北师大版数学高二 必修5一元二次不等式 第1课时 一元二次不等式的解法

【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 2 一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式的解法同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．不等式(x ＋3)(1－x )≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥3或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |－3≤x ≤1} D ．{x |x ≤－3或x ≥1}
[答案] D
[解析] (x ＋3)(1－x )≤0⇔(x ＋3)(x －1)≥0⇔x ≤－3或x ≥1，∴选D. 2．不等式12x ≥4x 2
＋9的解集为( ) A ．∅ B ．R C ．{x |x ＝3
2}
D ．{x |x ≠3
2
}
[答案] C
[解析] 原不等式化为4x 2
－12x ＋9≤0， 即(2x －3)2
≤0，∴原不等式的解集为{x |x ＝32}．
3．不等式x 2
－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1)
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(1,2) [答案] D
[解析] 原不等式化为(x －1)(x －2)<0， 解得1<x <2.
因此不等式解集为(1,2)．
4．集合M ＝{x |x 2
－3x －4≥0}，N ＝{x |1<x <5}，则集合(∁R M )∩N ＝( ) A ．(1,4) B ．(1,4] C ．(－1,5] D ．[－1,5]
[答案] A
[解析] 由x 2
－3x －4≥0得(x ＋1)(x －4)≥0， ∴x ≥4或x ≤－1， ∴M ＝{x |x ≥4或x ≤－1}，
∴∁R M ＝{x |－1<x <4}，而N ＝{x |1<x <5}， ∴(∁R M )∩N ＝{x |1<x <4}．
5．一元二次不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )
A ．10
B ．－10
C ．14
D ．－14
[答案] D
[解析] 由题意知，－12，13是方程ax 2
＋bx ＋2＝0的两个根，
由韦达定理⎩⎪⎨
⎪⎧
－12＋13＝－b a
，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝2
a 解得a ＝－12，
b ＝－2，
所以a ＋b ＝－14.
6．若0<t <1，则不等式(x －t )(x －1
t
)<0的解集为( )
A ．{x |1
t
<x <t }
B ．{x |x >1
t
或x <t }
C ．{x |x <1
t
或x >t }
D ．{x |t <x <1
t
}
[答案] D
[解析] ∵0<t <1，∴1t >1，∵(x －t )(x －1t )<0，∴t <x <1
t
，故选D.
二、填空题
7．若集合A ＝{x |x 2
－2x －3>0}，B ＝{x |x 2
＋ax ＋b ≤0}．且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}．则a ＝________，b ＝________.
[答案] －3，－4
[解析] A ＝{x |x >3或x <－1}， ∵A ∪B ＝R ，
A ∩
B ＝{x |3<x ≤4}，
∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，
∴－1,4是方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两根． ∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4.
8．若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2
＋px ＋q <0的解集相同，则p q
＝________. [答案]
127
[解析] 由－4<2x －3<4，得－12<x <7
2.
由题意，得72－12＝－p ，(－12)×7
2
＝q ，
∴p q ＝12
7
. 三、解答题
9．解下列关于x 的不等式： (1)(5－x )(x ＋1)≥0； (2)－4x 2
＋18x －814≥0；
(3)－12x 2
＋3x －5>0；
(4)－2x 2
＋3x －2<0.
[解析] (1)原不等式化为(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5.
∴故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (2)原不等式化为4x 2
－18x ＋81
4
≤0， 即(2x －92)2≤0，∴x ＝9
4
.
故所求不等式的解集为{x |x ＝9
4}．
(3)原不等式化为x 2－6x ＋10<0， 即(x －3)2
＋1<0，显然不等式无解． 故所求不等式的解集为∅. (4)原不等式化为2x 2
－3x ＋2>0， 即2(x －34)2＋7
8>0.
∴x ∈R .
故所求不等式的解集为R .
10．若不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2
＋2ax －c －3b <0的解集．
[解析] ∵ax 2
＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}， ∴a <0且－3和4是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两根，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧－3＋4＝－b a
－3×4＝
c
a
，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧b＝－a
c＝－12a
.
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为
－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，
∴－3<x<5，
∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}.
一、选择题
1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；
②x2－25x＋5>0；
③x2＋6x＋10>0；
④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．①B．②C．③D．④[答案] C
[解析]①④显然不可能．
②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R.
③中Δ＝62－4×10<0.故选C.
2．函数y＝log
1
2
x2－1的定义域是( ) A．[－2，－1)∪(1，2]
B．[－2，－1)∪(1，2)
C．[－2，－1)∪(1,2]
D．(－2，－1)∪(1,2)
[答案] A
[解析]∵log
1
2
(x2－1)≥0，∴0＜x2－1≤1，
∴1＜x2≤2，
∴1＜x ≤2或－2≤x ＜－1.
3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥9
2}
B ．{x |－1≤x ≤9
2}
C ．{x |x ≤－9
2或x ≥1}
D ．{x |－9
2
≤x ≤1}
[答案] D
[解析] 因为不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2
＋7x －9≤0，分解因式，得(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－9
2
≤x ≤1，所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是
{x |－9
2
≤x ≤1}．故选D.
4．x ＝2是方程x 2
＋kx ＋2＝0的一根，则不等式x 2＋kx ＋2<0的解集为( ) A ．{x |x ≠2} B ．{x |1<x <2} C ．{x |x <1或x >2} D ．∅
[答案] B
[解析] 方程x 2
＋kx ＋2＝0的一根为x ＝2，则由根与系数关系知另一根为1，所以x 2
＋kx ＋2<0的解集为
{x |1<x <2}． 二、填空题
5．不等式 ax 2
＋bx ＋3>0的解集为{x |x >3或x <1}，则a －b 等于________． [答案] 5
[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
－b a
＝43
a ＝3
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1
b ＝－4.
∴a －b ＝5.
6．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x
)>0的解集为
________．
[答案] {x |x <－lg2}
[解析] 由条件知f (x )>0的解集为{x |－1<x <1
2}，
又已知f (10x
)>0，
∴－1<10x <1
2
，∴x <－lg2.
三、解答题
7．解关于x 的不等式4≤x 2
－3x －6≤2x ＋8. [解析] 原不等式可化为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－3x －6≥4x 2
－3x －6≤2x ＋8，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －10≥0x 2
－5x －14≤0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥5或x ≤－2－2≤x ≤7，
解得5≤x ≤7或x ＝－2.
∴原不等式的解集为{x |5≤x ≤7或x ＝－2}． 8．解关于x 的不等式：56x 2
－ax －a 2
>0. [解析] 56x 2
－ax －a 2
＞0可化为 (7x －a )(8x ＋a )＞0， ①当a ＞0时，－a 8＜a
7，
∴x ＞a 7或x ＜－a
8；
②当a ＜0时，－a 8＞a
7，
∴x ＞－a 8或x ＜a
7；
③当a ＝0时，x ≠0.
综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |x >a 7或x <－a
8}，
当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}， 当a <0时，原不等式的解集为{x |x >－a 8或x <a
7}．。