必修一数学导数练习题

必修一数学导数练习题
一、基础题
1. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。

2. 求函数g(x) = 2x^2 + 4x 1的导数。

3. 求函数h(x) = (1/2)x^4 3x^2 + 2的导数。

4. 求函数k(x) = 3x^5 5x^3 + 2x的导数。

5. 求函数m(x) = (2/3)x^3 (4/5)x^2 + (1/2)x的导数。

二、应用题
1. 一物体做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为s = 3t^2 2t + 1，求物体在t=2秒时的瞬时速度。

2. 某企业生产一种产品，其成本函数为C(x) = 1000 + 5x^2，其中x为生产数量。

求生产100件产品时的边际成本。

3. 一辆汽车以v(t) = 4t^2 3t + 2（单位：米/秒）的速度行驶，求汽车在t=3秒时的加速度。

4. 某商品的需求函数为Q(p) = 100 p，其中p为商品价格。

求
当价格为30元时的需求弹性。

5. 已知某函数f(x)的导数为f'(x) = 6x^2 4x + 1，求f(x)的
一个原函数。

三、综合题
1. 设函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x，求f(x)在x=1处的切线方程。

2. 已知函数g(x) = e^x x^2，求g(x)的单调区间。

3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的极值。

4. 设函数k(x) = (1/2)x^4 (2/3)x^3 + x^2，求k(x)的拐点。

5. 已知函数m(x) = arcsin(x 1)，求m(x)的凹凸区间。

四、拓展题
1. 已知函数f(x) = x^4 4x^3 + 6x^2，求f(x)的二阶导数。

2. 设函数g(x) = (x^2 + 1)^3，求g(x)的三阶导数。

3. 已知函数h(x) = sin(x) + cos(x)，求h(x)的四阶导数。

4. 设函数k(x) = e^(2x) 2e^x，求k(x)的五阶导数。

5. 已知函数m(x) = ln(x^2 + 2x + 2)，求m(x)的六阶导数。

五、三角函数与导数
1. 求函数f(x) = sin(x) cos(x)的导数。

2. 求函数g(x) = tan^2(x)的导数。

3. 求函数h(x) = cot(x) + ln(sin(x))的导数。

4. 求函数k(x) = sec(x) csc(x)的导数。

5. 求函数m(x) = sin^3(x) + cos^3(x)的导数。

六、复合函数导数
1. 设函数f(x) = (x^2 + 1)^5，求f'(x)。

2. 已知函数g(x) = e^(3x^2 2x)，求g'(x)。

3. 求函数h(x) = ln(sqrt(x^2 + 1))的导数。

4. 设函数k(x) = (1 + x^2)^(1/2)，求k'(x)。

5. 已知函数m(x) = (x^3 x)^4，求m'(x)。

七、隐函数与参数方程导数
1. 已知y = x^3 + 3xy^2，求dy/dx。

2. 设x = cos(t)，y = sin(t)，求dy/dx。

3. 已知x = e^t，y = e^(2t)，求dy/dx。

4. 设x = t^2，y = t^3 3t，求dy/dx。

5. 已知x = 2cos(θ)，y = 3sin(θ)，求dy/dx。

八、高阶导数
1. 求函数f(x) = x^4 2x^3 + x^2的一阶导数和二阶导数。

2. 求函数g(x) = e^(2x)的一阶导数、二阶导数和三阶导数。

3. 已知函数h(x) = ln(x)，求h''(x)。

4. 设函数k(x) = sin(2x)，求k''(x)。

5. 已知函数m(x) = arctan(x)，求m'''(x)。

九、实际应用问题
1. 一质点在直线上的运动方程为s = t^3 3t^2 + 2t，求t=1秒时的瞬时速度和加速度。

2. 某商品的成本函数为C(x) = 100 + x^2，求生产40件商品时的边际成本和平均成本。

3. 一企业利润函数为P(x) = x^3 + 3x^2 + 12x，求利润最大时的产量x。

4. 已知某水库的水位h（单位：米）与时间t（单位：小时）的关系为h = 2t^2 3t + 4，求t=2小时时的水位上升速度。

5. 一条河流的流速v（单位：米/秒）与距离岸边x（单位：米）的关系为v = 5 x^2，求距离岸边3米处的流速变化率。

答案
一、基础题
1. f'(x) = 3x^2 3
2. g'(x) = 4x + 4
3. h'(x) = 2x^3 6x
4. k'(x) = 15x^4 15x^2
5. m'(x) = 2x^2 (8/5)x + (1/3)
二、应用题
1. v(2) = 12米/秒
2. 边际成本 = 1000元/件
3. a(3) = 24米/秒^2
4. 需求弹性 = 0.5
5. 一个原函数为F(x) = x^4/4 x^3 + x^2 + C（C为常数）
三、综合题
1. 切线方程：y (1) = 0(x 1)，即y = 1
2. 单调增区间为(0, +∞)，单调减区间为(∞, 0)
3. 极大值h(0) = 0
4. 拐点为(0, 0)和(1, 1/2)
5. 凹区间为(1, 1)，凸区间为(∞, 1)和(1, +∞)
四、拓展题
1. f''(x) = 12x^2 24x + 12
2. g'''(x) = 24(x^2 + 1)^2x
3. h''''(x) = sin(x) cos(x)
4. k'''''(x) = 80e^(2x)
5. m''''''(x) = 240/(x^2 + 2x + 2)^6
五、三角函数与导数
1. f'(x) = cos(x) + sin(x)
2. g'(x) = 2tan(x)sec^2(x)
3. h'(x) = csc^2(x) + cot(x)csc(x)
4. k'(x) = sec(x)tan(x) + csc(x)cot(x)
5. m'(x) = 3sin^2(x)cos(x) 3cos^2(x)sin(x)
六、复合函数导数
1. f'(x) = 10x(x^2 + 1)^4
2. g'(x) = (6x 2)e^(3x^2 2x)
3. h'(x) = x / (x^2 + 1)
4. k'(x) = x / (x^2 + 1)^(3/2)
5. m'(x) = 4(x^3 x)^3(3x^2 1)
七、隐函数与参数方程导数
1. dy/dx = (1 6xy^2) / (3x^2 1)
2. dy/dx = 1
3. dy/dx = 2e^t
4. dy/dx = 3t^2 3
5. dy/dx = 3/2
八、高阶导数
1. f'(x) = 4x^3 6x^2 + 2x，f''(x) = 12x^2 12x + 2
2. g'(x) = 2e^(2x)，g''(x) = 4e^(2x)，g'''(x) = 8e^(2x)
3. h''(x) = 1/x^2
4. k''(x) = sin(2x)
5. m'''(x) = 8(x^2 + 1)^(5/2)
九、实际应用问题
1. 瞬时速度v(1) = 2米/秒，加速度a(1) = 4米/秒^2
2. 边际成本 = 80元/件，平均成本 = 100 + 40^2 / 40 = 140元/件
3. 利润最大时的产量x = 1
4. 水位上升速度 = 10米/小时
5. 流速变化率 = 6米/秒^2。