20150908九年级(上)国庆数学试卷附答案

九年级（上）国庆数学试卷
一、选择题：（请将答案填涂到答题卡上相应位置，每小题2分，共12分）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）
A． 3x2﹣+1=0 B． ax2+bx+c=0
C． 2x+3=1 D．（a2+1）x2﹣2x﹣3=0
2．已知一元二次方程x2+3x+1=0，下列判断正确的是（）
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
3．已知⊙O中，=3，则弦AB和3CD的大小关系是（）
A． AB＞3CD B． AB=3CD C． AB＜3CD D．不能确定
4．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是（）
A． 5：2：3：4 B． 5：3：2：4 C． 2：4：3：5 D． 4：2：5：3
5．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆（）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（）
A． B． C．1 D． 2
二、填空题：（请将答案填到答题卡上相应位置，每小题3分，共30分）
7．已知x=2为一元二次方程x2+x﹣m=0的一个根，则m的值为．
8．⊙O的半径为5cm，平面上有一点P，PO=3cm，则点P到⊙O上各点的最小距离
为．
9．奥体电信销售中心七月份销售某款手机50部，计划八、九月份共销售132部．设八、九月每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．
10．圆是轴对称图形，它的对称轴是．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠OCB的度数等于．
12．⊙O的半径为2cm，弦AB=2cm，AB所对的圆周角度数为．
13．以2和3为两根且二次项系数为1的一元二次方程一般式是．
14．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=2，则⊙O的半径为．
15．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=7，AC=5，则BD的长为．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为2，则a的值是．
三、解答题：（请将每题必要的解题步骤及结论写到答题卡上相应位置，共78分）
17．用相应的方法解下列方程
（1）（2y﹣1）2﹣9=0 （直接开平方法）
（2）x2﹣4x+2=0（配方法）
（3）（x﹣2）2+3x（x﹣2）=0 （因式分解法）
（4）m2﹣7m+12=0 （方法自选）
18．设AB=2cm，作图说明满足下列要求的图形：
（1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形．
（2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形．
19．阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．无理方程（根号下含有未知数的方程）=2，可以通过方程两边平方把它转化为x+1=4，可得x=3．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如，把方程=x两边平方，得2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．经检验，x2=﹣1不是原方程的根，是增根．根据上述思想方法，解方程：=2x．
20．如图，△ABC中．AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为6，判断⊙A与BC的位置关系，并证明你的结论．
21．如图，AC是⊙O的弦，以OA为直径的圆交AC于点E．
（1）若AC=12，求AE的长；
（2）若∠CAO=40°，求的度数．
22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
23．已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．
24．如图，⊙O的半径为1，经过点A（2，0）的直线与⊙O相切于点B，与y轴相交于点C．（1）求AB的长；
（2）如果把直线AC看成一次函数y=kx+b的图象，试求k、b．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动．经过多长时间P、Q两点的距离是10？
26．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC
平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
参考答案与试题解析
一、选择题：（请将答案填涂到答题卡上相应位置，每小题2分，共12分）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）
A． 3x2﹣+1=0 B． ax2+bx+c=0
C． 2x+3=1 D．（a2+1）x2﹣2x﹣3=0
考点：一元二次方程的定义．
分析：本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：A、不是整式方程，故错误；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、是一元二次方程，故错误；
D、符合一元二次方程的定义，正确．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．已知一元二次方程x2+3x+1=0，下列判断正确的是（）
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
考点：根的判别式．
分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解答：解：∵a=1，b=3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：B．
点评：此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3．已知⊙O中，=3，则弦AB和3CD的大小关系是（）
A． AB＞3CD B． AB=3CD C． AB＜3CD D．不能确定
考点：圆心角、弧、弦的关系．
分析：根据弧相等得出弦相等，推出CD=AE=EF=BF，根据AE+EF+BF＞AB，即可得出答案．
解答：
解：
∵⊙O中，=3，
∴设弧AE=弧EF=弧BF=弧CD，
连接AE、EF、BF，
∴CD=AE=EF=BF，
∵AB＜AE+EF+BF，
∴AB＜3CD，
故选C．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余各对也相等．
4．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是（）
A． 5：2：3：4 B． 5：3：2：4 C． 2：4：3：5 D． 4：2：5：3
考点：圆内接四边形的性质．
分析：根据圆内接四边形的性质得出对角互补，再逐个判断即可．
解答：解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
A、5+3≠2+4，故本选项错误；
B、5+2=3+4，故本选项正确；
C、2+3≠4+5，故本选项错误；
D、4+5≠2+3，故本选项错误；
故选B．
点评：本题考查了对圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补．
5．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆（）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到x轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：解：圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（）
A． B． C． 1 D． 2
考点：圆周角定理；垂径定理；轴对称-最短路线问题．
专题：压轴题；探究型．
分析：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB 的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股
定理即可求解．
解答：解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴=，
∵∠AMN=30°，
∴∠A′ON=60°，∠BON=30°，
∴∠A′OB=90°，
在Rt△A′OB中，OB=OA′=1，
∴A′B===，即PA+PB的最小值．
故选B．
点评：本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
二、填空题：（请将答案填到答题卡上相应位置，每小题3分，共30分）
7．已知x=2为一元二次方程x2+x﹣m=0的一个根，则m的值为 6 ．
考点：一元二次方程的解．
专题：计算题．
分析：根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
解答：解：∵x=2为一元二次方程x2+x﹣m=0的一个根，
∴22+2﹣m=0，
∴m=6．
故答案为6．
点评：本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．
8．⊙O的半径为5cm，平面上有一点P，PO=3cm，则点P到⊙O上各点的最小距离为2cm ．
考点：点与圆的位置关系．
分析：先由PO=3cm＜⊙O的半径为5cm，得出点P在⊙O内，进而得到点P到⊙O上各点的最小距离为2cm．
解答：解：∵⊙O的半径为5cm，平面上有一点P，PO=3cm，
∴点P在⊙O内，
∴点P到⊙O上各点的最小距离为5﹣3=2（cm）．
故答案为2cm．
点评：本题主要考查了点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆上⇔d=r；
③点P在圆内⇔d＜r．
9．奥体电信销售中心七月份销售某款手机50部，计划八、九月份共销售132部．设八、九月每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是50（1+x）+50（1+x）2=132 ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：设八、九月每月的平均增长率为x，由此得到八月份销售50（1+x）台，九月份销售50（1+x）2台，由此可以列出关于x的方程．
解答：解：设八、九月每月的平均增长率为x，
∵七月份销售50部，
∴八月份销售50（1+x）部，九月份销售0（1+x）2部，
依题意得50（1+x）+50（1+x）2=132．
故答案为：50（1+x）+50（1+x）2=132．
点评：此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线/直径所在的直线．
考点：轴对称的性质；圆的认识．
分析：根据对称轴的概念，知圆的对称轴是过圆心的一条直线．
解答：解：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线．
点评：注意：（1）对称轴应是直线．（2）圆有无数条对称轴．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠OCB的度数等于40°．
考点：圆周角定理．
分析：首先根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=100°，再利用三角形内角和定理可得∠OCB 的度数．
解答：解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵BO=CO，
∴∠OCB=（180°﹣100°）÷2=40°，
故答案为：40°．
点评：此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．⊙O的半径为2cm，弦AB=2cm，AB所对的圆周角度数为30°．
考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
分析：首先连接OA，OB，在优弧AB上取点C，连接AC，BC，由在⊙O中，弦AB的长等于半径，即可得△OAB是等边三角形，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
解答：解：连接OA，OB，在优弧AB上取点C，连接AC，BC，
∵在⊙O中，半径为2cm，弦AB=2cm，
∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
则∠ACB=∠AOB=30°．
∴劣弧AB所对的圆周角度数是：30°．
故答案为：30°．
点评：此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．以2和3为两根且二次项系数为1的一元二次方程一般式是x2﹣5x+6=0 ．
考点：根与系数的关系．
分析：设方程为ax2+bx+c=0，则由已知得出a=1，根据根与系数的关系得，2+3=﹣b，2×3=c，求出即可．
解答：解：∵二次项系数为1的一元二次方程的两个根为2，3，
∴方程为x2﹣5x+6=0，
故答案为：x2﹣5x+6=0．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
14．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=2，则⊙O的半径为．
考点：垂径定理；勾股定理．
分析：首先连接OA，由垂径定理即可求得AD的长，然后设OD=x，则OA=2x，由勾股定理即可求得⊙O的半径．
解答：解：设OC与AB交于点D，连接OC，
设OD=x，
∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，
∴OC=2x，AD=AB=×2=1，
∵OA2=OD2+AD2，
∴（2x）2=x2+12，
解得：x=，
∴⊙O的半径为：．
故答案为：．
点评：此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=7，AC=5，则BD的长为 2 ．
考点：切线的性质．
分析：由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．解答：解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=7﹣5=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为2，则a的值是2+．
考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
解答：解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，
∴AE=AB=1，PA=2，
根据勾股定理得：PE==，
∵点A在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=，
∴PD=×=．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a=PD+DC=2+．
故答案为：2+．
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
三、解答题：（请将每题必要的解题步骤及结论写到答题卡上相应位置，共78分）
17．用相应的方法解下列方程
（1）（2y﹣1）2﹣9=0 （直接开平方法）
（2）x2﹣4x+2=0（配方法）
（3）（x﹣2）2+3x（x﹣2）=0 （因式分解法）
（4）m2﹣7m+12=0 （方法自选）
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）先移项，再用直接开方法求出y的值即可；
（2）把方程坐标化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解；
（3）先把方程左边化为两个因式积的形式，再求出x的值；
（4）先把方程左边化为两个因式积的形式，再求出x的值．
解答：解：（1）移项得，（2y﹣1）2=9，
方程两边直接开方得，2y﹣1=±3，
故y1=2，x2=﹣1；
（2）原方程可化为（x2﹣4x+4）﹣4+2=0，即（x﹣2）2=2，
方程两边直接开方得，x﹣2=±，
故x1=2+，x2=2﹣；
（3）方程可化为（x﹣2）（x﹣2+3x）=0，即（x﹣2）（2x﹣2）=0，
解得x1=2，x2=1；
（4）方程可化为（m﹣3）（m﹣4）=0，
解得m1=3，m2=4．
点评：本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、直接开方法、配方法是解答此题的关键．
18．设AB=2cm，作图说明满足下列要求的图形：
（1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形．
（2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形．
考点：圆的认识．
专题：作图题．
分析：（1）分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，则到点A和点B的距离都等于1.5cm的点为两圆的公共部分，即它们的交点；
（2）到点A的距离小于1.5cm的点在以A点为圆心，1.5cm为半径圆内；到点B的距离大于1cm的所有点在以B点为圆心，1cm为半径的圆外．
解答：解：（1）如图1，
分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，它们的交点为所求；
（2）以A点为圆心，1.5cm为半径画⊙A；以B点为圆心，1cm为半径画⊙B，如图2，
⊙A和⊙B相交于P和Q，则两条PQ弧所围成的图形为所求（不含弧）．
点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
19．阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．无理方程（根号下含有未知数的方程）=2，可以通过方程两边平方把它转化为x+1=4，可得x=3．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如，把方程=x两边平方，得2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．经检验，x2=﹣1不是原方程的根，是增根．根据上述思想方法，解方程：=2x．
考点：无理方程．
专题：阅读型．
分析：无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为整式方程．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．
解答：解：=2x，
两边平方，得3x+7=4x2，
解得x1=，x2=﹣1．
经检验，x2=﹣1不是原方程的根，是增根．
故原方程的根为x=．
点评：考查了无理方程，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
20．如图，△ABC中．AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为6，判断⊙A与BC的位置关系，并证明你的结论．
考点：切线的判定．
分析：过A作AD⊥BC，垂足为点D，利用勾股定理求得线段AD的长与⊙O的半径比较后即可确定直线与圆的位置关系．
解答：解：⊙A与直线BC相交．
过A作AD⊥BC，垂足为点D．
∵AB=AC，BC=16，
∴BD=BC=×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD===6，
∵⊙O的半径为6，
∴AD=r，
⊙A与直线BC相切．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是求得圆心到直线的距离．
21．如图，AC是⊙O的弦，以OA为直径的圆交AC于点E．
（1）若AC=12，求AE的长；
（2）若∠CAO=40°，求的度数．
考点：圆周角定理；垂径定理．
分析：（1）首先连接BC，OE，由AB是⊙O的直径，OA为⊙D的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=∠AEO=90°，即可得OE∥BC，继而求得AE的长．
（2）根据直角三角形的性质可得∠ABC的度数，进而得到的度数．
解答：解：（1）连接BC，OE，
∵AB是⊙O的直径，OA为⊙D的直径，
∴∠C=∠AEO=90°，
∴OE∥BC，
∴AO：AB=AE：AC，
∵OA=AB，
∴AE=AC=×12=6．
（2）∵∠CAO=40°，
∴∠ABC=90°﹣40°=50°，
∴=50°．
点评：此题考查了圆周角定理与平行线的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x1=，x2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x1==1+为正整数，则m﹣1=1或2，进而
得出符合条件的m的值．
解答：解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由求根公式，得x=，
∴x1==，x2==1；
∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1==1+，必为正整数，
∴m﹣1=1或2，
∴m=2或m=3．
点评：此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
23．已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．
考点：圆周角定理；等腰三角形的性质．
分析：（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又因为BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，即可知OD 的长即为点O到直线DE的距离．
解答：（1）证明：连接CD，
∵BC是圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
即点D是AB的中点；
（2）证明：连接OD，
∵AD=BD，OB=OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，OD=AC=×6=3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴点O到直线DE的距离为3．
点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图，⊙O的半径为1，经过点A（2，0）的直线与⊙O相切于点B，与y轴相交于点C．（1）求AB的长；
（2）如果把直线AC看成一次函数y=kx+b的图象，试求k、b．
考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．
分析：（1）运用切线的性质，借助勾股定理即可求出AB的长度；
（2）首先运用射影定理求出BC的长度，进而运用勾股定理求出OC的长度，借助待定系数法即可解决问题．
解答：解：（1）如图，连接OB；
∵直线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB；
由勾股定理得：
AB2=AO2﹣OB2=4﹣1=3，
∴．
（2）∵OB是直角△AOC的斜边AC上的高，
∴OB2=AB•B C（射影定理），
∴；
由勾股定理得：
=，
∴点C的坐标为（0，），
将A、C两点的坐标代入y=kx+b得：
，
解得：k=，．
点评：该命题以平面直角坐标系为载体，以圆的切线的性质、待定系数法为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动．经过多长时间P、Q两点的距离是10？
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何动点问题．
分析：作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
解答：解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，
则PH=BC=6，PQ=10，HQ=CD﹣AP﹣CQ=16﹣5t．
∵PH2+HQ2=PQ2，
可得：（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．
点评：此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
26．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．
专题：几何综合题．
分析：（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OC DF为矩形，设AD=x，在Rt △AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6﹣x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，
化简得x2﹣11x+18=0，
解得x1=2，x2=9．
∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5﹣2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．。