解：（1）由题,756
848077737165,5.36654321=+++++==+++++=
--
y t ， 则
+--+--+--=---
=-∑)7573)(5.33()7571)(5.32()7565)(5.31()()(1
y y t t
i n
i i
+--)7577)(5.34(
+--)7580)(5.35(63)7584)(5.36(=--.
5.17)5.36()5.35()5.34()5.33()5.32()5.31()(22222212=-+-+-+-+-+-=-∑=-
n
i i
t t
.
则4.625.36.375,6.35
.1763
=⨯-===∧∧
a b 。

所以运动参与y 关于t 的回归方程是4.626.3+=∧
t y .
(2）当7=t 时，6.874.6276.3=+⨯=∧
y ，当8=t 时，2.914.6286.3=+⨯=∧
y ， 所以2017年、2018年该市“运动参与”评分值分别2.91,6.87. 19、(本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直, ∴AD AB ⊥, ∵矩形ABCD
菱形ABEF AB =, ∴AD ⊥平面ABEF ，
∵AG ⊂平面ABEF , ∴AD AG ⊥，……………………3分
∵菱形ABEF 中，60ABE ∠=，G 为BE 的中点． ∴AG BE ⊥，即AG AF ⊥……………………5分 ∵AD
AF A =， ∴AG ⊥平面ADF ．……………………6分
（Ⅱ)解:由（Ⅰ）可知,,AD AF AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴,AF 为y 轴，AD 为z 轴,建立空间
直角坐标系,
设
AB ==，则
31,2
BC AG ==
，
故
(0,0,0)A
,3(,2C ,(0,0,1)D ,3(,0,0)2G ，
则3(,2AC =，(0,0,1)AD =,3(,0,0)2AG =，
设平面ACD 的法向量1111(,,)n x y z =,
则1111113020n AC x y z n AD z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩
，取1y ，得1(1,3,0)n =， 设平面ACG 的法向量2222(,,)n x y z =，
则22222230230
2
n AC x y z n AG x ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取22y =
，得2n =,……………10分
设二面角D CA G --的平面角为θ,
则12122cos ||||2n n n n
θ⋅=
==⋅⨯, ……………11分 易知θ为钝角,∴二面角D CA G --的余弦值为．……………………12分 20。

解：（Ⅰ）
抛物线22y px =焦点为(20)F ，
，∴22
p
=，4p =. ∴抛物线方程为28y x =。

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.1分 由直线l 过点E F 、知，l 方程为1
12
y x =
-.。

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2分 由21128y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
得23640x x -+=。

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.3分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)OA OB x x y y +=++。

∴
||(OA OB x +=
=
B
C
=
=。

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6分 （Ⅱ）设,EM EN 的斜率分别为12,k k ，则,EM EN 方程分别为11y k x =-，21y k x =-。

由2181
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2211(28)10k x k x -++=① 由2
2
11(28)40k k ∆=+-=得12k =-。

代入①解得12x =
，故1
(,2)2
M -..。

...。

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.8分 由222(2)41
x y y k x ⎧-+=⎨=-⎩得22
22(1)(24)10k x k x +-++=② 由22
22(24)4(1)0k k ∆=+-+=得234
k =-。

代入②解得45x =
，故48
(,)55
N -.。

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....10分 241322
FM k ∴=
=
-，845
4325
FN FM k k ===-。

,,M N F ∴三点共线。

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....。

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...12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 函数()f x 无极值，∴)(x f 在R 上单调递增或单调递减。

即0)(≥'x f 或0)≤'
x f （在R x ∈时恒成立；又a x e x f x --=')(
令()x g x e x a =--,则1)(-='x e x g ；所以)(x g 在()0-，
∞上单调递减，在()∞+，0上单调递增； min ()(0)1g x g a ==-
当0)(≥'x f 时，min min ()()10f x g x a '==-≥，即1≤a
当0)≤'x f （
时,显然不成立； 所以实数a 的取值范围是(,1]-∞。

……………………5分
（Ⅱ)由(Ⅰ）可知,当1a =时,当0x >时，()(0)0f x f >=，即212
x
x e x ->+.
欲证(e 1)ln(1)x x -+>2x ，只需证2ln(1)2
x
x x +>
+即可.
构造函数()h x =ln(1)x +-
22
x
x +（0x >）， 则2
22
14()01(2)(1)(2)
x h x x x x x '=-=>++++恒成立，故()h x 在(0,)+∞单调递增， 从而()(0)0h x h >=.即2ln(1)02x x x +-
>+，亦即2ln(1)2
x
x x +>+。

得证2(e 1)ln(1)x x x -+>. ……………………12分
22.解：（1)直线l
的参数方程为12
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t
为参数）.
由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，
把cos x ρθ=，sin y ρθ=,代入得曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=。

……………………5分
（2
）把12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C
的方程得22(3)()422t t -+=，
化简得2
50t -+=，
设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
则1
2125t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
10t >,20t >
，则12PA PB t t +=+=……………………10分
23。

解：（1）当1a =时，由()2f x >得：2112x x +-->，
故有12
2112x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩或1
1
22112x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或121(1)2x x x >⎧⎨+-->⎩, ∴4x <-或
213x <≤或1x >,∴4x <-或2
3
x >, ∴()2f x >的解集为2
{|4}3
x x x <->或。

……………………5分
（2)当0a =时1,0()2131,011,1x x f x x x x x x x --<⎧⎪
=--=-≤≤⎨⎪+>⎩
，∴min ()(0)1f x f ==-，
由217t t ->--得：2
60t t --<，∴23t -<<,∴t 的取值范围为(2,3)-。

……………………10分。