2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(九)理科数学

2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（九）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题
1.已知集合{
}
2
230A x x x =--<，{
B x y ==，则A B 等于（ ）
A. (1,3)-
B. [)0,3
C. [0,)+∞
D. (1,)-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
分别解不等式和求定义域，再求两个集合的并集即可. 【详解】对集合A ，求解不等式2230x x --<， 可得()1,3x ∈-
对集合B ，求函数y =
可得0x ≥， 故()1,A B ⋃=-+∞. 故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及二次不等式的求解，函数定义域的求解，属综合基础题.
2.复数z 满足12i z i ⋅=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，求得复数，然后找出其在复平面内对应的点即可. 【详解】因为12i z i ⋅=+，故可得：()()2
12122i i i z i i i
+-+===-- 故其在复平面对应的点的坐标为()2,1- 容易知，其在第四象限. 故选：D.
【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数在复平面内对应的点的求解，属基础题. 3.下列命题中真命题的是（ ）
A. 命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠
B. “22am bm <”是“a b <”的充要条件
C. 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
D. 对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】
A. 根据四种命题的结构形式及转化来判断.
B.利用特殊值法，当 0m =时，逆命题不成立.
C. 若p q ∧为假命题，由结论“一假则假”来判断. D 用等价命题来判断.
【详解】命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠， 故A 正确；
若22am bm <，则0m ≠，可得a b <，反之a b <，0m =，22am bm <不成立，故B 错误； 若p q ∧为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 错误；
对于实数x ，y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠，由2x =且6y =，可得8x y +=，即p 可得q ，反之由q 推不到p ，则p 是q 的充分不必要条件，故D 错误. 故选：A
【点睛】本题主要考查命题的转化及关系以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，
则42
S S ( ) A. 3 B. 9 C. 10 D. 13
【答案】C 【解析】 【分析】
设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2
60,0q q q --=>，解得q ，再
利用求和公式即可得结果.
【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足645,3,a a a -成等差数列，
()
2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，
则
()
()
4
1
2
4
2
21
31
313110
31
31
a
S
S a
-
-
==+=
-
-
，故选C.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运
算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,
n n
a q n a S，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
5.已知抛物线2
1
2
y x
=的焦点与椭圆
22
1
2
y x
m
+=的一个焦点重合，则m=（）
A.
7
4
B.
127
64
C.
9
4
D.
129
64
【答案】C
【解析】
∵ 抛物线2
1
2
y x
=的焦点为
1
(0)
2
，
∴2
11
2()
24
m-==
∴
9
4
m=
故选C
6.函数()
()
2
3
ln1
x
f x
x
+
=的大致图象是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10
(3),ln 22727
f =
>， 即()()1?
3f f ＞，可排除C 选项， 故选A
【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
7.要得到函数3y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象（ ）
A. 向右平移
34
π
个单位长度 B. 向右平移
2
π
个单位长度 C. 向左平移个4
π
单位长度 D. 向左平移个
2
π
单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为sin3cos334y x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
所以将其图象向左平移
4
π
个单位长度，
可得()3344y x x x πππ⎡⎤
⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 故选C.
【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.
8.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小
灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A.
119
1077
B.
160
359
C.
958
1077
D.
289
359
【答案】C 【解析】 【分析】
首先明确两类灯球的个数，再利用古典概型及对立事件求出结果． 【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨
+=⎩，解得120
240x y =⎧⎨=⎩
，
若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2
1202360958
11077
C C -=.
故选C
【点睛】本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力及运算能力，属于基础题．
9.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A. a b c >>
B. a c b >>
C. c a b >>
D.
c b a >>
【答案】B 【解析】 【分析】
b 和
c 的比较，将327lg 64
log 4log 64lg 27b ===
，525lg 64log 8log 64lg 25
c ===转化比较， a 和c 的比较找中间数
3
2
， 分别作差比较.，最后得到结论. 【详解】因为327lg 64
log 4log 64lg 27b ===
，525lg 64log 8log 64lg 25
c ===， 又因为lg 640>，0lg 25log 27<<， 所以b c <.
又因为2232
33log 3log 2
2-
=， 因32
32>，故32
312
>，
所以23
log 302->即. 32
a > 又5532
33log 8log 2
5-
=， 因32
85
<，故32
8015
<<，
所以53log 802-<.即32
c < 所以a c >
故a c b >>. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数的转化及比较大小，还考查了转化化归运算比较的能力，属于中档题.
10.函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）
A. ∞（-3,0）（3，+）
B. ∞（-，-3）（0,3）
C. ∞∞（-，-3）（3，+）
D. （-3,0）（0,3）
【答案】D 【解析】 【分析】
易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．
【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0， 即f （3）＝0，
作出f （x ）的草图，如图所示：
由图象，得()0xf x <()()
00
00x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或
解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，
∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3）， 故选D ．
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的
综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
11.直线过抛物线2
4y x =的焦点
且与抛物线交于
,
两点，若线段,AF BF 的长分别为,m n ，则4m n +的最小值是（ ） A. 10 B. 9
C. 8
D. 7
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解4m n +的最小值即可.
【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：112
1m n p
+==，
则()1144445529m n m n m n m n m n n m n m ⎛⎫
+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭
，
当且仅当3
,32
m n =
=时等号成立. 即4m n +的最小值是9. 本题选择B 选项.
【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
12.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为
32
3
，则h＝（）
A. 13
B. 26
C. 23
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图知几何体为三棱锥，且底面是等腰直角三角形，三棱锥
的一条侧棱与底面垂直，画出其直观图，将其补成直棱柱，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h.
【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：
∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，知棱DB和底面垂直，
可以将该棱锥补成直三棱柱，如图所示：
可知其球心在上下底面外心连线的中点处，
因为底面为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，所以GH 的中点即为其外接球的球心，
因为该几何体的外接球体积为323
π
， 所以外接球的体积3
43233
V r ππ=⨯=,2r =，
所以有2
2()12
h r =+，
解得23h =． 故选C ．
【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的问题，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状，根据有一条侧棱和底面垂直，将棱锥补成直棱柱来求解，根据题中所给的体积，求得外接球的半径，构造直角三角形，从而求得棱锥的高. 二、填空题
13.已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 【答案】
【解析】
试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34
k =-
．
考点：向量共线坐标表示的应用．
14.
二项式
5
的展开式中常数项为__________． 【答案】10-． 【解析】
试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为
55523
26
15
5
(1)(1)r r
r r r
r r
r T C x
C x
---+=-=-，令
55026
r -=，则3r =，∴3
35
(1)10A C =-=-． 考点：二项式定理．
15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S =__________．
【答案】1
2n n
-
【解析】 【分析】
化简()()111n n n a n S ++=-得()112
n n
n S nS ++=，即{}n nS 是等比数列，然后求出n S 的值
【详解】
()()111n n n a n S ++=-，11n n n na S nS ++∴+=，()11n n n n n S S S nS ++∴-+=，
()112
n n
n S nS ++∴
=，
{}n nS ∴是首项为1，公比为2的等比数列，则1
2
n n nS -=，1
2n n S n
-∴=.
【点睛】本题考查了求数列的前n 项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果
16.在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有_________（填具体数字） 【答案】150 【解析】 【分析】
根据题意，先确定两种分配方案，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2，然后每一种确定分组方法，最后这两种分别全排列再求和. 【详解】根据题意，分2步进行分析：
①五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有3510C =种分组方法；
当按照1、2、2来分时共有22
532
2
15C C A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法； ②将分好的三组对应三家酒店，有3
36A =种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种.
【点睛】本题主要考查了组合中的分组分配问题，还考查了分类，分步的逻辑思维能力，属于中档题. 三、解答题
17.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.
【答案】(1) 3
C π
=.(2) .
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得
6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 122
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
（2
）由正弦定理可知，2sin sin sin 3
a b A B
π===
，即,a A b B ==
∴sin )a b A B +=
+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦
2cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩，即，
则2363A ππ
π<+<
，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b
的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18.在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A ，B ，C ，D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：
(注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
(Ⅰ)若该区共2000名高中学生，估计A 学校参与“创城”活动的人数；
(Ⅱ)在随机抽查的100名高中学生中，从A ，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学
生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；
(Ⅲ)若将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”
活动人数的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）800；（Ⅱ）13
50
；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由分层抽样性质估计A 学校参与“创城”活动的人数．(Ⅱ)设事件A 表示“抽取A 校
高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C 表示“抽取C 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，则所求概率为：()()()()()P P AC AC P A P C P A P C =+=+，由此能求出结
果．(Ⅲ)将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”
活动人数43,
5X B ⎛
⎫
⎪⎝⎭
～，可求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望． 【详解】解：(Ⅰ)该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A 学校参与“创城”活动的人数为：5040200080010050
⨯
⨯=． (Ⅱ)设事件A 表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，
事件C 表示“抽取C 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”， 则从A ，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，
恰有1人参与“创城”活动的概率：()()()()()P P AC AC P A P C P A P C =+=+
41191351051050
=⨯+⨯=． (Ⅲ)将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，
这3人参与“创城”活动人数43,
5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～， ()0
33
110()5125P X C ===，()12
341121()55
125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，
()22341482()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33
34643()5125
P X C ===，
X ∴的分布列为：
X
1
2
3
P
1
125
12125
48125
64125
43,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
～，()412355E X ∴=⨯=．
【点睛】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、
M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为
15
，点F 在PC 上移动.
（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值. 【答案】15
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，从而AE ⊥平面PAD ，由此能证明无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C ﹣AF ﹣E 的余弦值． 【详解】（Ⅰ）连接AC
∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC ∆是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥ 又AD BC ，∴AE AD ⊥
∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂= ∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AE ⊥平面PAD ，
∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，
在Rt AME ∆中，sin 5
AME ∠=，即2AE AM =
，
设2AB a =，则AE =
，得AM =，
又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，
所以AM =， 从而b a =，∴2PA AD a ==，
则()0,0,0A ，)
,,0B
a -，)
,,0C
a ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a ，
)
,0,0E
，,2a F a ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
所以(
)3,0,0AE =
，3,2a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，()
,3,0BD a =-，
设(),,n x y z 是平面AEF 一个法向量，则
00n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨
⋅=⎩ 30
302
2ax ax ay az ⎧=⎪
⎨++=⎪
⎩取z a =，得()0,2,n a a =- 又BD ⊥平面ACF ，∴()
3,3,0BD a a =-是平面ACF 的一个法向量，
∴cos ,n BD
n BD n BD ⋅==⋅ 2
155523a a
=-
⋅ ∴二面角C AF E --的余弦值为
15
.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆
C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．
（Ⅰ）求椭圆C 标准方程；
（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=；
（Ⅱ）详见解析.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜
率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭
， 所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫
⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【详解】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为
12，即1
2
c a =， 解得2a =，1c =， 又2223b a c =-=，
所以椭圆C 的标准方程22
143
x y +=．
（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，
联立()22
34121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩
，得
(
)
()()2
223484120k x k t k x t k ++-+--=，
由题意，>0∆， 设()()1122,,
,A x y B x y ，
则()122
834-+=-
+k t k x x k ，
因为PA PB =，所以P 是AB 的中点．
即
1212
x x +=，得()2
8234--=+k t k k ， 340kt += ①
又l AB ⊥，l 的斜率为1
k
-
，
直线l 的方程为()1
1y t x k
-=-
- ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭
所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =， 此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21.已知函数2
()8ln ().f x x x a x a R =-+∈
（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21
111
ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；
（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211
(1)
t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，
111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x
-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的
范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可．
【详解】（Ⅰ）()228(0)x x a f x x x
-+=>'，()10f '=，则6a =
从而()()()
213(0)x x f x x x
--=
>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；
()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点.
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点
1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以
08a <<，
由121212
42x x a x x x x +=⎧⎪⎪
=⎨⎪
<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩
从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时
()
21
111
ln 431a x t x x x >+--成立. 即证
()()
111
2111
24ln 431x x x t x x x ->+--成立.
即证()111
12ln 11x x t x x >+- 即证()11
11
2ln 101x x t x x -+>- 亦即证
(
)211111
12ln 01t x x x x x ⎡
⎤
-⎢⎥+>-⎢⎥⎣
⎦
. ①
令()(
)212ln (02)t x h x x x x
-=+
<<则()2
2
2(02)tx
x t
h x x x ++<<'=
1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立. 2)当0t <时，244t ∆=-
若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，
111x x -、()
2111
1
2ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，2
2y tx x t =++的对称轴11x t
=->，
令1min ,2a t ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
，则1x a <<时，()0h x >，不合题意.
综上可知：1t ≤-满足题意.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；
（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值.
【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2
）k =. 【解析】
【分析】
（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ，且()4,0Q ，由M 为PQ 的中点，得x=2cos θ+，y= sin θ，整理得()2221x y -+=，化为极坐标即可；
（2）把直线l ：y kx =化成极坐标方程为θα=，设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，得43OA OB =，即1243ρρ=， 联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得7cos 8α=，代入2221tan 1cos k αα
==-即可. 【详解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以
2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=.
（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=.
联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩
整理得24cos 30ραρ-⋅+=. 则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=. 所以222115tan 1cos 49k αα==-=
，则k =. 【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题.
23.已知函数()121f x ax x =++-
（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；
（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a ≥
恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)
(1,)-∞-+∞；（2）1．
【解析】
【分析】 (1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩
，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；
(2)当02a <<时，化简分段函数得
()()()()12,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
可以得到函数()f x 在1,a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.
【详解】（1）当1a =时，(
)121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩
， 解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，
所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．
解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233
x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得：1x <-或无解或1x >，
所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．
（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
所以函数()f x 在1,a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
． 因为对x R ∀∈，()32f x a ≥
恒成立，
所以()min 3122a f x a
=+
≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，
解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．
所以a 的最小值为1．
【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。