北京市101中学20092010学年下学期初二年级

北京市101中学2009-2010学年下学期初二年级期末考试数学试卷
（考试时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题：本大题共8小题，共32分。

（下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填在相应的位置上）。

1. 下列各式中正确的是（ ） A. 532=+ B. 3232=+ C.
169169⨯=⨯
D.
236=÷
2. 把18化成最简二次根式，结果为（ ） A. 32
B. 36
C. 23
D. 29
3. 一元二次方程04x 3x 2=+-的根的情况是（ ） A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 有一个实数根
4. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，各班平均分和方差分别为
190
S ,245S ,82x ,82x 2
2====乙甲乙甲，那么成绩比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样整齐
D. 无法确定
5. 在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，82，72，82，81，81，79，83，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A. 81，81.5
B. 81，81
C. 82，82
D. 82，77
6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 四条边相等的四边形是正方形
D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
7. 如图，菱形ABCD 中，∠A ＝30°，AD=2，若菱形FBCE 与菱形ABCD 关于BC 所在直线对称，连接AF ，则线段AF 的长等于（ ）
A.
2 B.
3 C. 2 D. 4
8. 小明将一张正方形包装纸剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示，小明所用正方形包装纸的边长至少．．
为（ ） A. 40
B. 220
C. 2230+
D. 21010+
二、填空题：本大题共8小题，共24分。

（请将答案填在相应的位置上） 9. 函数4x y -=中，自变量x 的取值范围是________。

10. 已知实数x 、y 满足0)3y (1x 2=-++，则代数式y x 2+＝_______。

11. 据统计2008年我国手机年产量为5000万台，预计2010年手机年产量将达到9800万台，设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，则可列方程____________。

12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝_______cm 。

13. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与短边的和为15cm ，则短边的长为_______cm 。

14. 若一个等腰三角形的两边长分别是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，则此三角形的周长为__________。

15. 已知关于x 的一元二次方程02k kx x 2=++-有两个相等的实根，则代数式8k 8k 22+-的值为________。

16. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝BC ＝1，过斜边的中点，作斜边的垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时最后这个直角三角形的斜边长为__________。

三、解答题：本大题共9小题，共64分。

17. （本题6分）计算：01
)18(311232--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+---。

18. （本题共12分，每小题6分）
解方程：（1）01x 4x 2=--；（2）0)3x (x 2)3x (2=-+-。

19. （本题6分）先化简，再求值：2
x x
1x 2x 4x 4x 4x 22--++÷+--，其中12x +=。

20. （本题6分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、DC 的中点。

求证：∠DEA ＝∠BFC 。

21. （本题6分）已知：关于x 的一元二次方程03m 2x )1m (x 2=-++-。

试判断这个方程根的情况，并说明理由。

22. （本题6分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝45°，∠ADC ＝120°，AD ＝DC ＝2，求AB 的长。

23. （本题7分）某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了如图所示的统计图。

请你根据统计图给出的信息回答：
（1）样本中的众数是__________万元，中位数是__________万元； （2）这20个家庭的年平均收入为__________万元；
（3）如果该地区共有2000个家庭，估计该地区所有家庭的年收入总和约为__________万元。

24. （本题7分）如图，AO=OB=50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁M 由A 点以2cm/s 的速度沿AB 向B 爬行，同时另一只蚂蚁N 由O 点以3cm/s 的速度沿OC 向C 爬行，当蚂蚁M 到达点B 时都停止爬行，是否存在这样的时刻t （s ），使得两只蚂蚁M 、N 与O 点组成的三角形的面积为450cm 2？如果存在，求出这个时刻；如果不存在，请说明理由。

25. （本题8分）在△ABC 中，点P 为BC 的中点。

（1）如图1，求证：)AC AB (2
1
AP +<
； （2）延长AB 到D ，使得BD=AC ，延长AC 到E ，使得CE=AB ，连结DE 。

①如图2，连结BE ，若∠BAC ＝60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：DE 2
1
BC ≥。

【试题答案】
一、选择题：本大题共8小题，共32分。

1. D 2. C 3. A 4. B 5. A 6. C 7. C 8. B 二、填空题：本大题共8小题，共24分。

9. 4x ≥ 10. 1
11. 9800)x 1(50002=+
12. 3
13. 5
14. 11或13 15. 24
16.
8
1 三、解答题：本大题共9小题，共64分。

17. （本题6分）原式＝334-。

18. （1）72x ,72x 21-=+= （2）1x ,3x 21== 19. 原式2
x 1
-=
， 当12x +=时，原式12+= 20. 证明：（略）
21. 因为044)3m (13m 6m 22>≥+-=+-==∆ 所以这个方程有两个不相等的实数根。

22. 6AB = 23. （1）1.3，1.2
（2）1.6
（3）3200
24. 答：存在使得两只蚂蚁M 、N 与O 点组成的三角形的面积为450cm 2的时刻，这个时刻为10s 或15s 或30s 。

25. 证明：（1）延长AP 至H ，使得PH=AP ，连结BH 、HC ，PH 。

∵BP=PC 。

∴四边形ABHC 是平行四边形。

∴AB=HC 。

在△ACH 中，AC HC AH +<。

AC AB AP 2+<∴，即)AC AB (2
1
AP +<
2分
（2）①答：BE ＝2AP 。

3分
证明：过B 作BH ∥AE 交DE 于H ，连结CH 、AH 。

∴∠1＝∠BAC ＝60°。

∵DB ＝AC ，AB ＝CE ，∴AD ＝AE ，
∴△AED 是等边三角形，∴∠D ＝∠1＝∠2＝∠AED ＝60°。

∴△BDH 是等边三角形。

4分
∴BD ＝DH ＝BH ＝AC 。

∴四边形ABHC 是平行四边形。

∵点P 是BC 的中点，
∴AH 、BC 互相平分于点P ，即AH ＝2AP 。

在△ADH 和△EDB 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=.DB DH ,D D ED ，AD
∴△ADH ≌△EDB 。

∴AH ＝BE ＝2AP 。

5分
②证明：分两种情况：
i ）当AB ＝AC 时，AB ＝AC ＝DB ＝CE 。

DE 2
1
BC =
∴。

6分
ii ）当AB ≠AC 时，
以BD 、BC 为一组邻边作平行四边形BDGC （如图4），
∴DB ＝GC ＝AC ，∠BAC ＝∠1，BC ＝DG 。

∵AB ＝CE 。

∴△ABC ≌△CEG 。

∴BC ＝EG ＝DG 。

在△DGE 中，DE GE DG >+。

∴DE BC 2>，即DE 2
1
BC >。

综上所述，DE 2
1
BC ≥。

8分。