2015年-四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷及答案

2015年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（）
A．球体B．长方体C．圆锥体D．圆柱体
2．已知，则的值为（）
A．B．C．D．
3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）
A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）
A．B．C．D．
5．如图，点D、E分别在线段AB、AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为（）
A．B．10 C．D．
6．已知反比例函数图象经过点（1，﹣1），（m，1），则m等于（）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
7．如图，圆O是△ACD的外接圆，AB是圆O的直径，∠BAD=60°，则∠C的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（）
A．B．C．D．
9．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
10．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）
A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x 轴，L4为y轴
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．已知y=（a﹣1）是反比例函数，则a= ．
12．已知α是锐角，且tan（90°﹣α）=，则α=．
13．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是m．
14．把二次函数y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后二次函数的解析式为．
三、计算题（15小题每小题12分，16小题6分，共18分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°（1﹣）0+﹣|1﹣|
（2）解方程：x（x+6）=16．
16．（6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．
四、解答题（每小题8分，共32分）
17．（8分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同：
（1）用树状图或列表法求出小凡获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？
18．（8分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度
AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
19．（8分）如图，经过点A（﹣2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BQ，求△PBQ的面积．
20．（8分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC的中点，E是线段BA上一动点（与点B、A不重合），直线DE交CA的延长线于F点．
（1）当DF=DC时，求AF的值；
（2）设BE=x，AF=y．
①求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
②当△AEF为以FA为腰的等腰三角形时，求x的值．
B卷
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知x2﹣2x﹣=0，则x3﹣2x2+（1﹣x）的值是．
22．若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为cm．
23．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．24．如图，M为双曲线y=（x＞0）上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于点D、C两点．若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD?BC的值为．
25．已知：如图，Rt△ABC外切于圆O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE．现给出以下四个结论：①∠FEH=90°﹣∠C；②DE=AE；
③AB2=AO?DF；④AE?CH=S△ABC，其中正确结论的序号为．
二、解答题（8分）
26．（8分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
三、解答题（10分）
27．（10分）如图，以BC为直径，以O为圆心的半圆交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，BC2=CF?AC，cos∠ABD=，AD=12．
（1）求证：FB是圆O的切线；
（2）求证：=；
（3）连接AE，求AE?MN的值．
四、解答题（12分）
28．（12分）己知二次函数（t＞1）的图象为抛物线C 1．
（1）求证：无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；
（2）已知抛物线C1与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：，平移后A、B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求n的值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线（b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．
1．D．2．C．3．C．4．D．5．B．6．D．7．A．8．C．9．B．10．D．11．﹣1．12．30°．13．1．14．y=（x+1）2﹣2．
15．（1）计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°（1﹣）0+﹣|1﹣|
（2）解方程：x（x+6）=16．
解：（1）原式=﹣3××1+2﹣（﹣1）
=﹣2﹣++1
=﹣1；
（2）方程可化为x2+6x=16，
移项得，x2+6x﹣16=0，
（x﹣2）（x+8）=0，
解得x1=2，x2=﹣8．
16．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．
（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD．
（2）解：∵CE⊥BE，
∴CE2=CB2﹣BE2，而CB=3，BE=2，
∴CE=；而AB⊥CD，
∴DE=CE，CD=2CE=2．
17．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同：
（1）用树状图或列表法求出小凡获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？
解：（1）列出表格，如图所示：
石头剪刀布
石头（石头，石头）（剪刀，石头）（布，石头）
剪刀（石头，剪刀）（剪刀，剪刀）（布，剪刀）
布（石头，布）（剪刀，布）（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）==；
（2）小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，
∴P（小明获胜）=P（小颖获胜）==，
则这个游戏对三人公平．
18．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE==x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=3，
∴BC=3，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴AF==（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴（x﹣3）=3+x，
解得x=9（米）．
答：树高为9米．
19．如图，经过点A（﹣2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BQ，求△PBQ的面积．
解：（1）∵BO=4，AO=2，
∴AB=6，
∵tan∠PAB==，
∴PB=9，
∴P点坐标为：（4，9），
把P（4，9），代入反比例函数解析式y=，得k=36，
∴反比例函数解析式为y=；
把点A（﹣2，0），P（4，9），代入y=ax+b得：，
解得：，
故一次函数解析式为y=x+3．
（2）过点Q作QM⊥y轴于点M，
由，
解得：或，
∴Q点坐标为：（﹣6，﹣6），
∴S△PQB=?PB?QM
=×9×（6+4）
=45．
20．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC的中点，E是线段BA 上一动点（与点B、A不重合），直线DE交CA的延长线于F点．
（1）当DF=DC时，求AF的值；
（2）设BE=x，AF=y．
①求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
②当△AEF为以FA为腰的等腰三角形时，求x的值．解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF=DC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠F，
∴△ABC∽△DFC，
∴=，
∴=，
∴CF=12.8，
∴AF=CF﹣AC=12.8﹣10=2.8；
（2）①取AB的中点M，连接DM，如图所示，
∵D是边BC的中点，
∴DM∥AC，DM=AC=5，
∴△AFE∽△MDE，
∴=，
∴=，
∴y=，函数定义域为5＜x＜10；
②当点E位于线段AB上时，如图所示：
若AF=AE，即=10﹣x，
解得：x=10（舍去），
若AF=EF，cos∠FAE=，
则有5×=?（x﹣5），
解得：x=，
综上所述，当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，x=．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．．22．2（﹣1）或6﹣2．23．3或﹣3．24．．
25．已知：如图，Rt△ABC外切于圆O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE．现给出以下四个结论：①∠FEH=90°﹣∠C；②DE=AE；
③AB2=AO?DF；④AE?CH=S△ABC，其中正确结论的序号为①③④．
解：①连接OE，OH，OF，则OE⊥AB，OH⊥BC，
得出∠FOH=180°﹣∠C，
根据圆周角定理得∠FEH=∠FOH=90∠C；
故①正确；
②由①得四边形OEBH是正方形，
则圆的半径=BE，
∴OF=BE，
又∵∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
在△BDE与△FAO中，
，
∴△BDE≌△FAO（SAS），
∴BD=AF，
∵BD＜DE，
∴DE≠AF，
故②错误；
③∵Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，∴BE=BH，AF=AE，
根据②得BD=AF，
∴BD=AE（等量代换），
∴AB=DH；
连接OB、FH．
∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，
∴△DFH∽△ABO，
则DH?AB=AO?DF，又AB=DH，
所以AB2=AO?DF，
故③正确；
④设△ABC的三边分别为a，b，c，则AE=，CH=，
AE?CH===S△ABC．
故S△ABC=AB?BC=AE?CH；
故④正确；
故答案为：①③④．
二、解答题（8分）
26．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：
64（1+a）2=100
解得：a=0.25=25%或a=﹣2.25
四月份的销量为：100?（1+25%）=125（辆）．
答：四月份的销量为125辆．
（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，
根据题意得：2×≤x≤2.8×
解得：30≤x≤35
利润W=（700﹣500）x+（1300﹣1000）=9000+50x．
∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．
当x=35时，不是整数，故不符合题意，
∴x=34，此时=13（辆）．
答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．
三、解答题（10分）
27．如图，以BC为直径，以O为圆心的半圆交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC 交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，BC2=CF?AC，cos∠ABD=，AD=12．
（1）求证：FB是圆O的切线；
（2）求证：=；
（3）连接AE，求AE?MN的值．
解：（1）如图，∵BC2=CF?AC，
∴，而∠C=∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴∠FBC=∠BAC；而BC为半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，∠FBC=90°，
∴FB是圆O的切线．
（2）由射影定理得：BF2=AF?CF，BC2=AC?CF，
∴①；
∵AD⊥BC，ME⊥BC，
∴AD∥ME，
∴②；
由①②知：=．
（3）如图，连接AE；
∵BM平分∠ABE，且MA⊥AB，ME⊥BE，
∴MA=ME，AN∥ME；设∠ABM=∠DBN=α，
则∠AMN=90°﹣α，∠ANM=∠BND=90°﹣α，∴∠AMN=∠ANM，AM=AN，
∴AN=ME；而AN∥ME，
∴四边形AMEN为平行四边形；而AM=AN，
∴四边形AMEN为菱形，AE⊥MN；
∵cos∠ABD=，AD=12．
∴；设BD=3λ，则AB=5λ；
由勾股定理得：（5λ）2=（3λ）2+122，
解得：λ=3，BD=9，AB=15；
由勾股定理可证：BE=BA=15，
∴DE=15﹣9=6；而BN平分∠ABD，
∴，而BD=9，AB=15，AD=12，
解得：AN=；由面积公式得：
∴AE?MN=2××6=90．
四、解答题（12分）
28．己知二次函数（t＞1）的图象为抛物线C1．
（1）求证：无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；
（2）已知抛物线C1与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：，平移后A、B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求n的值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线（b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．
解：（1）令y1=0，得△=（﹣2t）2﹣4（2t﹣1）=4t2﹣8t+4=4（t﹣1）2，
∵t＞1，∴△=4（t﹣1）2＞0，
∴无论t取何值，方程x2﹣2tx+（2t﹣1）=0总有两个不相等的实数根，
∴无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点．
（2）解方程x2﹣2tx+（2t﹣1）=0得，x1=1，x2=2t﹣1，
∵t＞1，∴2t﹣1＞1．得A（1，0），B（2t﹣1，0），
∵D（m，n），E（m+2，n），∴DE=AB=2，
即2t﹣1﹣1=2，解得t=2．
∴二次函数为，
显然将抛物线C1向上平移1个单位可得抛物线C2：，
故n=1．
（3）由（2）得抛物线C 2：，D（1，1），E（3，1），
翻折后，顶点F（2，0）的对应点为F'（2，2），
如图，当直线经过点D（1，1）时，记为l3，
此时，图形G与l3只有一个公共点；
当直线经过点E（3，1）时，记为l2，此时，图形G与l2有三个公共点；当b＜3时，由图象可知，只有当直线l：位于l2与l3之间时，图形G与直线l有且只有两个公共点，
∴符合题意的b的取值范围是．
参与本试卷答题和审题的老师有：lanchong；137-hui；mmll852；MMCH；Liuzhx；郝老师；HJJ；知足长乐；守拙；zcl5287；lbz；sks；HLing；caicl；zhjh；zcx；dbz1018；CJX；sjw666；73zzx；心若在；sd2011；王学峰；sjzx（排名不分先后）菁优网
2016年12月9日2020-2-8。