闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学(理)试题

易知平面
ACD
的一个法向量为
m

0,
0,1
，
m n 2 6 ∴ cos m, n .
mn 3 3
6 因为二面角 F AC D 为锐二面角，故所求余弦值为 ．
3
19．
（Ⅰ）由题意可知
a
c
2

2, 5b2
.
所以
a
2
5,b2
1 .所以椭圆 C 的方程为
21.（本小题 12 分）
已知函数 f (x) x 1 sin x m ln x 1， f (x) 是 f (x) 的导函数.
2
2
（1）证明：当 m 2 时， f (x) 在 (0, ) 上有唯一零点；
（2）若存在 x1, x2 (0, ) ，且 x1 x2 时， f x1 f x2 ，证明： x1x2 m2 .
2
1 B． ln 2
2
C．1 ln 2
1 D． (1 ln 2)
2
12．.设 M ， N 是抛物线 y2 x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM 与 ON 的
1 斜率之积为 ，则（ ）
2
A．| OM | | ON | 4 2
B．以 MN 为直径的圆的面积大于 4
x1 3
x1 3
y k x 1,
由

x2

5y2

5
消去
y得
1 5k 2
x2 10k 2 x 5
k2 1
0 .显然 0 恒成立.
所以 x1 x2

10k 2
5k
2
, 1
2

5 k2 1 5k 2 1
.
因为 y2 yF y2 2 y1 y2 x1 3 2 y1 k x2 1 x1 3 2k x1 1
立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为
(t 为参数).
y 1 t sin
（Ⅰ）若 ，求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程;
2
（Ⅱ）设点 P2,1 ，曲线 C
与直线
l
交于
A、B
两点，求
2
PA

PB
2
的最小值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
上递

22

减，则 a ____．
14. 函数 f (x) ex cos x 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线的倾斜角为____．
15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设 每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 _______
）

A．
3
2
B．
3

C．
6
5
D．
6
11．已知函数
f
(x)

x, x e2x ,
0 x
0
，
g(x)

ex
（
e
是自然对数的底数），若关于
x
的方程
g ( f (x)) m 0 恰有两个不等实根 x1 、 x2 ，且 x1 x2 ，则 x2 x1 的最小值为（ ）
第2页共5页
1 A． (1 ln 2)
C.直线 MN 过抛物线 y2 x 的焦点
D． O 到直线 MN 的距离不大于 2
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横 线上。
13．已知

2，1，
11 ，
，1，2，3
，若幂函数
f

x

xa
为奇函数，且在 0 ，
C.(4,1) (1,2)
D.(1,1) (1,4)
8.已知函数
f
x
2sin x

0,

2


的两条相邻对称轴的距离为

2
，把
f x 的图象向右平移 个单位得函数 g x 的图象，且 g x 为偶函数，则 f x 的单调增 6
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20％ C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
第1页共5页
x2 y2
6.已知 A, B, C 是双曲线
a2
b2
1(a 0,b 0) 上的三个点， AB 经过原点 O ， AC 经过右
已知函数 f x 1 x a a R ．
3 1
（1）当 a 2 时，解不等式 x f x 1 ；
3
（2）设不等式
x

1 3

f
x

x 的解集为 M
，若

1 3
,
1 2


M
，求实数 a 的取值范围．
第5页共5页
一、选择题： 题1 2 号
第3页共5页
（1）证明： BD 平面 PAC ； （2）若 E 是 PC 的中点，F 是棱 PD 上一点，且 BE / / 平面 ACF ，求二面角 F AC D
的余弦值.
x2 y2 19. 已知椭圆 C : 1(b 0) 的一个焦点坐标为 (2, 0) ．
5b2 b2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知点 E(3, 0) ，过点 (1, 0) 的直线 l （与 x 轴不重合）与椭圆 C 交于 M , N 两点，直 线 ME 与直线 x 5 相交于点 F ，试证明：直线 FN 与 x 轴平行．
17．已知公差不为 0 的等差数列{an }满足 a3 9 ， a2 是 a1, a7 的等比中项.
(1)求数列{an }的通项公式；
1
(2)数列{bn }满足 bn
,求数列{bn}的前 n 项的 Sn .
n(an 7)
18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA AB 1，PB PD 2 .
2020 届“三省十二校”联考
数学（理科）试题
（考试时间：150 分钟总分：150 分）
第 I 卷（选择题 共 60 分）
2020.2.19
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A x R x2 x 2 0 ， B 1,0,1，则 A B （ ）
答案 C B
2020 届“三省十二校”联考 数学（理科）答案
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B DB CDB CAD
二、填空题
13． 1

14.
4
三、解答题：
17．（1）设等差数列 的公差为
9
15．
16
，则
16． 57
解得
或 （舍去），
.
（2）
,
.
18．（1）证明：∵ PA AB AD 1， PB PD 2 . ∴ PA2 AB2 PB2 ， PA2 AD2 PD2 ， ∴ PA AB ， PA AD ， AB AD A ， AB, AD 平面 ABCD ∴ PA 平面 ABCD ，而 BD 平面 ABCD
A． 1, 0,1 B．1, 0
C．0,1
D．0
2.已知 3 iz 4i i为虚数单位 ,则复数 z 在复平面上所对应的点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3. m log4 0.4 , n 40.4 , p 0.40.5 ，则( )
OE OD 2 1
OM
2

4
,
0,
4

，
平面
ACF
即平面
ACM
，设其法向量为
n


x,
y,
z

，

n

OC

0,

y 0,
则 即

令 x 1 ，得 n 1, 0, 2 ，
n OM 0, 2x z 0,
x2 5

y2
1.
（Ⅱ）①当直线 l 的斜率不存在时，此时 MN x 轴.设 D 1, 0 ，直线 x 5 与 x 轴相交于
第2页共6页
点 G ，易得点 E 3, 0 是点 D 1, 0 和点 G 5, 0 的中点，又因为 MD DN ，
所以 FG DN ，所以直线 FN // x 轴.
区间为（ ）

4
A. 2k 3 , 2k 3 , k Z

4
B. k 3 , k 3 , k Z
C.
2k

6
,
2k

3

,
k

Z
D.
k

6
, k

3

,
k

Z
9．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 ，的各顶点都在球 O 的球面上，且 AB AC 2, BC 2 3 ，
160 5
若球 O 的体积为
，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
3
A． 4 2
B．8 3
C． 8 D． 4 5
10．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c, S 为 ABC 的面积，
sin A C

2S b2 c2
，且
A, B,C
成等差数列，则 C 的大小为（
焦点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（ ）
5
17
17
9
A.
B.
C.
D.
3
3
2
4
7.函数 f (x) x2 log2 x ，则不等式 f (x 1) f (3) 0 的解集为（
）
A.(,1) (4,)
B.(,4) (1,)
16．如图，三棱锥 A－BCD 中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB
＝8，CD＝12，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为 21 ，
则 PB 的最大值是________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。
A. m n p B. m p n C. p m n D. n p m
4．如图，
为等腰直角三角形，
， 为斜边 的高， 为线段 的中
点，则
（）
A．
B．
C．
D．
5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网
行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形 图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980—1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前 出生．
第1页共6页
∴ PA BD ． 又∵ ABCD 为正方形， ∴ AC BD ， PA AC A， PA, AC 平面 PAC. ∴ BD 平面 PAC ． （2）解：如图，连接 ED ，取 ED 的中点 M ，
设 AC BD O ，连接 OM ，则 BE OM ，
从而 BE 平面 ACM ，平面 ACM 与 PD 的交点即为 F ．
20．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一
块地的 n(n N * ) 个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 1 ，且每粒 2
种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种， 否则要补播种．
（1）当 n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当 n 4 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望．
第4页共5页
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题
号。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 6 cos .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建
x 2 t cos
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k x 1 k 0 M x1, y1 , N x2, y2 .
因为点 E 3, 0 ，所以直线 ME 的方程为 y y1 x 3 .
x1 3
令 x 5 ，所以 yF y1 5 3 2 y1 .
以
OB
、
OC
、
OE
为
x,
y,
z
轴建立如图所示的空间直角坐标系
O

xyz
，
2 1 2
OC 0,
2
,
0

， OE

0,
0,
2

，
OD



2
, 0, 0 ，