专题118 有理数的乘法(拓展提高)(解析版)

专题1.18 有理数的乘法（拓展提高）
一、单选题
1．﹣3
4
是下列各算式中（ ）的积． A ．﹣31
2×（﹣314
）
B ．
3
4
×（﹣56）
C ．（﹣11
2）×49
D ．45×（﹣1516
）
【答案】D
【分析】直接利用有理数乘法运算法则进而化简求出答案．
【详解】解：A 、﹣312⨯（314-）733
2144
=⨯=，故此选项不符合题意； B 、34⨯（56-）5
8
=-，故此选项不符合题意；
C 、（﹣112）4342
9293⨯=-⨯=-，故此选项不符合题意；
D 、45⨯（1516-）34
=-，故此选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．有理数ɑ、b 在数轴上位置如图，则下式成立的（ ）．
A ．0a b +>
B ．()b a a -⨯>0
C ．()b a a -⨯<0
D ．0b a -<
【答案】C
【分析】结合题意，根据数轴的性质，得1a <-，01b <<；再结合有理数运算的性质，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：1a <-，01b << ∴0a b +<，0b a -> ∴()0b a a -⨯< 故选：C ．
【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、有理数运算的性质，从而完成求解． 3．如图，数轴上的点P 表示的有理数为a ，则表示有理数“2a -”的点是（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
【答案】D
【分析】先根据数轴的定义可得1
12
a -<<-，再根据有理数的乘法法则即可得． 【详解】由数轴的定义得：112
a -<<-， 则122a <-<，
因此，表示有理数“2a -”的点是点D ， 故选：D ．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的乘法，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 4．已知|x|＝2，|y|＝3，且x·y ＞0，则x －y 的值等于（ ） A ．5或－5 B ．－5或－1
C ．5或1
D ．1或－1
【答案】D
【分析】首先根据|x|=2，可得x=±2，根据|y|=3，可得y=±3；然后根据xy ＞0，分两种情况讨论，求出x-y 的值等于多少即可． 【详解】解：∵|x|=2， ∴x=±2； ∵|y|=3， ∴y=±3； ∵xy ＞0，
∴x=2，y=3或x=-2，y=-3， （1）当x=2，y=3时， x-y=2-3=-1
（2）当x=-2，y=-3时， x-y=-2-（-3）=1 故选：D ．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，以及有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，注意分两种情况讨论．
5．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面
两个图框是用法国“小九九”计算78⨯和89⨯的两个示例．若用法国的“小九九”计算79⨯，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A ．2，3
B ．3，3
C ．2，4
D ．3，4
【答案】C
【分析】按照法国的“小九九”的算法，大于5时，左手伸出的手指数是第一个因数减5，右手伸出的手指数是第二个因数减5，即可得答案．
【详解】∵计算78⨯和89⨯时，7-5=2，8-5=3，9-5=4，
∴法国的“小九九”大于5的算法为左手伸出的手指数是第一个因数减5，右手伸出的手指数是第二个因数减5，
∴计算79⨯，左、右手依次伸出手指的个数是7-5=2，9-5=4， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握法国“小九九”伸出手指数与两个因数间的关系． 6．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，…，第n 个数记为n a ，则6199+a a 的值为（ ）
A ．19900
B ．19915
C ．19921
D ．19934
【答案】C
【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n；所以从特殊入手，a1=1，a2=1+2，a3=3+3=1+2+3，a4=6+4=1+2+3+4，…，由此得出一般规律：a n=1+2+3+4+…+n，从而可求得结果．
【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n，所以a1=1，a2=1+2，a3=3+3=1+2+3，
a4=6+4=1+2+3+4，…，a n=1+2+3+4+…+n．所以a6=1+2+3+4+5+6=21，
a199=1+2+3+4+5+…+198+199=1
199+1199
2
⨯⨯
（）=19900，从而a6+a199=19900+21=19921
故选：C
【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求．
二、填空题
7．
1
2021
-的倒数的相反数是________．
【答案】2021
【分析】直接利用倒数、互为相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：
1
2021
-的倒数为：-2021，则-2021的相反数是：2021．
故答案为：2021．
【点睛】此题主要考查了倒数、相反数，正确把握相关定义是解题关键．
8．乘积为240
-的不同五个整数的平均值最大是__________．
【答案】9
【分析】显然是要使得负因数的绝对值尽量小，且正因数尽量大，符合的负因数只能为-1，然后正因数为1，2，3，40，再根据平均数的求法求出五个整数的平均值．
【详解】解：∵要求乘积为-240的不同五个整数的最大平均值，
又∵-1×1×2×3×40=-240，
∴平均值最大的五个因数为-1，1，2，3，40，
∴五个整数的平均值为（-1+1+2+3+40）÷5=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，本题确定负因数为-1是解题的关键． 9．规定*是一种运算符号，且*2a b ab a =-，则计算()4*2*3-=_______． 【答案】-16．
【分析】按照新定义转化算式，然后计算即可． 【详解】根据题意，2*3232(2)-=-⨯-⨯- =64-+ =-2，
()4*2*3-=()4*24(2)24-=⨯--⨯
=88-- =-16
故答案为：-16．
【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是把新定义运算转化为有理数计算，并准确计算． 10．已知21x y -=-，且,a b 互为倒数，那么620132x aby y -+-=______． 【答案】2010
【分析】利用倒数的性质得到ab ＝1，代入原式计算后，提取公因式变形，将2x−y ＝−1代入计算即可求出值．
【详解】由题意得：2x−y ＝−1，ab ＝1，
则原式＝6x−2y−y ＋2013＝3（2x−y ）＋2013＝−3＋2013＝2010． 故答案为：2010．
【点睛】此题考查了代数式求值，倒数，熟练掌握倒数的性质是解本题的关键．
11．若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 是绝对值最小的数，则()325a b cd e +-+=______． 【答案】-2
【分析】根据已知求出a+b 、cd 、e 的值，代入代数式即可求出答案． 【详解】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 为绝对值最小的数， ∴a+b=0，cd=1，e=0，
∴3（a+b ）-2cd+5e=3×0-2+5×0=-2． 故答案为：-2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，相反数，绝对值，倒数等知识点，解此题的关键是求出a+b、cd、e的值，此题是一道容易出错的题目，但题型较好．
12．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则1
6
*（﹣2*5）
＝_____．
【答案】﹣15
【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．【详解】解：∵a*b＝3ab，
∴1
6
*（﹣2*5）
＝1
6
*[3×（﹣2）×5]
＝1
6
*（﹣30）
＝3×1
6
×（﹣30）
＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．13．某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报
（1
1
1
+），第2位同学报
1
(1)
2
-+，第3位同学报
1
(1)
3
+……这样得到的50个数的乘积为_______．
【答案】-51
【分析】先确定每位同学所报之数，再列算式，确定积的符号为负，再算积即可．
【详解】解：第1位同学报（1
1
1
+），第2位同学报
1
(1)
2
-+，第3位同学报
1
(1)
3
+，第4位同学报
1
(1)
4
-+，…，
第49位同学报
1
(1)
49
+，第50位同学报
1
(1)
50
-+，
列式得（1
1
1
+）
1
(1)
2
⎡⎤
⨯-+
⎢⎥
⎣⎦
1
(1)
3
⨯+
1
(1)
4
⎡⎤
⨯-+⨯⨯
⎢⎥
⎣⎦
1
(1)
49
+
1
(1)
50
⎡⎤
⨯-+
⎢⎥
⎣⎦
，
=
2
1
-
3
2
⨯
4
3
⨯5
4
⨯⨯⨯
50
49
51
50
⨯，
=51
-．
故答案为：-51．
【点睛】本题考查有理数乘法与加法混合运算，掌握有理数混合运算法则，特别是负号的确定，多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时，积为负，负因数有偶数个时，积为正是解题关键．
14．已知a 是不等于1-的数，我们把
11a +称为a 的和倒数．如：2的和倒数为
11
123
=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______．
【答案】
1
233
【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．
【详解】解：a 1＝1，a 211112
==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618
a 51318
==+，
7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==
+，121144
a 892331144
==
+， 则a 1•a 2•a 3…a 12＝11235813213455891441
23581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=．
故答案为：1233
【点睛】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5…a 12的值是解题关键．
三、解答题 15．计算 （1）
5116()()()6767
+-+-+-； （2）（﹣20）﹣（﹣18）+（﹣14）﹣13； （3）1
11(8)()842
-⨯-
+； （4）（﹣8）×（﹣43
）×（﹣0.125）×54．
【答案】（1）﹣
13
；（2）﹣29；（3）﹣3；（4）﹣5
3
【分析】（1）原式化简后，相加即可求出值； （2）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值； （4）原式结合后，相乘即可求出值． 【详解】解：(1)原式＝
56﹣16﹣17﹣67
＝
23﹣1 ＝﹣13
；
（2）原式＝﹣20+18﹣14﹣13 ＝﹣47+18 ＝﹣29；
（3）原式＝﹣8×1
8﹣8×（﹣14
）﹣8×12
＝﹣1+2﹣4 ＝﹣3；
（4）原式＝﹣8×0.125×4
3×54
＝﹣
53
． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练运用有理数运算法则和运算律进行计算． 16．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，求a 234b
m cd m
++-的值． 【答案】1或-7
【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，可以求得a +b 、cd 、m 的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：因为a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是3， 所以a +b ＝0，cd ＝1，m ＝±
2． 当m ＝2时，
a 234
b m cd m
++-＝
223142+⨯-⨯⨯＝0+4﹣3＝1； 当m ＝﹣2时，
a 234
b m cd m
++-＝()0
223142+⨯--⨯⨯＝0﹣4﹣3＝﹣7． 所以
a 234b
m cd m
++-的值是1或-7． 【点睛】本题考查了相反数的意义、倒数的意义、绝对值的意义、有理数的混合运算，明确相反数、倒数、绝对值的意义是解题关键．
17．已知x ，y 为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x *y ＝xy ﹣5
例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3
（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；
②（4*5）*（﹣1
6）；
（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．
【答案】（1）①﹣11；②﹣15
2
；（2）＝
【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；
（2）设□和〇的数字分别为有理数a，b，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．
【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：
原式＝2×（﹣3）﹣5
＝﹣6﹣5
＝﹣11；
②根据题中的新定义得：
原式＝（4×5﹣5）*（﹣1
6
）
＝15*（﹣1
6
）
＝15×（﹣1
6
）﹣5
＝﹣5
2
﹣5
＝﹣15
2
；
（2）设□和〇的数字分别为有理数a，b，
根据题意得：a*b＝ab﹣5，b*a＝ab﹣5，即a*b＝b*a，
则□*〇＝〇*□．
故答案为：＝．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．利用运算律计算有时可以简便
例1：256172651782214
-+-+=--++=-+=；
例2：()99999910019900999801⨯=-=-=． 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算．
（1）1
11232
2+--； （2）计算：()2215
46463737
-⨯-⨯+⨯--⨯．
【答案】（1）-3；（2）-10
【分析】（1）根据加法交换律与加法结合律计算； （2）根据乘法分配律、加法交换律与加法结合律计算 ．
【详解】（1）原式1
1
13
25232
2
=--+=-+=- （2）()2215
46463737-⨯-⨯+⨯--⨯．
()212544663377
=-⨯+⨯--⨯-⨯
2125463377⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4610=--=-
【点睛】本题考查有理数的简便运算，熟练掌握有理数的运算律是解题关键．
19．小明家想要从某商场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从,A B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示．目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示． 表1：洗衣机和烘干机单价表
表2：商场促销方案
你认为有哪几种购买方案？请通过计算为小明家选择支付总费用最低的购买方案．
【答案】①购买A 品牌的洗衣机与烘干机各一台；②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台；③购买A 品牌
的洗衣机一台，购买B 品牌的烘干机一台；④购买A 品牌的烘干机一台；购买B 品牌的洗衣机一台；方案①的总费用为13272元，方案②的总费用为12820元，方案③的总费用为12872元，方案④的总费用为14020元，总费用最低的方案为方案②．
【分析】由表1可得购买方案有四种，再根据表2的优惠方案分别计算四种方案的购买费用，通过比较从而可得答案．
【详解】解：由题意可得购买方案为：
①购买A 品牌的洗衣机与烘干机各一台；
②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台；
③购买A 品牌的洗衣机一台，购买B 品牌的烘干机一台；
④购买A 品牌的烘干机一台；购买B 品牌的洗衣机一台；
所以一共有四种方案．
方案①：()70000.8113%110000.8400⨯⨯-+⨯-
4872880040013272=+-=（元）
方案②：()75000.8113%100000.8400⨯⨯-+⨯-
5220800040012820=+-=（元）
方案③：()70000.8113%100000.8⨯⨯-+⨯
4872800012872=+=（元）
方案④：()75000.8113%110000.8⨯⨯-+⨯
5220880014020=+=（元）
由12820＜12872＜13272＜14020,
所以选择方案②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台总费用最低．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，数学分类思想的应用，掌握分类讨论数学思想是解题的关键．
20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449
(5)25
⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式＝12491249452492555
-
⨯=-=-； 小军：原式＝24244(49)(5)49(5)(5)24925255+⨯-=⨯-+⨯-=-；
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：1599(8)16
⨯-． 【答案】（1）小军的解法较好；（2）还有更好的解法；解法见详解；（3）见详解；
【分析】（1）根据计算判断小军的解法较好；
（2）把244925写成15025⎛⎫- ⎪⎝⎭
，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把151916写成12016⎛⎫- ⎪⎝
⎭，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； 【详解】（1）小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好；
（2）还有更好的解法，
()()()()241114495=505=5055=250=24925252555⎛⎫⨯--⨯-⨯--⨯--+- ⎪⎝
⎭ ； （3）()()()()15111119
8=208=2088=160=159********⎛⎫⨯--⨯-⨯--⨯--+- ⎪⎝⎭ ； 【点睛】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键.。