随机变量及分布列习题43462
高三数学随机变量的分布列试题
高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。
随机变量及其概率分布典型例题
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .
2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1
f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二
随机变量与分布列习题
随机变量及分布列1．已知随机变量()20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ）A.12a - B. 2a C. 1a - D. 12a+2．已知随机变量，若，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 64．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下并放回，如果两球之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D.5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布，，则__________．7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D.8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D.9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析.（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，；物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望.10．某品牌汽车的4S 店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A ：“至多有1位采用分6期付款“的概率()P A ；（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()E η.11．某公司有,,,,A B C D E 五辆汽车，其中,A B 两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D 两辆汽车的车牌尾号均为2，E 车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，,,A B E 三辆汽车每天出车的概率均为12，,C D 两辆汽车每天出车的概率均为23，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出国的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及期望.12．拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．13．某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．14．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；（2）若用表示这位参加者抽取的次数，求的分布列及期望．15．为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20,25) , [25,30) , [30,35)， [35,40) , [40,45] ，并得到如下频率分布直方图.(Ⅰ)求图中的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数；(Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为,求的分布列及数学期望.16．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”. （1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望.17．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．（Ⅰ）求此班级人数；（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．（i ）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；（ii ）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．18．2017年1月1日，作为市打造“千园之城”27个示性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列22⨯愿意不愿意总计男生 女生 总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为12，记甲通过的关数为X ，求X的分布列和数学期望. ()20P K k ≥0.1 0.05 0.025 0.01()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，知识告知大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”．（1）求乙班总分超过甲班的概率；（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分， ①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望．20．一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个.求： （1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望.21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛.比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立.求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率.22．若随机变量()22,3X N ~，且()()1P X P X a ≤=≥，则()52x a ax⎛+ ⎝展开式中3x 项的系数是__________．23．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．24．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布,已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.25．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的围为________．26．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．27且E （ξ）＝1.1，则D （ξ）＝________． 28．设p 为非负实数，随机变量X则E （X ）的最大值为_______，D （X ）的最大值为_____．29．12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值()E ξ=．参考答案1．A【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线0x =对称,正态密度函数的图象与x 轴围成的面积为1,所以有()1(2)(2)12P X P X a >=<-=-,选A . 2．B 【解析】。
随机变量及其分布列习题(含解析)
一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。
随机变量分布列练习题二套
16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 个红球、 个白球 的甲箱和装有 个红球、 个白球的乙箱中，各随机摸出 个球，在摸出的 个球中，若都是红球，则获一 等奖，若只有 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望．
14. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ， 两种奶制品．生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获 利 元；生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获利 元．要求每天 产品的产量不超过
产品产量的 倍，设备每天生产 ， 两种产品时间之和不超过 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单位：元）是一个随 机变量．
（1）求 的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 天中至少有 天的最大获利超过
元的概率．
15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人 都猜对，则“星队”得 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结 果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （1）“星队”至少猜对 个成语的概率； （2）“星队”两轮得分之和为 的分布列和数学期望 ．
13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验 的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接 受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 名男志愿者 ， ， ， ， ， 和 名女志 愿者 ， ， ， ，从中随机抽取 人接受甲种心理暗示，另 人接受乙种心理暗示． （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率． （2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望 ．
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.设随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），则．【答案】【解析】随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），且，，即.【考点】随机变量的分布列.2.若随机变量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是________．【答案】3×0.44【解析】E(X)＝n×0.6＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C1(0.6)1×0.44＝3×0.44.53.为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n;（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设表示体重超过60千克的学生人数，求的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）0123（或）.【解析】（Ⅰ）设从左至右前3小组的频率分别为由题意得 3分∴ 5分∴ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得一个报考体育专业学生的体重超过60公斤的概率为8分由题意可知∴， 10分即∴（或） 12分【考点】频率分布直方图，随机变量的分布列及数学期望。
点评：中档题，作为数学应用问题，实际背景学生熟悉，易于理解题意，关键是细心计算。
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:①连续竞猜次,每次相互独立；②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为,再由乙猜测甲写的数字,记为,已知,若,则本次竞猜成功；③在次竞猜中,至少有次竞猜成功,则两人获奖.(Ⅰ) 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；(Ⅱ）现从人组成的代表队中选人参加此游戏,这人中有且仅有对双胞胎，记选出的人中含有双胞胎的对数为,求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列为∴【解析】解：（Ⅰ）记事件为甲乙两人一次竞猜成功，则则甲乙两人获奖的概率为（Ⅱ）由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数取值为0,1,2则，∴分布列为∴【考点】古典概型概率和分布列点评：主要是考查了古典概型概率和分布列的求解，属于基础题。
第2章_随机变量及其分布练习题及答案
第2章 随机变量及其分布（练习、复习题及答案）一、填空题：1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ，(k =1,2,…,N)，则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2，P(ξ=1)=0.3，P(ξ=2)=0.5，则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0)，则C ＝ e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…，其中λ>1，则a ＝ λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ，以ξ表示三个零件中合格品的个数，则P{ξ=2}＝ 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ，则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102)，则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，已知P(ξ<9)=0.975，P(ξ<2)=0.062，则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1)，则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中，构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0，则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时，),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量，则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x )，在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,，则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex，则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数，其表达式为分段函数，则当x ∈( A )时，f (x )=cos x ，其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0，5]上的均匀分布，则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62)，η~ N(μ, 82)，记p 1=P{ξ≤μ-6}，p 2=P{η≥μ+8}，则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题：1.下列表格是概率分布吗？为什么？(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ； )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p )，已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1)，试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5，P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复地做两次。
随机变量及其分布习题及解答
第二章 随机变量及其分布习题1．设连续型随机变量X 的分布函数为0,,()arcsin ,,(0).1,,x a x F x A B a x a a a x a <−⎧⎪⎪=+−≤<>⎨⎪≥⎪⎩ 求：（1）A 和B ；（2）概率密度．)(x f 2．设连续型随机变量X 的密度函数为)(x f X 230,0,2,x x x e x −<⎧⎪=⎨≥⎪⎩0.求：（1）；（2）32+=X Y 2X Y =的密度函数． 3．随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布)21,0(N ，求22Y X Z +=的概率密度。
4．已知随机变量X 服从区间上的均匀分布，求随机变量)1,1(−122+=X Y 的概率密度函数。
5．设随机变量X 的概率密度为∞<<+=x x x p X 0,)1(2)(2π 求随机变量XY 1=的分布密度函数。
6．袋中有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，令X 表示取出的球的最大号码，求X 的分布律和分布函数。
7、已知随机变量和的概率分布为1X 2X , , ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−4/12/14/1101~1X ⎭⎬⎫⎩⎨⎧2/12/110~2X 而且1}0{21==X X P .(1) 求和的联合分布.1X 2X (2) 问和是否独立?为什么?1X 2X 8．某仪器装有三只独立工作的同型号电气元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=000600exp(6001)(x x x x f . 试求在仪器使用的最初200h 内，至少有一个电子元件损坏的概率α9．某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7：00，7：15，7:30,…有汽车发出。
如果乘客到达此汽车站的时间X 是在7：00~7：30的均匀随机变量，试求乘客在车站等候（1）不超过5分钟的概率；（2）超过10分钟的概率10．假设电路中装有三个同种电器元件，它们的工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，求电路正常工作时间T 的概率分布。
随机变量及其分布习题
习题课
第二、三章 随机变量及其概率分布
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
（二. ） 泊松(Poisson)分布P(）
X～P{X＝k}＝ k e , k＝0, 1, 2, …
k!
(0)
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
dF(x) f (x) dx
（4） 对任意实数b，若X～ f(x)，
(-<x<)，则P{X=b}＝0。
于是
P{a X b}＝P{a X b}
＝P{a X b}＝ b f (x)dx a
例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为
x 0 x1
f (x) 2 x 1 x 2
联合密度为非负可积的函数f(x,y)
边缘密度
f X (x)
f ( x, y)dy
fY ( y)
f ( x, y)dx
联合分布函数:
xy
F(x, y)
f (u, v)dudv
边缘分布函数 :
x
FX ( x) f X ( x)dx ,
其密度函数表示为
(x)
1
x2
e 2 , x .
2
分布函数表示为
随机变量及其概率分布练习题
随机变量及其概率分布练习题(共90分)一．选择题(每题2分共20分)2．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ ）A.≤0F(x )1≤B.F(x )=P{X=x }C.F(x )=P{X x ≤}D.F(∞+)=1, F(∞-)=03．设随机变量X 的分布律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( ) X0 2 4 6 P 0.1 0.2 0.3 0.4A.0.3B.0.5C.0.6D.0.44．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤xA.F(x)=B.F(x)=1 其它2 其它-1 x<0 0 x<0C.F(x)= 2x 10<≤xD.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.54x 31<<-x 5．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2<x<2}=( ) 0, 其它A. 0B.83C. 43D. 856. 以下函数可作为随机变量X 的概率密度的是（ ）A.f(x)=.;11,0,其它<<-⎩⎨⎧x xB.f(x)=.;11,,02其它<<-⎩⎨⎧x xC.f(x)=.;11,0,21其它<<-⎪⎩⎪⎨⎧x D.f(x)=.;11,0,2其它<<-⎩⎨⎧x7.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.34138．已知随机变量X 的分布函数为（ ）F(x)= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ，则P }{1X ==A ． 61B ．21C ．32D ．19．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ( )A ．0B ．31C ．32D ．110、设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，则P{2<x<4}=( )A.P{5<x<7}B.p{1<x<3}C.P{3<x<5}D.P{4.5<x<6.5}二．填空题(每题2分共20分)2．设连续型随机变量X 的分布函数为如下F(x), 则X 的概率密度)(x f 为（ ） 0 x<0F(x)= 2x, 5.00<≤x1 x ≥0.53．设随机变量X 的分布为P{X=k}=10k，k=0,1，2,3,4,则P{0.5<X ≤2}=( )4．设随机变量X ～N(2,9)，已知标准正态分布函数值=Φ)1(0.8413，为使P{X<a}<0.8413,则常数a<( )5．某人掷五次骰子，则在五次中得到点为6的次数X 的分布率为P{X=i}=( ) i=0,1,2,3,4,56．设随机变量X 服从区间[]10,0上的均匀分布，则P （X>4）=_ _．7．在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知P{X=4}=3P{X=3}，则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为_ _．8.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<3x 13x 1321x 0210x 0 则P{2<X ≤4}=_ _．9.已知随机变量X 的概率密度为f(x)=ce -|x|，-∞<x<+∞，则c=_ _．10．设随机变量X 的概率分布为F (x )为其分布函数，则F (3)=_ _．三．计算题。
第二章 随机变量及其分布 习题
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量、离散型随机变量及其分布规律一、判断题 随机变量X 的分布规律1． 表 是变量X 有{}3,2,1,0,652=−==k k k X P ，则它2.若对随机是随机变量X 的分布规律3.若对随机变量X 有{},5,4,3,2,1,251=+==k k k X P 则它是随机变量X 的分布律 二、填空题1.设随机变量X 的分布律为{}N k Nak X P ⋯⋯===,4,3,2,1,,则=a 2.设随机变量X 的分布律为{}⋯⋯===−,2,1,!3k e k k X P kλ，则=λ3.设离散型随机变量X 服从两点分布，且()()()=====1,041X P X P X P 则4.设随机变量(),,~p n b X 且已知()()(),3221=====X P X P X P 则n = p =5.某试验的成功概率为43，失败概率为41，若以X 表示试验者首次成功所进行的试验次数，则X 的分布律为6.设随机变量X 服从二项分布(),,2p b 随机变量Y 服从二项分布若()p b ,3。
若(),951=≥X P 则()=≥1Y P三、在15件同类型的零件中有2件次品，从中取3次，每次任取1件，作不放回抽取。
以X 表示取出的次品的个数。
1．求X 的分布律 2.画出分布律的图形四、一大楼装有5个同类型的供水设备。
调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻, 1.恰有2个设备被使用的概率是多少？2.至少有3个设备被同时使用的概率是多少？3.至多有3个设备被同时使用的概率是多少？五、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问： 1.在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ 2.在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？六、某商店过去的销售记录表明，某种商品每月的销售数可用参数10=λ的泊松分布描述，为了以99%以上的把握该种商品不脱销，每月该种产品的库存量为多少件？七、设X 服从泊松分布，其分布律为{}⋯===−,1,0,!k k e k X P k λλ ,当k 为何值，()k X P =最大？第二节 随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度一、判断题：1.(),.102,212,0⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−−<=x x x x F 是某个随机变量的分布函数。
随机变量及分布列习题
精心整理随机变量及分布列1．已知随机变量()20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（） A.12a - B.2a C.1a - D.12a+ 2．已知随机变量，若，则的值为（）A.0.4B.0.2C.0.1D.0.6 3．已知，，则的值为（）A.10B.7C.3D.64．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（） A.B.C.D.5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________．6．设随机变量服从正态分布，，则__________．7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（） A.B.C. D.8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则（）A.B.C.D.9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；，，，，，，，；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ物理成绩由低到高依次为：7277808488909395为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望.10．某品牌汽车的4S店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．0．250．150．100．050．0251．3232．0722．7063．8415．024 13．某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．14．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；（2）若用表示这位参加者抽取的次数，求的分布列及期望．15．为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20,25),[25,30),[30,35)，[35,40),[40,45]，并得到如下频率分布直方图.(Ⅰ)求图中的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数；(Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为,求的分布列及数学期望.16．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望.17．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．（Ⅰ）求此班级人数；（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．（i ）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表： ）根据条件完成下列22⨯列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意不愿意总计男生 女生 总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为12，记甲通过的关数为X ，求X的分布列和数学期望. 参考公式与数据：0.1 0.05 0.025 0.012.7063.8415.0246.635()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，知识告知大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”．（1）求乙班总分超过甲班的概率；（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分，①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望．20．一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个.求： （1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望.21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛.比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立.求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率.22．若随机变量()22,3X N ~，且()()1P X P X a ≤=≥，则()521x a ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数是__________．23．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．24．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布,已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.25．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．26．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________． 27．若随机变量ξ的分布列如下表：ξ 0 1 x Pp且E （ξ）＝1.1，则D （ξ）＝________． 28．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为X 0 1 2 Pp则E （X ）的最大值为_______，D （X ）的最大值为_____．29．12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值()E ξ=．参考答案1．A【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线0x =对称,正态密度函数的图象与x 轴围成的面积为1,所以有()1(2)(2)12P X P X a >=<-=-,选A . 2．B 【解析】。
随机变量及其分布练习题
随机变量及其分布练习题1.设某种零件的合格品率为0.9,不合格品率为0.1 ,现对这种零件逐一有放回地进行测试,直到测得一个合格品为止,求测试次数的分布律. 解.设随机变量X表示测试次数,则X的取值范围为1, 2, 3,…根据题意,当X的取值为k 时,表示前(k-1)次取到不合格品,第k次取到合格品,而且是有放回的测试,因此,每次是否取到合格品是相互独立的.∴P(X=k)=0.1k-1×0.9k=1,2,3,…2.有3个小球和2只杯子,将小球随机地放入杯中,设X为有小球的杯子数,求X的概率分布. 解.显然随机变量X可能取值为1和2, 且,.所以, X的概率分布列为3.一袋中有8个球:5解.(1)在不放回方式中,随机变量X可能取值为1, 2, 3,个红的,3个白的.每次从中任取一个.有下述两种方法进行抽取,X 表示直到取得红球为止所进行的抽取次数.(1)不放回地抽取 ;(2)有放回地抽取.4, 当X 取k 值时,前面(k -1)次取得白球,第k 次取得红球,则 P (X=1)=5/8 , P (X =2)=3/8×5/7=15/56 , P (X =3)=3/8×2/7×5/6=5/56 , P (X =4)=3/8×2/7×1/6×1=1/56因此X 的概率分布为(2)在有放回方式中, 随机变量可能取值为1, 2,3,…, 当X 取k 值时, 前面(k -1)次取得白球, 第k 次取得红球,则P (X =k )=(3/8)k -1×(5/8). k =1,2,3,…4.设随机变量X 的可能取值为-1, 0, 1,相应的概率依次为p 1 , p 2 , p 3 ,已知三个概率成等差数列,且p 3=2p 1,求X的概率分布.解. 由概率分布的性质可知p 1+p 2+p 3=1 ①又已知三个概率成等差数列即p 1+p 3=2p 2 ②又根据已知条件p 3=2p 1 ③ 解方程①②③得到 p 1=2/9 ,p 2=1/3 , p 3=4/9 . 因此, X 的概率分布为5.掷一枚不均匀硬币, 直到正、反两面都出现过为止.设随机变量X 表示掷硬币的次数.如果出现正面的概率为p (0＜p ＜1), 求X 的概率分布. 解. 由于掷硬币试验直到正、反两面都出现为止, 当X 等于k 时,它包括两种情形: 前面(k -1)次掷出正面, 第k 次掷出反面或前面(k -1)次掷出反面, 第k 次掷出正面.X 的可能取值为2,3, … ,且每次掷硬币是否出现正面是相互独立的.∴P(X=k)=p k-1(1-p)+(1-p)k-1pk=2, 3,…6.某人接连独立地进行三次试验. 第i次试验成功的概率, i=1, 2, 3. 求三次试验中成功的次数X的概率分布. 解.随机变量X表示试验成功的次数,所以X的取值是0, 1, 2, 3,且X=0表示三次试验都没有成功:P(X=0)=(1-1/2)(1-2/3)(1-3/4)=1/24 , X=1表示三次试验有一次成功,两次没有成功:P(X=1)=1/2×(1-2/3)×(1-3/4)+(1-1/2)×2/3×(1-3/4)+(1-1/2)×(1-2/3)×3/4=1/4,X=2表示三次试验有两次成功,一次没有成功:P(X=2)=1/2×2/3×(1-3/4)+(1-1/2)×2/3×3/4+1/2×(1-2/3)×3/4=11/24,X=3表示三次试验都成功了:P(X=3)= 1/2×2/3×3/4=1/4.X～.7.设随机变量ξ的概率分布为:P (ξ=k )=c /(2+k ) , k =0, 1, 2, 3求c 值和下列概率: (1)P (ξ=3); (2)P (ξ<3); (3)P (ξ=2或ξ=3).解.利用概率分布的性质:∴ c =60/77 . P (ξ=3)=12/77; P (ξ<3)=P (ξ=0)+P (ξ=1)+P (ξ=2)=65/77; P (ξ=2或ξ=3)= P (ξ=2)+ P (ξ=3)=27/77.8.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=A +Ba r c t anx , 求常数A 、B 及概率密度.解. 利用分布函数的性质:,由此可知.解这个方程组得: A =0.5 , B =1/π.因此密度函数f(x)为:.9.已知随机变量X的密度函数为(1)求X的分布函数;(2)求P(X＜0.5), P(X＞1.3) , P(0.2＜X＜1.2).解.(1)根据分布函数和密度函数之间的关系:可知,当x＜0时, F(x)=0;当0≤x＜1时, ;当1≤x＜2时,; 当x≥2时, F(x)=1.因此,分布函数为.(2);; .10.已知随机变量X的概率密度为解.由密度函数的性质:又知P(2<x<x<2),求常数a及b的值.< p=""> 可得4a+2b=1①又根据已知条件: P(2<x<x<="">即a+2b=0②解①②得到: a=1/3 , b=-1/6 .11.设连续型随机变量X的概率密度为(1)试确定常数a的值.(2) 如果概率P(a<x<="">值. 解. (1)利用密度函数的性质得,得到a=0.(2)∵,得到b=1.12.设产品寿命(单位:h)的分布密度函数为解.设随机变量X表示产品的寿命.(1)利用密度函数的性质:求:(1)A=?(2)产品寿命超过1500h 的概率;(3)某设备上装有三个这样的产品,当三个产品均失效时,则设备不能正常工作;当恰有二个产品失效时,设备正常工作的概率为20%;当恰有一个产品失效时,设备正常工作的概率为80%;当三件产品均有效时,设备正常工作的概率为1.计算设备累计工作1500h后,仍能正常工作的概率.可得A=2000.(2) .(3)用B表示事件“设备正常工作”;A i表示事件“有i个产品有效”. i=0, 1, 2, 3P(A0)=(1-1/3)3=8/27 ;P(A1)=3×(1/3)×(1-1/3)2=4/9;P(A2)=3×(1/3)2×(1-1/3)=2/9;P(A3)= (1/3)3=1/27 .A0、A1、A2、A3是完备事件组, 且P(B|A0)=0 , P(B|A1)= 0.2 ,P(B|A2)=0.8 , P(B|A3)=1 .则P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+ P(B|A3)P(A3)=0×8/27+0.2×4/9+0.8×2/9+1×1/27=0.304.</x</x<x</x<x<2),求常数a及b的值.<>。
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 例题
1.下列函数是否为其随机变量的分布函数：（1）F(x)={1/21x<00≤x<1x≥1（2）F(x)={11/2 3/4 1x<0 0≤x≤1 1<x<2 x≥2（3）F(x)={sin x1x<00≤x<πx≥π（4）F(x)={sin x1x<00≤x<π/2x≥π/2（5）F(x)={sin xx1x<00≤x≤π/4π/4<x<1x≥1（6）F(x)={x+1/21x<−1−1≤x<1x≥12.设随机变量X的分布函数为F(x)={00.4 0.8 1x<−1−1≤x<11≤x<3x≥3，求X的分布律。
3.设随机函数X的取值为1,2,…,n，P{X=k}与k成正比(1≤k≤n)，求X的分布律。
4.某仪器上存在同型号相互独立的电子元件，其寿命（小时）服从λ=1/600的指数分布，求在最初使用的200个小时内至少1只损坏的概率。
5.设测量的随机误差为X，已知X~N(0,100)，试求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布求α的近似值。
（ϕ(1.96)=0.975∙e−5=0.007）6.设两台电子仪器的寿命（小时）为X1、X2，已知X~N(40,36)，X~N(45,9)。
（1）若在45小时以内使用，（2）若在52小时内使用，问选哪一台要保险一些。
7.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctan x ,（1）求A,B的值（2）求P{|X|<1} （3）X的密度函数。
8.设f(x) ={x2−x0<x<11≤x<2其它为随机变量X的密度函数，求X的分布函数。
9.设随机变量X的分布律Y=2X+1，Z=X2，分别求Y，Z。
10.设随机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布，Y=e2X，求Y的概率密度。
11.设随机变量X服从参数2的指数分布，Y=1-e−2X，求Y的概率密度。
随机变量及其分布列经典例题
随机变量及其分布列典型例题【知识梳理】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：为离散型随机变量X P(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=ni ip．三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X若随机变量X 并称p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.三．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )n －k，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．易得二项分布的分布列如下;【典型例题】题型一、随机变量分布列的性质【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为____.题型二、随机变量的分布列【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【例4】安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.。
随机变量及其分布列经典例题(高三数学一轮复习试题)
随机变量及其分布列典型例题1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为_________2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为________3.设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y ＝2X ＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列.4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．5、安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．6、一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．7、从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．8、甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．9．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．10、某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.12.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.13.有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.。
随机变量及其分布例题和知识点总结
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握随机变量及其分布对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解相关知识点。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点对应到一个实数。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
例如，抛一枚硬币，出现正面记为 1，出现反面记为 0，这里定义的变量就是一个离散型随机变量。
二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。
常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
例题 1：一批产品的次品率为 01，从中有放回地抽取 10 次，每次取一件，求抽到次品数 X 的概率分布。
解：这是一个二项分布问题，其中 n ＝ 10，p ＝ 01。
P(X ＝ k) ＝ C(10, k) × 01^k × 09^（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10知识点：二项分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) ，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。
例题 2：某商店每月销售某种商品的数量服从泊松分布，平均每月销售 5 件。
求每月销售 3 件的概率。
解：设每月销售的商品数量为 X，λ ＝ 5P(X ＝ 3) ＝（e^（－5) × 5^3) ／ 3!知识点：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ) × λ^k)／ k! ，其中λ 是平均发生的次数。
三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值是连续的区间。
常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布等。
例题 3：设随机变量 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，求 X 的概率密度函数。
解：概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，a ≤ x ≤ b ；f(x) ＝ 0 ，其他。
随机变量及分布列习题
随机变量及分布列1．已知随机变量()20,X N σ~;若(2)P X a <=;则(2)P X >的值为 A.12a - B. 2a C. 1a - D. 12a+ 2．已知随机变量;若;则的值为A. 0.4B. 0.2C. 0.1D. 0.6 3．已知;;则的值为 A. 10 B. 7 C. 3 D. 64．集装箱有标号为1;2;3;4;5;6且大小相同的6个球;从箱中一次摸出两个球;记下号码并放回;如果两球号码之积是4的倍数;则获奖.若有4人参与摸奖;恰好有3人获奖的概率是 A.B.C.D.5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干;其中标号为0的小球为1个;标号为1的小球2个;标号为2的小球2个.从袋中任取两个球;已知其中一个的标号是1;则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布;;则__________． 7．某人通过普通话二级测试的概率是;他连线测试3次;那么其中恰有1次通过的概率是 A. B. C.D.8．从1;2;3;4;5;6;7中任取两个不同的数;事件为“取到的两个数的和为偶数”;事件为“取到的两个数均为奇数”;则A. B. C. D.9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析;决定从全班25位女同学; 15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析.Ⅰ如果按性别比例分层抽样;求样本中男生、女生人数分别是多少；Ⅱ随机抽取8位同学;数学成绩由低到高依次为： 6065707580859095，，，，，，，；物理成绩由低到高依次为： 7277808488909395，，，，，，，;若规定90分含90分以上为优秀;记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数;求ξ的分布列和数学期望.10．某品牌汽车的4S 店;对最近100份分期付款购车情况进行统计;统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车;若顾客分3期付款;其利润为1万元；分6期或9期付款;其利付款方式 分3期 分6期 分9期分12期频数2020事件A ：“至多有1位采用分6期付款“的概率()P A ；2按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人;再从抽取的5人中随机抽取3人;记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η;求η的分布列和数学期望()E η.11．某公司有,,,,A B C D E 五辆汽车;其中,A B 两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D 两辆汽车的车牌尾号均为2;E车的车牌尾号为6;已知在非限行日;每辆车可能出车或不出车;,,A B E三辆汽车每天出车的概率均为12;,C D两辆汽车每天出车的概率均为23;且五辆汽车是否出车相互独立;该公司所在地区汽车限行规定如下：车牌尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五1求该公司在星期一至少有2辆汽车出国的概率；2设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和;求X的分布列及期望.12．拖延症总是表现在各种小事上;但日积月累;特别影响个人发展．某校的一个社会实践调查小组;在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中;随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计;得到如下22⨯列联表：有明显拖延症无明显拖延症合计男352560女301040合计6535100Ⅰ按女生是否有明显拖延症进行分层;已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷;现从这8份问卷中再随机抽取3份;并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X;试求随机变量X的分布列和数学期望；Ⅱ若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关;那么根据临界值表;最精确的P的值应为多少请说明理由．附：独立性检验统计量()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++;其中n a b c d=+++．独立性检验临界值表：0．250．150．100．050．0251．3232．0722．7063．8415．02413．某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库;其中3个是新题库即没有用过的题库;3个是旧题库即至少用过一次的题库;每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.1设2016年期末考试时选到的新题库个数为;求的分布列和数学期望；2已知2016年时用过的题库都当作旧题库;求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．14．某市举行的“国际马拉松赛”;举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动;抽奖盒中装有6个大小相同的小球;分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志;摇匀后;参加者每次从盒中同时抽取两个小球取出后不再放回;若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取;第一次取球就抽中获一等奖;第二次取球抽中获二等奖;第三次取球抽中获三等奖;没有抽中不获奖．活动开始后;一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球;不都是‘美丽绿城行’标志的概率是1求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；2若用表示这位参加者抽取的次数;求的分布列及期望．15．为创建全国文明城市;某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名;按年龄作分组如下：20;25 ; 25;30 ; 30;35; 35;40 ; 40;45 ;并得到如下频率分布直方图.Ⅰ求图中的值;并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在30.40的人数；Ⅱ在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制;再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历;记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为;求的分布列及数学期望.16．一家医药研究所;从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物;经试验;服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段;每个试用组由4位该病毒的感染者组成;其中2人试用甲种抗病毒药物;2人试用乙种抗病毒药物;如果试用组中;甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数;则称该组为“甲类组”. 1求一个试用组为“甲类组”的概率；2观察3个试用组;用表示这3个试用组中“甲类组”的个数;求的分布列和数学期望.17．某班为了提高学生学习英语的兴趣;在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛;比赛分为预赛和决赛2个阶段;预赛为笔试;决赛为说英语、唱英语歌曲;将所有参加笔试的同学成绩得分为整数;满分100分进行统计;得到频率分布直方图;其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1;落在的人数为12人． Ⅰ求此班级人数；Ⅱ按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛;已知甲乙两位选手已经取得决赛资格;参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．i 甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；ii 记甲乙二人排在前三位的人数为;求的分布列和数学期望． 18．2017年1月1日;作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间;为了活跃气氛;主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查;统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况;具体数据如图表：1根据条件完成下列22⨯列联表;并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关愿意不愿意总计男生 女生 总计2水上挑战项目共有两关;主办方规定：挑战过程依次进行;每一关都有两次机会挑战;通过第一关后才有资格参与第二关的挑战;若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为12;记甲通过的关数为X ;求X的分布列和数学期望. 参考公式与数据：0.1 0.05 0.025 0.012.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中;甲、乙两班各有6名选手参赛;在第一轮笔试环节中;评委将他们的笔试成绩作为样本数据;绘制成如图所示的茎叶图;为了增加结果的神秘感;主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩;知识告知大家;如果某位选手的成绩高于90分不含90分;则直接“晋级”． 1求乙班总分超过甲班的概率；2主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分;乙班第六位选手的得分是97分; ①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个;记抽取到“晋级”选手的总人数为;求的分布列及数学期望．20．一个袋中装有大小相同的球10个;其中红球8个;黑球2个;现从袋中有放回地取球;每次随机取1个.求：1连续取两次都是红球的概率；2如果取出黑球;则取球终止;否则继续取球;直到取出黑球;取球次数最多不超过4次;求取球次数的概率分布列及期望.21．甲乙两人下棋比赛;规定谁比对方先多胜两局谁就获胜;比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛.比赛过程中;每局比赛甲获胜的概率为;乙获胜的概率为;每局比赛相互独立.求：1比赛两局就结束且甲获胜的概率；2恰好比赛四局结束的概率；3在整个比赛过程中;甲获胜的概率.22．若随机变量()22,3X N ~;且()()1P X P X a ≤=≥;则()521x a ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数是__________．23．在某项测试中;测量结果服从正态分布;若;则__________．24．某班有50名学生;一次数学考试的成绩ξ服从正态分布;已知;估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.25．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N25;0.032;为使该厂生产的产品有95%以上的合格率;则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________． 26．已知正态总体的数据落在区间－3;－1里的概率和落在区间3;5里的概率相等;那么这个正态总体的数学期望为________．27．若随机变量ξ的分布列如下表：ξ 0 1 x Pp且Eξ＝1.1;则Dξ＝________．28．设p 为非负实数;随机变量X 的概率分布为X 01 2 Pp则EX 的最大值为_______;DX 的最大值为_____．29．12个同类型的零件中有2个次品;抽取3次进行检验;每次抽取一个;并且取出不再放回;以ξ表示取出次品的个数;则ξ的期望值()E ξ= ．参考答案1．A解析由题意有正态密度函数的图象关于直线0x =对称;正态密度函数的图象与x 轴围成的面积为1;所以有()1(2)(2)12P X P X a >=<-=-;选A . 2．B 解析 ..故选B..3．A 解析由题意得 ..故选A..4．B解析获奖的概率为;记获奖的人数为 ; ;所以4人中恰好有3人获奖的概率为;故选B.5．解析记“一个标号是 ”为事件 ;”另一个标号也是”为事件 ;所以 ..6．解析依题意有.7．A解析次独立重复实验;恰好发生一次的概率为.点睛：本题主要考查独立重复试验和二项分布的知识.独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的;各次之间相互独立的一种试验;在这种试验中每一次试验只有两种结果;即要么发生;要么不发生;且任何一次试验中发生的概率都是一样的．二项分布在次独立重复试验中;设事件发生的次数为;在每次试验中事件发生的概率为;那么在次独立重复试验中;事件恰好发生次的概率为;此时称随机变量服从二项分布;记作;并称为成功概率．8．C 解析 事件“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：事件 “取到的两个数均为奇数”所包含的基本事件有;故选C.9．Ⅰ5;3；Ⅱ详见解析.解析试题分析：Ⅰ利用分层抽样的特点等比例抽样进行求解；Ⅱ写出随机变量的所有可能取值;利用排列组合知识求出每个变量所对应的概率;列表得到分布列;进而求出期望值. 试题解析：Ⅰ抽取女生数25×8=540人;男生数158340⨯= II ξ的所有可能取值为012，，()26568820056A A P A ξ===; ()111623568830156C C C A P A ξ===; ()2636886256A A P A ξ=== ξ的分布列为10．1125; 2所以随机变量η的分布列为5 6 7∴()50.360.470.36E η=⨯+⨯+⨯=万元.解析试题分析1依据题设运用二项分布公式求解；2借助题设求出随机变量的分布列;再依据数学期望公式分析求解：1由题意; 1000.440a =⨯=; 10020204020b =---=;则表中分6期付款购车的顾客频率15p =;所以()()()323111211125P A p C p =-+-=.2按分层抽样的方式抽取的5人中;有1位分3期付款;有3位分6期或9期付款;有1位分12期付款. 随机变量η可能取的值是5;6;7; 则()113253·3510C C P C η===; ()113253·3710C C P C η==; ()()()4615710P P P ηηη==-=--=;所以随机变量η的分布列为∴()50.360.470.36E η=⨯+⨯+⨯=万元即为所求.11．189；2见解析． 解析试题分析：1记事件A “该公司在星期一至少有2辆车出车”;利用独立重复试验的概率的乘法;转化求解即可；2X 的可能取值为0,1,2,3,4,5;求出概率;得到分布列;然后求解期望即可.试题解析：1记事件a “该公司在星期一至少有2辆车出车”;则()323231132111111213481123232337272729p A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2X 的可能取值为0;1;2;3;4;5()0123457272727272726E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12．Ⅰ()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=; Ⅱ0.10P =．解析试题分析:Ⅰ分层从 “无有明显拖延症”里抽810240⨯=人．无明显拖延症的问卷的份数为X ;随机变量X=0;1;2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；Ⅱ根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得2K 的观测值k ;即可得出．试题解析:Ⅰ女生中从“有明显拖延症”里抽830640⨯=人;“无有明显拖延症”里抽810240⨯=人． 则随机变量0,1,2X =;∴()3638C 50C 14P X ===; ()216238C C 151C 28P X ===; ()126238C C 32C 28P X ===． X 的分布列为：12()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=． Ⅱ由题设条件得()2210035102530 2.93060406535K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;由临界值表可知： 2.706 2.930 3.841<<;∴0.10P =．点晴：本题考查的是超几何分布和独立性检验问题.Ⅰ要注意区分是超几何分布还是二项分布;分层从 “无有明显拖延症”里抽810240⨯=人．无明显拖延症的问卷的份数为X =0;1;2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；Ⅱ根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得2K 的观测值k ;即可得出． 13．Ⅰ;分布列见解析Ⅱ解析试题分析：Ⅰ先确定随机变量所有可能取值;再分别求对应概率;列表可得分布列;最后根据数学期望公式求期望;Ⅱ按2016年时用过的题库分类讨论: 2016年期末考试时取到0个新题库时;2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率; 2016年期末考试时取到1个新题库时;2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率; 2016年期末考试时取到2个新题库时;2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率;再根据2016年期末考试时取到个新题库对应概率可得所求概率为.试题解析：Ⅰ的所有可能取值为0;1;2; 设“2016年期末考试时取到个新题库即”为事件．又因为6个题库中;其中3个是新题库;3个是旧题库;所以；；;所以的分布列为012P的数学期望为．Ⅱ设“从6个题库中任意取出2个题库;恰好取到一个新题库”为事件;则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件;而事件互斥;所以．所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”;即判断随机变量的所有可能取值;以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”;即利用排列组合、枚举法、概率公式常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式;以及对立事件的概率公式等;求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”;即按规范形式写出分布列;并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”;一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值;对于有些实际问题中的随机变量;如果能够断定它服从某常见的典型分布如二项分布X～Bn;p;则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式EX＝np求得.因此;应熟记常见的典型分布的期望公式;可加快解题速度.14．1；2详见解析.解析试题分析：1运用古典概型的计算公式及对立事件的概率公式求解；2依据题设条件借助随机变量的分布列与数学期望公式进行计算求解：试题解析：解：1设印有“美丽绿城行”的球有个;同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件;则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是;由对立事件的概率：.即;解得.2由已知;两种球各三个;故可能取值分别为1;2;3;;;.则的分布列为：所以.15．Ⅰ;人；Ⅱ见解析.解析试题分析：I根据频率分布直方图中矩形面积和为;求得;然后利用相应公式计算相应组中抽取人数；II先确定各组人数;根据题意可得的所有可能取值为0;1;2;3;依次求出概率即可.试题解析：Ⅰ因为小矩形的面积等于频率.所以;求得.所以这600名志愿者中;年龄在30;40人数为人.Ⅱ用分层抽取的方法从中抽取10名志愿者;则年龄低于35岁的人数有人;年龄不低于35岁的人数有人.依题意;的所有可能取值为0;1;2;3;则;.所以X的分布列为P0123X数学期望为.16．1；2详见解析.解析试题分析：1依据题设条件运用分类计数原理求解；2求出随机变量的分布列;再运用随机变量的数学期望公式求解：试题解析：解：1设表示事件“一个试用组中;服用甲种抗病毒药物有效的有人”;；表示事件“一个试用组中;服用乙种抗病毒药物有效的有人”;.依题意有;;;;所求的概率为.2的可能值为0;1;2;3;其分布列为∵;∴数学期望.17．I；IIi；ii分布列见解析;期望为 .解析试题分析：1借助频率分布直方图中的有效信息进行求解：2依据题设条件运用古典概型的计算公式及数学期望的求解公式进行求解：试题解析：解：Ⅰ落在区间的频率是;所以人数．Ⅱ由Ⅰ知;参加决赛的选手共6人;i设“甲不在第一位;乙不在最后一位”为事件;则;所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为．ii随机变量的可能取值为0;1;2;;;;随机变量的分布列为：因为;所以随机变量的数学期望为1．18．1见解析;2X012.K≈<解析试题分析：1根据比例确定人数;填入对应表格;再根据卡方公式计算2 6.593 6.635;最后对照数据判断结论不成立;2先确定随机变量可能取法0;1;2;再分别计算对应概率可利用对立事件概率求法求较复杂事件的概率;列表可得分布列;最后根据数学期望公式求期望.试题解析：愿意不愿意总计男生154560女生202040总计3565100则不能认为在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关.2记男生甲第i次通过第一关为()1,2i A i =;第i次通过第二关为()1,2i B i =;的可能取值为0;1;2.;;∴()1931141616P X ==--= ;的分布列为：0 1 2 ∴139210124161616EX =⨯+⨯+⨯= .19．1；2见解析.解析试题分析：1先分别求出甲班前 位选手的总分和乙班前 位选手的总分;由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率． 2①分别求出甲、乙两班平均分和方差;由此能求出甲班选手间的实力相当;相差不大;乙班选手间实力悬殊;差距较大．②ξ的可能取值为;;;;;分别求出相应的概率;由此能求出的分布列和． 试题解析：1甲班前5位选手的总分为;乙班前5位选手的总分为;若乙班总分超过甲班;则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为;;三种．所以;乙班总分超过甲班的概率为． 2①甲班平均分为; 乙班平均分为; ;． 两班的平均分相同;但甲班选手的方差小于乙班;所以甲班选手间的实力相当;相差不大;乙班选手间实力悬殊;差距较大．②的可能取值为;;;;;；；；；．∴的分布列为：0 1 2 3 4∴.20．1；2.解析试题分析1有放回取;可看作独立重复试验;即每次取出是红球概率一样;都为;再根据概率乘法公式得连续取两次都是红球的概率；2先确定随机变量取法;再分别求对应概率;列表可得分布列;最后根据期望公式求数学期望.试题解析：1连续取两次都是红球的概率.2的可能取值为1;2;3;4;;;;.的概率分布列为1234.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”;即判断随机变量的所有可能取值;以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”;即利用排列组合、枚举法、概率公式常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式;以及对立事件的概率公式等;求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”;即按规范形式写出分布列;并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”;一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值;对于有些实际问题中的随机变量;如果能够断定它服从某常见的典型分布如二项分布X～Bn;p;则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式EX＝np求得.因此;应熟记常见的典型分布的期望公式;可加快解题速度.21．1；2；3.解析试题分析：1根据独立事件同时发生的概率公式求解；2前两局甲乙各胜一局;最后两局甲胜或最后两局乙胜分两种情况求概率和即可；3求出各种情况下甲获胜的概率;然后求和即可.试题解析：1由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜;概率为；2由题意知前两局比赛为平手;第三、第四局比赛为同一个人胜;其概率为；3由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手;第三、第四比赛两人也为平手;第五、第六局都为甲获胜;或者在第一、第二局比赛两人为平手;第三、第四局比赛两人也为平手;第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜.其概率为.考点：概率的综合应用.22．1620解析因为随机变量()22,3X N ~;且()()1P X P X a ≤=≥;所以12,32a a +==; ()()55221133x a ax x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;展开式只有()23x +中含x 的项与 513x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含2x 的项的积合题意;展开式中3x 项的系数是235631620C ⨯⨯=;故答案为1620. 23．0.6 解析由题设可知是对称轴;依据正太分布概型的对称性质可得;应填答案..24．解析由题意可知;所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为50×0.14=4人.故填7.答案 24.94;25.06解析正态总体N25;0.032在区间25－2×0.03;25＋2×0.03取值的概率在95%以上;故该厂生产的零件尺寸允许值的范围为24.94;25.06． 考点：正态分布.26．1解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等;说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外;因为区间－3;－1和区间3;5的长度相等;说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间－3;－1和区间3;5关于直线x ＝1对称;所以正态分布的数学期望是1.考点：正态分布.27．0.49解析由分布列性质得：13115102p ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭;Eξ＝0×15＋1×12＋x×310＝1.1; 解得x ＝2;∴Dξ＝0－1.12×15＋1－1.12×12＋2－1.12×310＝0.49. 考点：期望与方差的运算. 28．32；1 解析EX ＝0×12p ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1×p＋2×12＝p ＋1;∵0≤12－p≤12;0≤p≤12;∴EX≤32;DX ＝p ＋12·12p ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋p 2·p ＋p －12×12＝－p 2＋1－p ＝21524p ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≤1. 考点：期望与方差的运算.29．12解析取出次品的个数可能为0、1、2;03210312C C 6(0)C 11P ξ===;12210312C C (1)C P ξ== 922=;21210312C C 1(2)C 22P ξ===;则()E ξ=69110121122222⨯+⨯+⨯=. 考点：超几何分布的期望.。
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第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．142．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．343．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.284．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.1257．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.411．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.614.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.556415．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．14[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．34[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3b ＝0.5.所以a －b ＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2，P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. [答案] A二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：254.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，1203373731049()60C C C C P A C346310()(0,1,2,3)k k c c p xk k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.随机变量X 的分布列为数学期望01236210305E X ．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝74.3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24C 35＝35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝325，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝1950， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325，∴X 的分布列为E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.114.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A－B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。
选修2-3第二章随机变量及其分布列训练(2)
选修2-3第二章随机变量及其分布列训练(2) 1．已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)：A．P(X<2)＝0.7 B．P(X≥2)＝0.6C．P(X≥3)＝0.3 D．P(X≤1)＝0.2解析：由分布列性质，易知a＝0.1，所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3.答案：C2．若随机变量X的分布列为：则当P(A．(－∞，2] B．[1，2]C．(1，2] D．(1，2)解析：由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．答案：C3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )甲 乙A.116B.18C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C4．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是( )A.320B.15C.25D.920解析：法一 考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A ，“乙去某地”为事件B ，则至少1人去此地的概率为P ＝P (A )P (B —)＋P (A —)P (B )＋P (A )P (B )＝14×45＋34×15＋14×15＝25. 法二 考查对立事件：P ＝1－P (A —)P (B —)＝1－34×45＝25. 答案：C5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”的事件为( )A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4解析：第一次取到黑球，则放回1个红球，第二次取到黑球，则放回2个红球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X ＝6.答案：C二、填空题6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①某宾馆每天入住的旅客数量X；②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数X.解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．答案：②7．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定，每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.故答案为－300，－100，100，300.答案：－300，－100，100，3008．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品三、解答题9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．解：(1)因此η的取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．11．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是________．解析：当ξ＝5时，表示此人前4次未击中目标并进行了第5次的射击．答案：前四次未击中目标12．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局的球队，第6局一定获胜，共有C12·C35＝20(种)．答案：2013．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.解：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽到卡片号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．。
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随机变量及分布列1．已知随机变量()20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ）A.12a - B. 2a C. 1a - D. 12a+2．已知随机变量，若，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 64．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下并放回，如果两球之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D.5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布，，则__________．7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D.8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D.9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析.（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，；物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望.10．某品牌汽车的4S 店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A ：“至多有1位采用分6期付款“的概率()P A ；（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()E η.11．某公司有,,,,A B C D E 五辆汽车，其中,A B 两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D 两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，,,A B E三辆汽车每天出车的概率均为12，,C D两辆汽车每天出车的概率均为23，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出国的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及期望.12．拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．13．某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．14．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；（2）若用表示这位参加者抽取的次数，求的分布列及期望．15．为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20,25) , [25,30) , [30,35)， [35,40) , [40,45] ，并得到如下频率分布直方图.(Ⅰ)求图中的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数；(Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为,求的分布列及数学期望.16．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望.17．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．（Ⅰ）求此班级人数；（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．18．2017年1月1日，作为市打造“千园之城”27个示性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列22愿意不愿意总计男生女生总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为12，记甲通过的关数为X ，求X的分布列和数学期望.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，知识告知大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”．（1）求乙班总分超过甲班的概率；（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分， ①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望．20．一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个.求： （1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望.21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛.比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立.求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率.22．若随机变量()22,3X N ~，且()()1P X P X a ≤=≥，则()52x a ax⎛+ ⎝展开式中3x 项的系数是__________．23．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．24．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布,已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.25．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的围为________．26．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．27．若随机变量ξ的分布列如下表：ξ 01 xP15 p310且E （ξ）＝1.1，则D （ξ）＝________． 28．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为X 012P12p - p 12则E （X ）的最大值为_______，D （X ）的最大值为_____．29．12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值()E ξ=．参考答案1．A【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线0x =对称,正态密度函数的图象与x 轴围成的面积为1,所以有()1(2)(2)12P X P X a >=<-=-,选A . 2．B 【解析】。
故选B 。
3．A【解析】由题意得 。
故选A 。
4．B【解析】获奖的概率为 ，记获奖的人数为 ， ，所以4人中恰好有3人获奖的概率为 ，故选B. 5．【解析】记“一个标号是 ”为事件 ,”另一个标号也是”为事件 ，所以 。