9.4.1圆的标准方程9
圆的标准方程完整ppt课件
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二 圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。
圆的标准方程与圆的一般方程
圆的标准方程与圆的一般方程《圆的标准方程》嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊圆的标准方程，就像开启一场有趣的数学冒险一样！你知道吗，圆的标准方程就像是圆的一张特别身份证。
它的样子是这样子的：(x a)^2 + (y b)^2 = r^2 。
这里的 (a, b) 呢，就是圆心的坐标，就像圆的小心脏，决定了圆在平面上的位置。
而 r 呢，就是圆的半径，它决定了圆的大小。
比如说，有个圆的圆心在 (3, 4) ，半径是 5 ，那它的标准方程就是 (x 3)^2 + (y 4)^2 = 25 。
是不是感觉一下子就把这个圆的模样给描述清楚啦？圆的标准方程用处可大啦！当我们想要知道一个点是不是在圆上，把点的坐标代入方程，如果等式成立，那这个点就在圆上，是不是很神奇？而且哦，通过这个方程，我们还能轻松地画出圆的图形呢。
想象一下，拿着笔，根据圆心和半径，一圈一圈地画出一个完美的圆，多有意思呀！呢，圆的标准方程就像是我们认识圆的好帮手，让我们能更清楚地了解圆的各种特点和秘密。
怎么样，是不是觉得它还挺好玩的？《圆的一般方程》嘿，朋友们！今天咱们接着来唠唠圆的一般方程。
圆的一般方程是 x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 。
看起来好像有点复杂，但其实也不难理解哦。
这个方程里的 D、E、F 都有着特别的作用。
通过它们，我们也能知道圆的一些关键信息。
有时候，给我们一个这样的一般方程，我们得先判断一下它是不是真的表示一个圆。
这就像是做一个小侦探的工作，得找出一些线索。
如果 D^2 + E^2 4F > 0 ，那它就是一个圆。
然后呢，我们还能通过一些计算，找出圆心的坐标和半径的大小。
比如说，有个方程 x^2 + y^2 4x + 6y + 9 = 0 ，咱们通过一些小魔法（公式）就能算出圆心是 (2, 3) ，半径是 2 。
圆的一般方程在解决很多数学问题的时候都能派上用场呢。
它就像是一个隐藏着宝藏的密码，我们只要掌握了解开它的方法，就能发现好多有趣的东西。
4.1.1 圆的标准方程
5.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
y
（如右图）.
2 2
A
0
2.7
B
x
那么半圆的方程为 x y 16( y 0), 将x=2.7代入,得 y 16 2.7 8.71 ＜3.
【解】设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
根据题意得
解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
生活掠影
一石激起千层浪
乐在其中
生活掠影
奥运五环
福建土楼
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
1.掌握圆的标准方程.（重点）
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，
能根据条件写出圆的标准方程．
3.会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
2
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的
高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
圆 的
推导步骤 特点
求法
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
标
准 方 程
圆心(a,b)、半径r 待定系数法和直接法
不想当元帅的士兵不是好士兵。
A.(x-1)2+(y-1)2=1
4.1.1圆的标准方程
例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录(人民教育出版社)
目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
怎么求圆的标准方程
怎么求圆的标准方程针对小学生《怎么求圆的标准方程，小朋友们看过来》小朋友们，今天我们来一起学习怎么求圆的标准方程。
比如说，我们画了一个圆，圆心在纸上的(3, 4)这个点，然后圆的半径是 5。
那这个圆的标准方程怎么写呢？其实很简单哦！圆的标准方程是(x a)² + (y b)² = r² ，这里的 (a, b) 就是圆心的坐标，r 就是圆的半径。
那对于我们刚刚说的这个圆，a 就是 3，b 就是 4，r 是 5。
所以方程就是(x 3)² + (y 4)² = 25 。
就像我们搭积木一样，把数字放进去就搭好了这个方程的小房子。
小朋友们，是不是很有趣呀？《轻松学会求圆的标准方程》小朋友们，想象一下我们在纸上画了一个超级圆的圆。
那怎么知道这个圆的标准方程呢？比如说，有个圆的圆心在(2, 3)，半径是 4 。
我们有个神奇的公式哦，就是(x a)² + (y b)² = r² 。
这里的 a 就是圆心的横坐标 2，b 是纵坐标 3，r 是半径 4 。
那这个圆的标准方程就是(x 2)² + (y 3)² = 16 。
是不是像变魔术一样，一下子就知道啦！《小朋友也能懂的求圆标准方程秘籍》小朋友们，今天来一起探索求圆的标准方程的秘密！假设我们有个圆，它的圆心在(1, 1)，半径是 3 。
那怎么写出它的标准方程呢？别害怕，记住这个小魔法：(x a)² + (y b)² = r² 。
在我们的例子里，a 是 1，b 也是 1，r 是 3 ，所以方程就是(x 1)² + (y 1)² = 9 。
就像玩游戏一样，简单又有趣！《教小朋友求圆的标准方程》小朋友们，我们来做个好玩的数学游戏，学一学怎么求圆的标准方程。
比如说，有个圆的圆心在(4, 2)，半径是 6 。
我们有个神奇的办法哦！圆的标准方程是(x a)² + (y b)² = r² 。
圆的标准方程(1)
圆的标准方程(1)在数学中，圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离保持不变的集合。
圆是一种基本的几何形状，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
圆的定义圆可以通过以下方式定义：•一个固定点称为圆心(O)。
•固定点到圆上任意一点的距离称为半径(r)。
圆可以表示为符合上述定义的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以用其圆心和半径来表示。
圆的标准方程圆的标准方程是一种表示圆的方程形式，通常用于描述圆在平面坐标系中的位置和形状。
标准方程的形式如下：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中， - (a, b) 是圆心的坐标。
- r 是圆的半径。
标准方程的推导可以通过平面几何和代数的方式进行。
推导过程假设圆的圆心为 (a, b)，半径为 r。
对于任意圆上的点 (x, y)，根据圆的定义，有以下关系成立：1.圆心到圆上的任意点的距离等于圆的半径。
即，√((x - a)^2 + (y - b)^2) = r。
我们可以将方程两边取平方，得到： (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2这就是圆的标准方程。
例子假设有一个圆的圆心为 (2, -3)，半径为 5。
我们可以通过标准方程来表示这个圆：(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2这个方程描述了以 (2, -3) 为圆心，半径为 5 的圆。
圆的性质圆的标准方程提供了关于圆的一些重要性质：1.圆心的坐标可以直接从标准方程中读取。
对于方程 (x - a)^2 + (y - b)^2 =r^2，圆心的坐标为 (a, b)。
2.半径 r 的长度可以从标准方程中的 r^2 开平方得到。
3.圆的面积可以通过公式A = π * r^2 计算，其中 A 为圆的面积，r 为半径。
4.圆的周长可以通过公式 C = 2 * π * r 计算，其中 C 为圆的周长，r 为半径。
总结圆是一个重要的几何形状，可以通过圆心和半径来确定。
圆的标准方程提供了一种简洁和常用的方式来描述圆的位置和形状。
4.1.1圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.【教学重点】圆的标准方程.【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.【教学方法】启发、引导、讨论.【教学过程】-、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（ a, b）,半径为r （其中a、b、r都是常数，r 0）.设M（x, y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P二{M MA二r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件,(x - a)2• (y - b)2 = r①化简可得：(x - a) (y -b) = r2②2 2 2引导学生自己证明(x-a) ，(y-b)二r为圆的方程，得出结论.若点M(x, y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A的距离为r ,即点M在圆心为A的圆上.所以方程②就是圆心为A( a, b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.三、例题解析例1:写出圆心为A(2,-3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M!(5^ 7) M2(r. 5, -1)是否在这个圆上.分析：可以从计算点到圆心的距离入手.2 2 2点M (x o, y°)与圆(x - a) • (y - b)二r的关系的判断方法：2 2 2(1)(x o「a) ■ (y°「b) r，点在圆外2 2 2(2)(X。
课件9：4.1.1 圆的标准方程
解此方程组，得b＝1 . r2＝4
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二：设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过 A、B 两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ (a－1)2＋(2－a＋1)2＝ (a＋1)2＋(2－a－1)2， 解得 a＝1. ∴圆心坐标为 C(1,1)，半径长 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
例 4 已知 x，y 满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则 x2＋y2 的 取值范围是___[_2_1_－__8__5_，__2_1_＋__8__5_]_____. 【解析】 x2＋y2 表示圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝16 的动点 P(x，y)与原点 O(0,0)连线段长度 d 的平方， 由于 r－|OC|≤d≤r＋|OC|， ∴4－ 5≤d≤4＋ 5，∴21－8 5≤d2≤21＋8 5. ∴21－8 5≤x2＋y2≤21＋8 5.
解法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)， kAB＝1－－1(－－11)＝－1， ∴弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)， 即 y＝x，则圆心是直线 y＝x 与 x＋y－2＝0 的交点，
由yx＝ ＋xy－2＝0 ，得xy＝ ＝11 .即圆心为(1,1)， 圆的半径为 (1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
命题方向3 ⇨圆的标准方程的综合应用
例3 求过点A(1，－1)、B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2 ＝0上的圆的标准方程. 解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
4.1.1圆的标准方程
y
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
C
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等
O
x
于半径r
根据点到直线的距离公式，得
| 3×1— 4×3 — 7 | 16
r=
=
32+(-4)2
5
因此，所求圆的方程是 (xA
·B (2,-3) 线段AB的中垂线方程：2x+y+4=0…(1) (-2,-5) 又已知圆心在直线上： x-2y-3=0 …… (2)
联解(1)(2)求得交点 Q(-1, -2) 即为圆心坐标
另 r2=QA2=(2+1)2+(-3+2)2=10 ， P124A3,4
所以圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=10 .
设M(x,y)是圆上任意 一点， 根据定义，点M到圆心
A的距离等于r.圆就是集合
P={M| |MA|=r}
y
M
r A(a·,b)
由两点间距离公式， 点M适合的条件可表示为
o
x
反之，若点M(x，y)
的坐标适合方程
(x a)2 ( y b)2 r (x-a)2+(y-b)2=r2 ，
即 (x-a)2 +(y-b)2 =r2
d=r时，点在圆上；
三、求圆的标准方程
待定系数法（确定a、b、r）
例3.已知圆过点 A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心在直线 x-2y –3 =0上，试求圆的方程.
解法1(待定系数法): 设所求圆的方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
中等职业教育规划教材数学(山东省基础类)目录
中等职业教育规划教材数学目录数学—101第一章集合1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合地表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件阅读与实践02第二章2.1一元二次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式阅读与实践03第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用阅读与实践04第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用阅读与实践05第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用阅读与实践06第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2空间几何体的体积阅读与实践数学—207三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像、性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角阅读与实践08第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的直角坐标运算8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量的内积的直角坐标运算阅读与实践09第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量和向式方程9.1.2直线的斜率和点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行99.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程阅读与实践10第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置关系阅读与实践11第十一章概率与统计初步11.1技术的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3简单的随机抽样11.3系统抽样11.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的概率分布估计总体发布11.4.2用样本的数字特征估计数字特征11.5一元线性回归分析。
圆的一般方程
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
D 4
72 (3)2 7D 3E F 0
E
6
22
82
2D
8E
F
0
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 (y 3)2 25
2）D2 E 2 4F 0, 表示： 4
3）D2 E 2 4F 0, 表示： 4
D2 E2 4F 0
自学检测1
1、将下列圆的一般方程化成标准方程
1）x2 y 2 6x 0 （x 3）2 y2 9 2）x2 y2 - 4 y 5 0 x2 （y 2）2 9 3）2x2 2 y2 4x 8 y 5 0
圆的方程为（ x 2）2 （y 3）2 25
1） 2） 3）
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求 半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0
x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都可以写成上面的形式
2、圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
（x D ）2 （y E ）2 D2 E 2 4F
2
2
4
圆心：
半径：
1）D2 E 2 4F 0, 表示： 4
2.几何方法 方法二：
y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、应用举例，强化训练
例2、求过点A(0,1),B(2,1)且半径为 5 的 圆。
解：设圆心坐标为（a,b),则圆的方程应该为 (x-a)2+(y-b)2=5 依题意，得 a2+(1-b)2=5 (2-a)2+(1-b)2=5 解此方程组，得：a=1,b=-1 或a=1,b=3
因此，所求的圆的方程为：
地位 作用
学生 情况
教法 学法
教材 分析
重点 难点
教学 目标
教材地位与作用：
《圆的标准方程》是学生在学习了圆 的基本概念和性质以及直线方程的基 础上，进一步研究用解析法来表示圆。 为今后其他圆锥曲线的学习打下坚实 的基础。
学情分析：
我所教的是职专高一的学生。 大多数学生的数学基础差，理解能 力与计算能力参差不齐，学习数学 的自信心不足，积极性不高。因此， 在教学过程中要面向全体学生，利 用多种教学方法充分调动学生的学 习积极性。
1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C(8,-3)，半径是6； （3）圆心在点C（-6，6），半径是2； （4）圆心在点C（-2，-5），半径是3。 (5)圆心在x轴上，到原点的距离为3 ，圆的半径是1.
二、发现问题，探求新知
课堂练习二：
2.写出下列各圆的圆心坐标和半径
五、布置作业：
课本P101 A组1（1）、（2）；3（2） B组3(1）、（2）、（4）
板书设计：
§9.4.1圆的标准方程 （第一课时） 学生板演 一、圆的 三、例题 定义： 例1： 部分 例2： 二、圆的 标准方程 的推导：
三、应用举例，强化训练
课堂练习二：
3、求满足下列条件的圆的标准方程 （1）圆心为 （0，3），且以线段AB 为直径。
四、归纳小结
1、 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、应用定义法推导圆的标准方程。 3、求圆的标准方程实质就是求 a、b、r。即 待定系数法求圆的标准方程。
（1）（x-1)2+y2=6 （2）(x-1)2+(y-2)2=9 （3）(x-a)2+y2=a2（a>0) (4) (2x-2)2+(2y+4)2=16
三、应用举例，强化训练
例1、 根据下列条件，求圆的标准方程:
（1）圆心在点C(-2，1），并且 过点A（2，-2）； （2）圆心在点C（1，3），并且 与直线3x-4y-6=0相切； （3）过点A(2,3),B（4，9），且 以线段AB为直径。
（x-1)2+(y+1)2=5或（x-1)2+(y-3)2=5.
方法总结:此方法属于待定系数法.
三、应用举例，强化训练
1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法. 2.用待定系数法求圆的标准方程一般步骤为: (1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组; (3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设 方程得所求解方程.
二、发现问题，探求新知
2、用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
求圆心是C(a, b)，半径是r的圆的方程。
y
M (x,y)
．
r
(X-a)2+(y-b)2=r2
O
C (a,b)
x 说明： 1.特点：明确给出了圆心和 半径。 2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。
二、发现问题，探求新知
课堂练习一：
教学设计：
创设情境， 发现问题， 引入问题
探求新知 布置 作业
应用举例， 强化训练
归纳 小结
教学过程
一、创设情境，引入问题
圆？
二、发现问题，探求新知
1、回顾求曲线方程的一般步骤: （1）建立适当的坐标系，用有序实数对例 如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p 的点M的集合 P={M|p(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式；
教学重、难点：
教学重点：圆的标准方程的推导以及根 据具体的条件写出圆的标准方程； 教学难点：确定参数a、b、r
教学关键：圆的标准方程具有明显的 几何意义，方程本身清楚地表明了圆 心坐标和圆的半径。
教法与学法：
1、情景教学法： 创设一定的情景，引导学生“身临其 境”，通过自身对情景的感受，来激发学生的求知欲； 2、演示教学法：利用多媒体演示，辅助教学得出概念 和方程式，使学生有直观的印象。 3、分组讨论法：可以培养学生团结协作的精神，通过 分组讨论合作交流，取长补短，拓展思维。学生在完成 任务的过程中不知觉地实现着 知识的传递、迁移和融合。 4、分层次教学法：针对班内不同学习水平的学生，创设不 同的题组练习，使各层次的学生都能经过努力得到最优发 展。提高了学生参与教学活动的积极性. 5、学法指导：让学生学会分组讨论，学会合 作交流，在教师示范后学会效仿。
教学目标：
1、认知目标：掌握圆的标准方程的推导方法，能根 据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程；也能根 据圆的标准方程熟练地写出圆心坐标和半径。 2、技能目标：通过对圆的标准方程的推导，渗透数 形结合，待定系数等数学思想方法，进一步提高学生 的观察、分析、概括等思维能力。 3、德育目标：通过学习，使学生学会认识事物的 特殊性与一般性之间的关系，通过分组讨论，合作 交流，培养学生团结协作的团队精神；在自主探究 学习的过程中，树立学生的自信心，在课堂练习过 程中培养学生的竞争意识。