2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_11

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
（含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算集合，集合，再求.
【详解】由，得，即，由，得，所以，所以，
所以.
故答案选B
【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.
2.已知，，，，则下列不等式中恒成立的是( )．
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
选项均可找到反例说明不恒成立；根据不等式的性质可知正确.
【详解】选项：若，，，，则，；此时，可知错误；
选项：若，则，可知错误；
选项：，则；若，则，可知错误；
选项：若，根据不等式性质可知，正确.
本题正确选项：
【点睛】本题考查不等式的性质，可采用排除法得到结果，属于基础题.
3.如图所示的是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为，，的正方形和一个直角三角形围成，现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算总面积，再计算阴影部分面积，相除得到答案.
【详解】图形总面积为：
阴影部分面积为：
概率为：
故答案选C
【点睛】本题考查了几何概型计算概率，意在考查学生的计算能力.
4.已知，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.
【详解】由对数函数的性质可得，
由指数函数的性质可得
，，
所以，故选A．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5.已知数列是等差数列，若，则（）
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质计算，再计算得到答案.
【详解】∵数列等差数列，∴，∴，
.
故答案选C
【点睛】本题考查了数列求和，利用等差数列性质可以简化运算.
6.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数为奇函数，排除AB，再通过特殊值排除D，得到答案.
【详解】为奇函数，排除A，B.
当时，排除D
故答案选C
【点睛】本题考查了函数的图像，利用奇偶性和特殊值可以简化运算.
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，
，，则（）
A. 30°
B. 45°
C. 150°
D. 45°或135°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理得到，通过大角对大边，排除一个得到答案.
【详解】由正弦定理得，即，∴.又，∴，∴.
故答案选B
【点睛】本题考查了正弦定理，没有排除多余答案是容易犯的错误.
8.已知正实数，满足，则的最小值为（）
A. 4
B. 6
C. 9
D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
变换展开利用均值不等式得到答案.
【详解】∵，，，∴
，当且仅当
时，即时取“”.
故答案选C
【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.
9.执行如图所示程序框图，输出的结果为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.
【详解】由图知输出的结果
．
故选D.
【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
10.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先通过数列性质判断，再通过数列的正负判断的最小值.【详解】∵等差数列中，，∴，即.又，∴的前项和的最小值为.
故答案选C
【点睛】本题考查了数列和的最小值，将的最小值转化为
的正负关系是解题的关键.
11.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵
坐标不变），所得图象对应的函数在区间上的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算变换后的函数表达式，再计算，得到值域.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的
，可得的图象，
∵，∴，
∴的最大值为1，最小值为.
故答案选D
【点睛】本题考查了三角函数的变换，值域，意在考查学生的
计算能力.
12.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.在生活中，我们也可以通过设计如下实验来估计的值：在区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中以原点为圆心，1为半径的圆的内部的数对共有78个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算，又由于频率为取相等得到的近似值.
【详解】根据几何概型公式知：
故答案选C
【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生解决问题的能力.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，若，则__________.【答案】
【解析】
【分析】
根据，计算，代入得到.
【详解】∵，∴，∴，∴.
故答案为
【点睛】本题考查了向量的计算，属于简单题.
14.若变量，满足约束条件则的最大值为__________.
【答案】16
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，通过平移得到最大值.
【详解】
由约束条件作出可行域如图所示，可化为
，当直线过点时，取最大值，即.
故答案为16
【点睛】本题考查了线性规划，求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
15.某市某年各月的日最高气温（℃）数据的茎叶图如图所示，若图中所有数据的中位数与平均数相等，则__________.
【答案】18
【解析】
【分析】
先计算数据的中位数为12,再利用平均值公式得到答案。

【详解】根据茎叶图：共有12个数，中位数为
平均数为：
故答案为18
【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，意在考查学生的计算能力.
16.若函数的定义域为，则函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算函数的定义域A，再利用换元法取化简为二次函数得到值域.
【详解】由，得，，
∴，∴.
令，则，
∴当时，；当时，.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数定义域和值域，属于常考题型.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在锐角中，，在边上，，，
的面积为14.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先计算，再利用面积公式得到答案.
（2）先计算，中，由余弦定理得到答案
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴.
（2）∵为锐角，
∴.
在中，由余弦定理得，
，
∴.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.
18.已知等差数列的前项和为，且，公差，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，公差，，，成等比数列，形成方程组，解得答案.
（2）根据，计算，得到，用裂项求和法得到答案.
【详解】（1）∵，，成等比数列，
∴，即，
∴，又，∴，
∴，
故.
（2）由（1）得，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.
19.为调查高中生对某活动的参与度，教委对，，，四所高中按各校人数采用分层抽样的方法抽取了100名学生，将调查情况整理后得到下表：
（1）在这100名学生中，随机抽取1名学生，求该学生没有参与该活动的概率；
（2）在这100名学生中，从，两所高中没有参与该活动的
学生中随机抽取2名学生，求，两所高中各有1名学生没有参与该活动的概率.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先计算参与该活动的概率，再用1减去得到答案.
（2）先计算，两所高中没有参与该活动的学生人数，再用排列组合公式计算得到答案.
【详解】（1）
（2）从，两所高中没有参与该活动的学生分别为3人和1人.
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.
20.在中，角，，的对边分别为，，，已知
.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理直接得到答案.
（2）利用余弦定理得到再利用均值不等式得到,代入面积公式得到最大值.
【详解】（1）由正弦定理及已知，得，∵，，∴.
∵，∴.
（2）由余弦定理，得，
即，
∴，
∴，
即面积的最大值为.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
21.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：
甲商场五天的销售情况
销售第
1
天
第天的
11
销量
（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；
（2）根据甲商场这五天的销售情况，求与的回归直线方程.
参考公式：
回归直线方程中，，.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平均值公式计算平均值.
（2）根据公式计算回归直线方程.
【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：
（2）
回归方程为：
【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力.
22.已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算得证，再利用等比数列公式得到.（2）根据（1），进而证明：
【详解】（1）解：∵，∴，
∴，数列是公比为2，首项为的等比数列，∴，
∴.
（2）证明：由（1）知，
∴数列为等比数列，公比为，首项为，
∴.
∵，
∴.
【点睛】本题考查了等比数列的证明，求数列的通项公式，不等式的证明，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
（含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算集合，集合，再求.
【详解】由，得，即，由，得，所以，所以，
所以.
故答案选B
【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.
2.已知，，，，则下列不等式中恒成立的是( )．
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
选项均可找到反例说明不恒成立；根据不等式的性质可知正确.
【详解】选项：若，，，，则，；此时，可知错误；
选项：若，则，可知错误；
选项：，则；若，则，可知错误；
选项：若，根据不等式性质可知，正确.
本题正确选项：
【点睛】本题考查不等式的性质，可采用排除法得到结果，属于基础题.
3.如图所示的是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为，，的正方形和一个直角三角形围成，现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算总面积，再计算阴影部分面积，相除得到答案.
【详解】图形总面积为：
阴影部分面积为：
概率为：
故答案选C
【点睛】本题考查了几何概型计算概率，意在考查学生的计算能力.
4.已知，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据指数函数单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可得，
由指数函数的性质可得
，，
所以，故选A．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5.已知数列是等差数列，若，则（）
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质计算，再计算得到答案.
【详解】∵数列等差数列，∴，∴，.
故答案选C
【点睛】本题考查了数列求和，利用等差数列性质可以简化运算.
6.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
判断函数为奇函数，排除AB，再通过特殊值排除D，得到答案.
【详解】为奇函数，排除A，B.
当时，排除D
故答案选C
【点睛】本题考查了函数的图像，利用奇偶性和特殊值可以简化运算.
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则
（）
A. 30°
B. 45°
C. 150°
D. 45°或135°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理得到，通过大角对大边，排除一个得到答案.
【详解】由正弦定理得，即，∴.
又，∴，∴.
故答案选B
【点睛】本题考查了正弦定理，没有排除多余答案是容易犯的错误.
8.已知正实数，满足，则的最小值为（）
A. 4
B. 6
C. 9
D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
变换展开利用均值不等式得到答案.【详解】∵，，，∴
，当且仅当
时，即时取“”.
故答案选C
【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.
9.执行如图所示程序框图，输出的结果为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.
【详解】由图知输出的结果．
故选D.
【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
10.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先通过数列性质判断，再通过数列的正负判断的最小值.
【详解】∵等差数列中，，∴，即.又，∴的前项和的最小值为.
故答案选C
【点睛】本题考查了数列和的最小值，将的最小值转化为的正负关系是解题的关键.
11.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），所得图象对应的函数在区间上的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算变换后的函数表达式，再计算，得到值域.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得的图象，
∵，∴，
∴的最大值为1，最小值为.
故答案选D
【点睛】本题考查了三角函数的变换，值域，意在考查学生的计算能力.
12.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.在生活中，我们也可以通过设计如下实验来估计的值：在区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中以原点为圆心，1为半径的圆的内部的数对共有78个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算，又由于频率为取相等得到的近似值.
【详解】根据几何概型公式知：
故答案选C
【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生解决问题的能力.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，计算，代入得到.
【详解】∵，∴，∴，∴.
故答案为
【点睛】本题考查了向量的计算，属于简单题.
14.若变量，满足约束条件则的最大值为__________.
【答案】16
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，通过平移得到最大值.
【详解】
由约束条件作出可行域如图所示，可化为，当直线过点时，取最大值，即.
故答案为16
【点睛】本题考查了线性规划，求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
15.某市某年各月的日最高气温（℃）数据的茎叶图如图所示，若图中所有数据的中位数与平均数相等，则__________.
【答案】18
【解析】
【分析】
先计算数据的中位数为12,再利用平均值公式得到答案。

【详解】根据茎叶图：共有12个数，中位数为
平均数为：
故答案为18
【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，意在考查学生的计算能力.
16.若函数的定义域为，则函数的值域为__________.【答案】
【解析】
【分析】
先计算函数的定义域A，再利用换元法取化简为二次函数得到值域.
【详解】由，得，，
∴，∴.
令，则，
∴当时，；当时，.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数定义域和值域，属于常考题型.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在锐角中，，在边上，，，的面积为14.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先计算，再利用面积公式得到答案.
（2）先计算，中，由余弦定理得到答案
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴.
（2）∵为锐角，
∴.
在中，由余弦定理得，
，
∴.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.
18.已知等差数列的前项和为，且，公差，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，公差，，，成等比数列，形成方程组，解得答案.
（2）根据，计算，得到，用裂项求和法得到答案.
【详解】（1）∵，，成等比数列，
∴，即，
∴，又，∴，
∴，
故.
（2）由（1）得，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.
19.为调查高中生对某活动的参与度，教委对，，，四所高中按各校人数采用分层抽样的方法抽取了100名学生，将调查情况整理后得到下表：
（1）在这100名学生中，随机抽取1名学生，求该学生没有参与该活动的概率；
（2）在这100名学生中，从，两所高中没有参与该活动的学生中随机抽取2名学生，求，两所高中各有1名学生没有参与该活动的概率.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先计算参与该活动的概率，再用1减去得到答案.
（2）先计算，两所高中没有参与该活动的学生人数，再用排列组合公式计算得到答案.
【详解】（1）
（2）从，两所高中没有参与该活动的学生分别为3人和1人.
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.
20.在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理直接得到答案.
（2）利用余弦定理得到再利用均值不等式得到,代入面积公式得到最大值.
【详解】（1）由正弦定理及已知，得，
∵，，∴.
∵，∴.
（2）由余弦定理，得，
即，
∴，
∴，
即面积的最大值为.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
21.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：
甲商场五天的销售情况
销售第天1
第天的销量
11
（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；
（2）根据甲商场这五天的销售情况，求与的回归直线方程.
参考公式：
回归直线方程中，，.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平均值公式计算平均值.
（2）根据公式计算回归直线方程.
【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：
（2）
回归方程为：
【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力.
22.已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算得证，再利用等比数列公式得到.
（2）根据（1），进而证明：
【详解】（1）解：∵，∴，
∴，数列是公比为2，首项为的等比数列，
∴，
∴.
（2）证明：由（1）知，
∴数列为等比数列，公比为，首项为，
∴.
∵，
∴.
【点睛】本题考查了等比数列的证明，求数列的通项公式，不等式的证明，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.。