福建师大附中高二数学上学期期中试卷 理(含解析)

福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验
班）
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列结论正确的是（）
A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时， +≥2
C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值
2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0] C．[0，4）D．（﹣4，0）
3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）
A．或B．或C．D．
4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）
A．B．
C．D．
5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）
A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k3
7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）
A．B．3 C．或3 D．3或
8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，
则C=（）
A．B．C．D．
9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）
A．49 B．50 C．51 D．52
10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，
则T2015=（）
A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014
11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）
12．数列{a n}满足a1=1， =，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒
成立，则正整数t的最小值为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.
13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= ．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n= ．
15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．
16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值
为．
三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．
18．设S n是数列[a n}的前n项和，．
（1）求{a n}的通项；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．
（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．
（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D
所张角最大，试确定点Q的位置．
20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC
（1）判断△ABC的形状
（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；
（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．
21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；
（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．
22．已知函数．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；
（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．
四、附加题：
23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i ﹣b i，此时c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．
2015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列结论正确的是（）
A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时， +≥2
C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值
【考点】基本不等式．
【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．
A中不满足“正数”，C中“=”取不到．
【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；
C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．
故选B
【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．
2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0] C．[0，4）D．（﹣4，0）
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．
【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；
当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，
∴，解得﹣4＜m＜0．
综上，m的取值范围是（﹣4，0]．
故选：B．
【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．
3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）
A．或B．或C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．
【解答】解：∵，∴S8=17S4，
∴=16，∴公比q满足q4=16，
∴q=2或q=﹣2，
∴等比数列{}的首项为1，公比为±，
当公比为时，数列{}的前5项和为=；
当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=
故选：A
【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．
4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）
A．B．
C．D．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题；解三角形．
【分析】先求出BC，再求出CD即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，
∴，
∴BC=，
∴CD=BCtanγ=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．
5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；
②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，
③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．
【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，
由正弦定理可知，
，
所以sinA=＞1，故错误；
②若三角形的三边的比是3：5：7，
根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，
由余弦定理得：cosα==﹣，
则最大角为120°，故正确；
③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，
则最大角为B或C所对的角，
∴cosB=＞0，得是＜x，
cosC=＞0，得x＜．
则x的取值范围是，故正确；
故选：C．
【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．
6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）
A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k3
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，
∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，
即有k1＜k＜k3，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．
7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）
A．B．3 C．或3 D．3或
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或
sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．
【解答】解：∵A+B=π﹣C，
∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，
∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，
化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB．
①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，
∵，∴A==，
因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；
②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．
综上所述，的值为或3．
故选：C
【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．
8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C
【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，
由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，
再由面积公式可得S=absinC=，
∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），
再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，
解得cosC=，或cosC=1（舍去），
∵C∈（0，π），∴C=，
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．
9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）
A．49 B．50 C．51 D．52
【考点】等差数列的性质．
【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．
【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100=
=50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；
同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；
∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．
10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，
则T2015=（）
A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．
【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和
公式即可得出．
【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，
当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．
上式对于n=1时也成立．
∴a n=2n﹣2．
∴=2（n﹣1）•cos．
∵函数y=cos的周期T==4．
∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）
+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015
=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)
+4024•cos+4026•cos+4028•cos
=4×503+0﹣4026
=﹣2014．
故选D．
【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．
【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；
观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；
令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．
故选B．
【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1， =，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒
成立，则正整数t的最小值为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】数列与不等式的综合．
【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．
【解答】解：∵a1=1， =，
∴+4=，
∴﹣=4，
∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴=4n﹣3，
∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），
∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜
S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为
t≥30•=7.5，
而t为正整数，所以，t min=8．
故选C．
【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= 2 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；
故答案为：2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n= ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．
【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，
∴S1+1×a1=1+1=2，
∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，
当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2
两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，
从而=，
∴（n≥2），
当n=1时上式成立，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是 4 ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．
【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．
又b1b2b3…b99=299=．
则b50=2．
∴b8+b92≥=2b50=4，
当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．
故答案为：4．
【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】三角函数的求值．
【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到
CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ
的值．
【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵AG⊥BG，∴DG=AB，
由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，
由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，
BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，
∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，
又∵+=，
∴+=，
则
λ===== ==．
故答案为：
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．
【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．
【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；
（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．
【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为
（ax﹣2）（x+1）≥0，
且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），
∴a＞0；
又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；
∴=2，解得a=1；
（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；
②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，
当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，
它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，
∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；
当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，
不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，
在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，
∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；
在a=﹣2时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；
在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，
a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，
﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，
a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，
a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．
【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．
18．设S n是数列[a n}的前n项和，．
（1）求{a n}的通项；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得
，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由
求出{a n}的通项公式．
（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵，
∴n≥2时，，
展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{ }是以2为公差的等差数列，其首项为．
∴，．
由已知条件可得．
（2）由于，
∴数列{b n}的前n项和
，
∴．
【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．
19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．
（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．
（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D
所张角最大，试确定点Q的位置．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】解三角形．
【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；
（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．
【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．
依题意有，．
由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；
（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．
依题意有，，
tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，
令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，
则=，
∵，
∴，
当时，所张的角为钝角，
当，即x=时取得最大角，
故点Q应选在距A点km处．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．
20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC
（1）判断△ABC的形状
（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；
（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．
【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，
由勾股定理可得AB=5；
（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．
【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，
∴sin（A+C）=cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，
∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵•=||2=9，解得AC=3，
又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，
由勾股定理可得AB=5；
（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，
则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，
设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，
∴d1+d2+d3=x+y﹣=，
令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8
∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]
【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；
（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算
出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，
利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；
（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
∴cosB=，可得B=60°
∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°
设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，
Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，
∵C到AB的距离为BC=百米，
∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米
可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2
∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立
∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2
（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α
则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα
设∠EDB=∠1，可得
∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB
∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α
在△ADF中， =
即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=
∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．
【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．
22．已知函数．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；
（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．
【考点】复合函数的单调性．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
（2），令，则，
分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k ＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；
【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，
因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，
所以k＞﹣2；
（2），
令，则，
当k＞1时，无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；
当k＜1时，，最小值为，
综上所述，k=﹣8．
（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．
当k＞1时，因且，
故，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；
当k＜1时，且，故，解得；
综上所述，
【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．
四、附加题：
23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i ﹣b i，此时c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．
【考点】等差关系的确定．
【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证
【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，
对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，
所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，
又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．
从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．
因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），
又因为b1=a1﹣c1＜a1，
所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，
因此x n=b1．
所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．
所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，
因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，
即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．
【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。