人教版九年级数学上册 《圆》培优检测试试题(含答案)

《圆》培优检测试题
一．选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O中，AB＝AC，＝60°，则∠B＝（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．216°B．270°C．288°D．300°
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）
A．10 B．8 C．5 D．3
5．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）
A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π
6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）
A．πB．2πC．3πD．6π
8．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，
OP＝4cm，则BD的长为（）
A． cm B．3cm C． cm D．2cm
9．下列说法正确的个数（）
①近似数32.6×102精确到十分位：
②在，，﹣||中，最小的数是
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有
两个纯角”
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点
A．1 B．2 C．3D．4
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC与圆O相切于点D，AB经过圆心O，且与圆交于点E，
连接BD，若AC＝3CD＝3，则BD的长为（）
A．3 B．2C．D．2
二．填空题
11．如图，⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，CD＝8，则弦AC的长为．
12．如图，直尺三角尺都和⊙O相切，∠A＝60°，点B是切点，且AB＝8c m，则⊙O的半径为cm．
13．如图，正五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，则的长为．
14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是．
15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．
16．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC 于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．
（1）∠ADB＝°；
（2）当点D恰好为BM的中点时，BC的长为．
17．如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA
1
B，并使∠
AOB＝60°，再以对角线OA
1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA
1
A
2
B
1
，再依
次作菱形OA
2A
3
B
2
，OA
3
A
4
B
3
，……，则过点B
2018
，B
2019
，A
2019
的圆的圆心坐标为．
三．解答题
18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）证明：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．
19．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点．PA切⊙O于点A．连接OP交⊙O于点D，作AB上OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PC＝9，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
20．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于
点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN
交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
24．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为．
参考答案一．选择题
1．解：∵AB＝AC，＝60°，
∴∠B＝∠C，∠A＝30°，
∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°；
故选：D．
2．解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的底面圆的半径＝＝3，
根据题意得2π×3＝，
解得n＝216．
即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．
故选：A．
3．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠C＝∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C＝30°，
故选：B．
4．解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：A．
5．解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝6，
∵∠B ＝60°，E 为BC 的中点，
∴CE ＝BE ＝3＝CF ，△ABC 是等边三角形，AB ∥CD ，
∵∠B ＝60°，
∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，
由勾股定理得：AE ＝
＝3，
∴S △AEB ＝S △AEC ＝×6×3×＝4.5＝S △AFC ，
∴阴影部分的面积S ＝S △AEC +S △AFC ﹣S 扇形CEF ＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π， 故选：A ．
6．解：∵∠BOD ＝130°，
∴∠AOD ＝50°，
又∵AC ∥OD ，
∴∠A ＝∠AOD ＝50°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C ＝90°，
∴∠B ＝90°﹣50°＝40°．
故选：B ．
7．解：∵在▱ABCD 中，∠A ＝2∠B ，∠A +∠B ＝180°，
∴∠A ＝120°，
∵∠C ＝∠A ＝120°，⊙C 的半径为3，
∴图中阴影部分的面积是：＝3π，
故选：C．
8．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠PAO＝90°，
在直角△APO中，OA＝＝2，
∵AB⊥OP，
∴AD＝BD，∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝∠DOA，
∴△APO∽△DAO，
∴＝，即＝，
解得：AD＝3（cm），
∴BD＝3cm．
故选：B．
9．解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；
②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+，故本说法错误；
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至
少有两个纯角”，故本说法错误；
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故
本说法正确；
故选：A．
10．解：连接OD，如图，
∵AC与圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴∠ODA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∵＝＝3，
∴AO ＝2OB ，
∴AO ＝2OD ，
∴sin A ＝＝，
∴∠A ＝30°，
在Rt △ABC 中，BC ＝
AC ＝×3＝3，
在Rt △BCD 中，BD ＝＝＝2．
故选：B ．
二．填空题
11．解：如图，连接OA ，并反向延长OA 交CD 于点E ，
∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，
∴OA ⊥AB ，
又∵CD ∥AB ，
∴AO ⊥CD ，
即∠CEO ＝90°，
∵CD ＝8，
∴CE ＝DE ＝CD ＝4，
连接OC ，则OC ＝OA ＝5，
在Rt △OCE 中，OE ＝＝＝3，
∴AE ＝AO +OE ＝8，
则AC ＝
．
故答案为：4． 12．解：设圆O 与直尺相切于B 点，连接OE 、OA 、OB ，设三角尺与⊙O 的切点为E ， ∵AC 、AB 都是⊙O 的切线，切点分别是E 、B ，
∴∠OBA ＝90°，∠OAE ＝∠OAB ＝∠BAC ，
∵∠CAD ＝60°，
∴∠BAC ＝120°，
∴∠OAB ＝×120°＝60°，
∴∠BOA ＝30°，
∴OA ＝2AB ＝16cm ，
由勾股定理得：OB ＝＝＝8（cm ），
即⊙O 的半径是8
cm ．
故答案是：8．
13．解：如图，连接OA ，OE ．
∵ABCDE 是正五边形，
∴∠AOE ＝
＝72°，
∴的长＝＝，
故答案为
． 14．解：作OD ⊥AB 于D ，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠AOD＝∠AOB＝60°，BD＝AD，
则OD＝OA×cos∠AOD＝3×＝，AD＝OA×sin∠AOD，∴AB＝2AD＝3，
∴图中阴影部面积＝﹣×3×＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
15．解：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴BC＝＝＝4．
故答案为：4．
16．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵＝，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，
故答为135．
（2）如图作MH⊥AB于M，连接AM，OM，OM交AC于F．∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°
∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴MA＝MD，
∵DM＝DB，
∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，
∵AB＝2，
∴x2+4x2＝40，
∴x＝2（负根已经舍弃），
∴AM＝2，BM＝4，
∵•AM•BM＝•AB•MH，
∴MH＝＝，
∴OH＝＝＝，
∴OM ⊥AC ，
∴AF ＝FC ，
∵OA ＝OB ，
∴BC ＝2OF ，
∵∠OHM ＝∠OFA ＝90°，∠AOF ＝∠MOH ，OA ＝OM ，
∴△OAF ≌△OMH （AAS ），
∴OF ＝OH ＝
，
∴BC ＝2OF ＝
故答案为．
17．解：过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，
∵四边形OAA 1B 是菱形，
∴OA ＝AA 1＝1，∠A 1AC ＝∠AOB ＝60°，
∴A 1C ＝，AC ＝，
∴OC ＝OA +AC ＝，
在Rt △OA 1C 中，OA 1＝＝，
∵∠OA 2C ＝∠B 1A 2O ＝30°，∠A 3A 2O ＝120°，
∴∠A 3A 2B 1＝90°，
∴∠A 2B 1A 3＝60°，
∴B 1A 3＝2，A 2A 3＝3，
∴OA 3＝OB 1+B 1A 3＝3＝（）3
∴菱形OA 2A 3B 2的边长＝3＝（
）2， 设B 1A 3的中点为O 1，连接O 1A 2，O 1B 2，
于是求得，O 1A 2＝O 1B 2＝O 1B 1＝＝（）1，
∴过点B 1，B 2，A 2的圆的圆心坐标为O 1（0，2
），
∵菱形OA 3A 4B 3的边长为3＝（）3，
∴OA 4＝9＝（）4， 设B 2A 4的中点为O 2，
连接O 2A 3，O 2B 3，
同理可得，O 2A 3＝O 2B 3＝O 2B 2＝3＝（）2，
∴过点B 2，B 3，A 3的圆的圆心坐标为O 2（﹣3，3
），…以此类推，菱形菱形OA 2019A 2020B 2019
的边长为（）2019，
OA 2020＝（
）2020， 设B 2018A 2020的中点为O 2018，连接O 2018A 2019，O 2018B 2019，
求得，O 2018A 2019＝O 2018B 2019＝O 2018B 2018＝（
）2018， ∴点O 2018是过点B 2018，B 2
019，A 2019的圆的圆心， ∵2018÷12＝168…2，
∴点O 2018在射线OB 2上，
则点O 2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），
即过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为（﹣（
）2018，（）2019），
故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．
三．解答题
18．（1）证明：如图1，连接OD ，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BE，AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，
∴A B＝3AE，CE＝4AE，
∴＝2，
∴，
∵∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴DF∥BE，
∴△DFC∽△BEC，
∵CF＝6，
∴DF＝3，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，∴△ADF∽△DCF，
∴，
∴DF2＝AF•FC，
∴，
∴AF＝3．
19．（1）证明：连接OB，
∵OP⊥AB，OP经过圆心O，
∴AC＝BC，
∴OP垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO＝∠PBO，
∵PA切⊙O于点A，
∴AP⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴OB⊥BP，
又∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OP⊥AB，OP经过圆心O，
∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，
∴∠PBC +∠OBC ＝∠OBC +∠BOC ＝90°，
∴∠PBC ＝∠BOC ，
∴△PBC ∽△BOC ，
∴＝
∴OC ＝＝＝3，
∴在Rt △OCB 中，OB ＝＝＝6，tan ∠COB ＝＝＝，
∴∠COB ＝60°，
∴S △OPB ＝×OP ×BC ＝×（9+3）×3
＝18，S 扇DOB ＝＝6π，
∴S 阴影＝S △OPB ﹣S 扇DOB ＝18﹣6π．
20．解：（1）证明：∵AB 、CD 是⊙O 的两条直径，
∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，
∴∠OAC ＝∠OCA ，∠ODB ＝∠OBD ，
∵∠AOC ＝∠BOD ，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠ODB ＝∠OBD ，
即∠ABD ＝∠CAB ；
（2）连接BC ．
∵AB 是⊙O 的两条直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵CE 为⊙O 的切线，
∴∠OCE ＝90°，
∵B 是OE 的中点，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝4，
∴OB＝4，
即⊙O的半径为4．
21．（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
22．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，
在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
23．（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴，
∴FN＝．
24．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD ∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：。