计量经济学-非线性
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从而将一元 3 次方程转化为三元 1 次方程。
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12
二、间接代换法
当经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代 换转化为线性形式，需要先通过方程两边取对数后再进行 变量代换，转化为线性形式，这种方法称为间接代换法。
柯布——道格拉斯方程
YAaL Kb
对方程两边取对数，得：
ln Y = ln A + a ln L + b ln K
1.85 0.30706 -1.86422 -1.84436 83.91812 0.000095
可编辑ppt
24
Y C0 C1LOG(t) （18.95）（9.16） R2 0.933 R2 0.922F83.92
D•W2.548
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25
案例3 柯布—道格拉斯生产函数
可编辑ppt
26
柯布—道格拉斯生产函数特征
可编辑ppt
29
•Y=A0eδtKαLβ
d/yyad/kkbd/ll
dt
dt dt
dy / y dt ——产出年均增长率
dk / k ——资本投入年均增长率 dt
dl / l ——劳动投入年均增长率
dt
——技术进步率
可编辑ppt
30
d/yyad/kkbd/ll
dt
dt dt
Y~ aK~ bL~
32
41794.30
• GDP的年均增长速度
VY 14GD19P7/2GD19P581
14315.831566.70712.009% 16
• 资本的年均增长速度
VK 14K197/2K19581
14417.391478.70312.682%5
• 劳动的年均增长速度
VL 14L197/2L1958 1
0.933273 0.922151 0.085674 0.04404 9.45688 2.548186
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
1428.8127.510.138% 82
可编辑ppt
33
Dependent Variable: LOG(Y) Method: Least Squares Date: 04/15/08 Time: 22:02 Sample: 1958 1972 Included observations: 15
Variable
Y
令： Y * ln ( k Y ) ， a * ln a
Y
得： Y * 可编a 辑* ppt bx
15
第三节 案例
• 案例1 根据平均成本U型曲线理论，成 本函数可用产量的三次多项式近似表示 。利用某企业的总成本和产量的统计资 料，建立某企业的总成本模型和平均成 本模型。
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16
某企业总成本与产量
CoefficienStd. Error t-Statistic Prob.
C LOG(X1) LOG(X2)
Sum squared resid 11205609 Schwarz criterion 17.083899
Log likelihood -122.7131 F-statistic
16497.111
Durbin-Watson sta2t.2758414 Prob(F-statistic) 0.000000
19
案例2 某家用电器需求量的统计 资料
可编辑ppt
20
某种家用电器需求量统计资料
年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
时间 1 2 3 4 5 6 7 8
需求量（台） 1.3 1.5 1.8 2 1.9 2 2.2 2.1
可编辑ppt
21
可编辑ppt
20310可0编辑ppt 1500
17
Dependent Variable: TC Method: Least Squares Date: 04/13/08 Time: 21:10 Sample: 1 15 Included observations: 15
Variable
CoefficienSttd. Errort-StatistPircob.
双曲线方程
—Y1—t = bo + b1 —X1—t + ut
令
Y * = —Y1—t
，X
*
=
1 —X—t
得
Yt*
=
bo
+
b1
X
* t
+
ut
可编辑ppt
11
多项式函数方程
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3
令 X2 = X 2 ，X3 = X 3 得
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3
ln Y = a + b X
Y a>0
b>0
a
b<0
0
X
对数函数图象
可编辑ppt
6
Y = a + b ln X 对数 —线性模型
参数b的经济意义： 表示X变每动1%，Y 将变动b个单位。
ln Y = a + b X 线性 — 对数模型
参数b的经济意义： 表示X每变动1个单位，
Y将变动100b % 。
• (1)柯布—道格拉斯生产函数是 bi 阶齐次函
数。假定所有投入都明确作为可变投入对待
，比例报酬参数 (即函数系数)就等于各项投 入的b值之和。
• (2)各项投入的生产弹性恒为常量，且为各
投入要素的b值。
Ei
Y Xi
Y Xi
bi
可编辑ppt
27
柯布—道格拉斯生产函数特征
• (3)所有的投入都必须大于0。由于柯布—道 格拉斯生产函数是乘积函数，缺少任何一 项投入都将导致总产出为0，这个特点就限 制了其使用范围。在应用柯布—道格拉斯 生产函数时一定要注意。
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7
四、多项式函数方程
Y = bo + b1 X + b2 X 2 Y
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3 Y
b3 < 0
b3 > 0
bo
0
X
0
X
多项式函数图象
可编辑ppt
8
总成本曲线图形
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3
可编辑ppt
实际总产值Y (百万元新台币)
劳动日X1 （百万日）
16607.70
275.50
17511.30
274.40
20171.20
269.70
20932.90
267.00
20406.00
267.80
20831.60
275.00
24806.30
283.00
26465.80
300.70
2740布—道格拉斯生产函数没有最大值存 在。当函数系数大于1时，产出值以递增的 速率增加；当函数系数等于1时，产出值以 固定的速率增加；当函数系数小于1时，产 出值以递减的速率增加。
可编辑ppt
28
柯布—道格拉斯生产函数的应用
• (1)弹性值分析 • (2)边际值分析 • (3)测定科技进步率
、商品成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等） 都有类似的变动规律。可以运用倒数模型来进行描 述。
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4
二、双对数函数方程（对数模型）
方程形式：
ln Y = a + b ln X
对数模型的基本特点：斜率b直接度量了Y对X的 弹性。
bd d（ （ lln nx y） ） d d x y // x y
C LOG(T)
1.290973 0.421724
0.068129 0.046036
18.94908 0.0000 9.160683 0.0001
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
函数形式：
Y bo >0, b1 <0
Yt
=
bo
+
b1
—1— Xt
+
ut
或
——1 Yt
=
bo
+
b1—X1t
+
ut
bo >0, b1 >0
0
X
双曲线方程图象
可编辑ppt
3
倒数模型的基本特征：
随着X的无限增大，Y将趋于极限值b0（或1/b0） 即有一个渐进的下限或上限。
现实经济活动中有些现象（如平均固定成本曲线
可编辑ppt
18
总成本模型
Yˆ 232485.7X0.03X2 0.000X43 （1.77）（11.95）（2.77）（9.59） R2 0.99971R2 0.99977F1649.17 D•W2.2758
平均成本模 型
Y ˆ23 284 .7 50.0X 30.00X 02 4 XX
可编辑ppt
表示X变化1%，Y将变动b%
如果X表示商品本身的价格，则b就是需求价格弹性
如果X表示替代商品的价格，则b就是需求交叉弹性
如果X表示消费者的收入水平，则b就是需求收入弹性
在生产函数中，还可以表示劳动产出弹性、资金的产出弹性。
可编辑ppt
5
三、对数函数方程（半对数模型）
函数形式：
Y = a + b ln X
年份
总成本
产量
1
10000
100
2
28600
300
3
19500
200
4
32900
400
5
52400
600
6
42400
500
7
62900
700
8
86300
900
9
74100
800
10
100000
1000
11
133900
1200
12
115700
1100
13
154800
1300
14
178700
1400
15
C
2434.652 1368.9211 1.77852 0.1029343
X
85.702782 7.1706163 11.9519 0.000000
X^2
-0.028405 0.0102422 -2.7733 0.018120
X^3
0.00004 0.00000 9.59342 0.000001
R-squared
22
YC0C1LO(tG )
可编辑ppt
23
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 04/13/08 Time: 23:12 Sample: 1994 2001 Included observations: 8
Variable
CoefficienStd. Error t-Statistic Prob.
1
Y~
aK~
Y~
bL~
Y~
技术进步对经济贡 增献 长份 的额 1资本的增长对经的 济贡 增献 长份额 劳动的增长对 可编辑经 ppt 的 济贡 增献 长份额31
表 1958-1972年中国台湾地区农业部门的实际总产值、劳动日和实际资本投入
年份
1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972
令 Y* = ln Y， A* = ln A， L* = ln L， K* = ln K
则 Y* = A* + a L* + b K*
可编辑ppt
13
如何替换？
YAteLaKb
可编辑ppt
14
逻辑曲线方程
Y k 1 aebx
方程变换：
k Y a e bx Y
方程两边取对数
ln ( k Y ) ln a bx
0.9997778 Mean dependent var 86353.333
Adjusted R-square0d.9997172 S.D. dependent var 60016.437
S.E. of regressio1n009.3026 Akaike info criterio1n6.895085
28628.70
303.70
29904.50
304.70
27508.20
298.60
29035.50
295.50
29281.50 31535.80
可编辑ppt
299.00 288.10
实际资本投入X3 （百万元新台币）
17803.70 18096.80 18271.80 19167.30 19647.60 20803.50 22076.60 23445.20 24939.00 26713.70 29957.80 31585.90 33474.50 34821.80
9
五、逻辑曲线
产品生长周期：产品生产量随着时间变化的过程，开始 阶段发展较慢，接着是急剧增长，然后是平稳发展的周期， 最后达到饱和状态，其轨迹形成一条“S”型曲线。
Y k
Y
1 aebx
K
K 2
0
可编辑ppt
K
1+a X 10
第二节 曲线方程的线性化
一、直接代换法
直接代换法适用于变量之间的关系虽然是非线性的， 但因变量与参数之间的关系却是线性的非线性模型。
第五章 非线性模型
在现实社会经济活动中，经济变量之间的 数量依存关系类型复杂，有些表现为线性关系 ，但更为普遍的则表现为非线性依存关系。
可编辑ppt
1
第五章 非线性模型
第一节 一元曲线方程的种类 第二节 曲线方程的线性化 第三节 案例
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2
第一节 一元曲线方程的种类
一、双曲线方程（倒数模型）
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12
二、间接代换法
当经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代 换转化为线性形式，需要先通过方程两边取对数后再进行 变量代换，转化为线性形式，这种方法称为间接代换法。
柯布——道格拉斯方程
YAaL Kb
对方程两边取对数，得：
ln Y = ln A + a ln L + b ln K
1.85 0.30706 -1.86422 -1.84436 83.91812 0.000095
可编辑ppt
24
Y C0 C1LOG(t) （18.95）（9.16） R2 0.933 R2 0.922F83.92
D•W2.548
可编辑ppt
25
案例3 柯布—道格拉斯生产函数
可编辑ppt
26
柯布—道格拉斯生产函数特征
可编辑ppt
29
•Y=A0eδtKαLβ
d/yyad/kkbd/ll
dt
dt dt
dy / y dt ——产出年均增长率
dk / k ——资本投入年均增长率 dt
dl / l ——劳动投入年均增长率
dt
——技术进步率
可编辑ppt
30
d/yyad/kkbd/ll
dt
dt dt
Y~ aK~ bL~
32
41794.30
• GDP的年均增长速度
VY 14GD19P7/2GD19P581
14315.831566.70712.009% 16
• 资本的年均增长速度
VK 14K197/2K19581
14417.391478.70312.682%5
• 劳动的年均增长速度
VL 14L197/2L1958 1
0.933273 0.922151 0.085674 0.04404 9.45688 2.548186
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
1428.8127.510.138% 82
可编辑ppt
33
Dependent Variable: LOG(Y) Method: Least Squares Date: 04/15/08 Time: 22:02 Sample: 1958 1972 Included observations: 15
Variable
Y
令： Y * ln ( k Y ) ， a * ln a
Y
得： Y * 可编a 辑* ppt bx
15
第三节 案例
• 案例1 根据平均成本U型曲线理论，成 本函数可用产量的三次多项式近似表示 。利用某企业的总成本和产量的统计资 料，建立某企业的总成本模型和平均成 本模型。
可编辑ppt
16
某企业总成本与产量
CoefficienStd. Error t-Statistic Prob.
C LOG(X1) LOG(X2)
Sum squared resid 11205609 Schwarz criterion 17.083899
Log likelihood -122.7131 F-statistic
16497.111
Durbin-Watson sta2t.2758414 Prob(F-statistic) 0.000000
19
案例2 某家用电器需求量的统计 资料
可编辑ppt
20
某种家用电器需求量统计资料
年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
时间 1 2 3 4 5 6 7 8
需求量（台） 1.3 1.5 1.8 2 1.9 2 2.2 2.1
可编辑ppt
21
可编辑ppt
20310可0编辑ppt 1500
17
Dependent Variable: TC Method: Least Squares Date: 04/13/08 Time: 21:10 Sample: 1 15 Included observations: 15
Variable
CoefficienSttd. Errort-StatistPircob.
双曲线方程
—Y1—t = bo + b1 —X1—t + ut
令
Y * = —Y1—t
，X
*
=
1 —X—t
得
Yt*
=
bo
+
b1
X
* t
+
ut
可编辑ppt
11
多项式函数方程
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3
令 X2 = X 2 ，X3 = X 3 得
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3
ln Y = a + b X
Y a>0
b>0
a
b<0
0
X
对数函数图象
可编辑ppt
6
Y = a + b ln X 对数 —线性模型
参数b的经济意义： 表示X变每动1%，Y 将变动b个单位。
ln Y = a + b X 线性 — 对数模型
参数b的经济意义： 表示X每变动1个单位，
Y将变动100b % 。
• (1)柯布—道格拉斯生产函数是 bi 阶齐次函
数。假定所有投入都明确作为可变投入对待
，比例报酬参数 (即函数系数)就等于各项投 入的b值之和。
• (2)各项投入的生产弹性恒为常量，且为各
投入要素的b值。
Ei
Y Xi
Y Xi
bi
可编辑ppt
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柯布—道格拉斯生产函数特征
• (3)所有的投入都必须大于0。由于柯布—道 格拉斯生产函数是乘积函数，缺少任何一 项投入都将导致总产出为0，这个特点就限 制了其使用范围。在应用柯布—道格拉斯 生产函数时一定要注意。
可编辑ppt
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四、多项式函数方程
Y = bo + b1 X + b2 X 2 Y
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3 Y
b3 < 0
b3 > 0
bo
0
X
0
X
多项式函数图象
可编辑ppt
8
总成本曲线图形
Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3
可编辑ppt
实际总产值Y (百万元新台币)
劳动日X1 （百万日）
16607.70
275.50
17511.30
274.40
20171.20
269.70
20932.90
267.00
20406.00
267.80
20831.60
275.00
24806.30
283.00
26465.80
300.70
2740布—道格拉斯生产函数没有最大值存 在。当函数系数大于1时，产出值以递增的 速率增加；当函数系数等于1时，产出值以 固定的速率增加；当函数系数小于1时，产 出值以递减的速率增加。
可编辑ppt
28
柯布—道格拉斯生产函数的应用
• (1)弹性值分析 • (2)边际值分析 • (3)测定科技进步率
、商品成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等） 都有类似的变动规律。可以运用倒数模型来进行描 述。
可编辑ppt
4
二、双对数函数方程（对数模型）
方程形式：
ln Y = a + b ln X
对数模型的基本特点：斜率b直接度量了Y对X的 弹性。
bd d（ （ lln nx y） ） d d x y // x y
C LOG(T)
1.290973 0.421724
0.068129 0.046036
18.94908 0.0000 9.160683 0.0001
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
函数形式：
Y bo >0, b1 <0
Yt
=
bo
+
b1
—1— Xt
+
ut
或
——1 Yt
=
bo
+
b1—X1t
+
ut
bo >0, b1 >0
0
X
双曲线方程图象
可编辑ppt
3
倒数模型的基本特征：
随着X的无限增大，Y将趋于极限值b0（或1/b0） 即有一个渐进的下限或上限。
现实经济活动中有些现象（如平均固定成本曲线
可编辑ppt
18
总成本模型
Yˆ 232485.7X0.03X2 0.000X43 （1.77）（11.95）（2.77）（9.59） R2 0.99971R2 0.99977F1649.17 D•W2.2758
平均成本模 型
Y ˆ23 284 .7 50.0X 30.00X 02 4 XX
可编辑ppt
表示X变化1%，Y将变动b%
如果X表示商品本身的价格，则b就是需求价格弹性
如果X表示替代商品的价格，则b就是需求交叉弹性
如果X表示消费者的收入水平，则b就是需求收入弹性
在生产函数中，还可以表示劳动产出弹性、资金的产出弹性。
可编辑ppt
5
三、对数函数方程（半对数模型）
函数形式：
Y = a + b ln X
年份
总成本
产量
1
10000
100
2
28600
300
3
19500
200
4
32900
400
5
52400
600
6
42400
500
7
62900
700
8
86300
900
9
74100
800
10
100000
1000
11
133900
1200
12
115700
1100
13
154800
1300
14
178700
1400
15
C
2434.652 1368.9211 1.77852 0.1029343
X
85.702782 7.1706163 11.9519 0.000000
X^2
-0.028405 0.0102422 -2.7733 0.018120
X^3
0.00004 0.00000 9.59342 0.000001
R-squared
22
YC0C1LO(tG )
可编辑ppt
23
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 04/13/08 Time: 23:12 Sample: 1994 2001 Included observations: 8
Variable
CoefficienStd. Error t-Statistic Prob.
1
Y~
aK~
Y~
bL~
Y~
技术进步对经济贡 增献 长份 的额 1资本的增长对经的 济贡 增献 长份额 劳动的增长对 可编辑经 ppt 的 济贡 增献 长份额31
表 1958-1972年中国台湾地区农业部门的实际总产值、劳动日和实际资本投入
年份
1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972
令 Y* = ln Y， A* = ln A， L* = ln L， K* = ln K
则 Y* = A* + a L* + b K*
可编辑ppt
13
如何替换？
YAteLaKb
可编辑ppt
14
逻辑曲线方程
Y k 1 aebx
方程变换：
k Y a e bx Y
方程两边取对数
ln ( k Y ) ln a bx
0.9997778 Mean dependent var 86353.333
Adjusted R-square0d.9997172 S.D. dependent var 60016.437
S.E. of regressio1n009.3026 Akaike info criterio1n6.895085
28628.70
303.70
29904.50
304.70
27508.20
298.60
29035.50
295.50
29281.50 31535.80
可编辑ppt
299.00 288.10
实际资本投入X3 （百万元新台币）
17803.70 18096.80 18271.80 19167.30 19647.60 20803.50 22076.60 23445.20 24939.00 26713.70 29957.80 31585.90 33474.50 34821.80
9
五、逻辑曲线
产品生长周期：产品生产量随着时间变化的过程，开始 阶段发展较慢，接着是急剧增长，然后是平稳发展的周期， 最后达到饱和状态，其轨迹形成一条“S”型曲线。
Y k
Y
1 aebx
K
K 2
0
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K
1+a X 10
第二节 曲线方程的线性化
一、直接代换法
直接代换法适用于变量之间的关系虽然是非线性的， 但因变量与参数之间的关系却是线性的非线性模型。
第五章 非线性模型
在现实社会经济活动中，经济变量之间的 数量依存关系类型复杂，有些表现为线性关系 ，但更为普遍的则表现为非线性依存关系。
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1
第五章 非线性模型
第一节 一元曲线方程的种类 第二节 曲线方程的线性化 第三节 案例
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2
第一节 一元曲线方程的种类
一、双曲线方程（倒数模型）