集合与函数概念复习

当a = 0 时，方程有解； 当a≠0 时，欲使方程无解，则要使 9 8a 0, a 9 时, A为空集.
8
例3:已知集合A x | ax2 3x 2 0, x R,a R.
(2)若A中只含有一个元素求 a的值,并求出这个元素 ;
当a
=
0
时,方程有一解
x
2 3
;
当a ≠0 时,
即△=9－8a = 0 时,
对于式子３ f (x),应使f (x) R 对于式子[f(x)]０,应使f (x) 0
对于实际问题，应实际问题有意义如S=vt,t须大于或等于零
求值域常用的方法 1.观察法如y=2x+1 2.配方法如y=x2+2x+3 3.换元法如y=x+ 2x 1 4.分离常数法如
y x2 x 1
5.图象法如： y x2 2x 1(x [0,1])
3.元素与集合的关系： a ∈ A a A
4.数集及有关符号: 正整数集 记作 N 或 N 非负整数集（或自然数集）记作N
有理数集 记作Q 实数集 记作R 整数集 记作Z 5. 集合的表示方法: (１)列举法 (2)描述法
集合的基本关系
1.子集的定义：对于两个集合A，B 如果集合A中 任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为
(3).传递性：若A B, B C，则A C .
(4).若集合A的元素个数为n ，则它的子集有 2n.
集合的运算
1.并集的定义: A B {x | x A,或x B}
2.交集的定义: A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3.几个结论: (1).A∪A =A ,A∩A =A ; (2).A∪φ=A, A∩φ= φ; (3).若 A B,则A B B, A B A
4.补集的定义: CU A { x | x U，且x A}
函数的概念
1.函数的定义：
设A,B 是非空数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ，在 集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那
么就称 f : A B 为从集A到集合B的一个函数，
记作 y=f(x), x A. 其中，x 叫自变量，x 的
9. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
2
A
0
2
y
x
2
C
0
2x
y
2
B
0y 2
x
2
D
0
x
2
x+2, (x≤－1)
10. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x,
若f(x)=3, 则x的值是( D
A. 1
B. 1或
3 2
( x≥2 )
7.求下列函数的定义域：
1) f (x) 1 ２）f (x) x 3 x2
3) f(x)= x 3 + 1 x2
函数定义域是使函数有意义的x的取值范围 求函数的定义域依据： 若f (x)是整式，则x R 对于式子 f (x) ,应使g(x) 0 g(x) 对于式子 f (x),应使f (x) 0
5.奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做
奇函数.
6.几个结论: (1)偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇函数的图象关于原点对称.
(3)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条
件是---定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数.
4. 已知{a,b} A a,b,c,d
求满足条件的集合A的个数.
7
解析：A {a,b} B,其中集合B可以是集合{c, d, e}的任意一个真子集。由于集合 {c, d, e}的真子集共有23 1＝7个，所以满足条件的集合A有7个.
【解题指导】本题涉及集合的不同表示 方法，准确认识集合A、B是解答本题的 关键；对(3)也可计算CR(A∪B)。
6、已知集合A＝｛x｜x2-x-6＜0}， B＝｛x｜0＜x-m＜9｝
(1) 若A∪B＝B，求实数m的取值范围； (2) 若A∩B≠φ，求实数m的取值范围.
(1)【-6≤m≤－2】 (2)【-11＜m＜3】
(4)判断一个函数是否为奇(偶)函数还可用
f(-x)Байду номын сангаасf(x)=0或
f (x) f ( x)
.1
映射的定义:
定义：设A,B 是两个非空集合，如果按照某 种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任 意一个元素x ，在集合 B中都有唯一确定的
元素y和它对应，那么就称 f : A B 为从集
A到集合B的一个映射。
16. 设函数 f (x) 2x2 mx 3，已知 f (x 1) 是 偶函数，求实数m的值.
m=-4
17. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任
意实数x都有 f (x 3) f (x) 0 ，若当x [3, 2]
时，f (x) 2x ,求 f (1)的值.
2
f (1) 5
2
18. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在
每节一小步，人生一大步。
必修一: 集合与函数概念
复习
第一章《集合与函数概念》知识结构图
集合的含义
函数的概念
集合的基 本关系
集合的运算
集合 函数 映射
函数的基本性 质
集合的含义
1.集合的含义： 我们把研究对象统称为元素，把 一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
2.集合元素的性质：确定性,互 异性,无序性；
[ 1 ,) 4
14.设定义在[2，2]上的奇函数 f (x)
在区间[-2，2]上单调递减，若 f(m)+f(1-m)<0，
求实数m 的取值范围．
15. 已知f(x)是奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 3x ,求当 x 0时f(x)的解析
式.
f (x) x2 3x(x 0)
2a 1 a 1 当B 时，有a 1 -2
2a 1 5 2 a 3 综上所述，a的取值范围a 3.
3、设集合A {x | x2 4x 0},
B {x | x2 2(a 1)x a2 -1 0,a R}, 若B A，求实数a的值.
解：A {0，- 4}，B A，于是可分类处理. (1)当A B时，B {0，- 4}. 由此知：0，- 4是方程x2 2(a 1) a2 1 0的两根， 由韦达定理得
1 x1
1 x2
x2 x1 x1 x2
作差 变形
由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2
得x2-x1>0
所以f(x1)因此 f(x)=
f(1x2)在>0(,0，即+f∞(x)1上)>是f(减x2)函数。
定号 结论
x
13.已知函数 f (x) ax2 2x 在区间[0，4]上 是增函数，求实数 a 的取值范围.
练习：
1.选择适当的符号填空
0 ∈ φ 0∈｛0｝ Φ ｛0｝ A∩φ = φ A∪φ = A
A∩B A∪B
2.已知 M {x | y x2 1}, N {y | y x2 1, x R}
那么 M N=
（c ）
( A) (B) M
(C) N (D) R
3.已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8} A ∩CIB ={1,2}
(, 0] 上是增函数，f(-2)=0，求不等式
x f (x) 0 的解集.
(2, 0) (2, )
巩固练习
1. 已知集合A y x2 2 ,B y | y x2 2 ,C x| y x2 2 ,
D (x, y)| y x2 2 ,E x | x≥2, 则（ D ）
3
2
例2 :已知集合 : A x | x2 mx n 0 ,B t | (t m 6)2 n 0 ,
若A 3,求集合B.
B = {3,－3}.
例3:已知集合A x | ax2 3x 2 0, x R,a R.
(1)若A是空集, 求a的取值范围 ;
解：(1)A为空集，即方程 ax2 3x 2 0无实数解，
- 2(a 1) 4 a2 1 0 解得 a 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B 时，即B {0}，或B {-4}， 4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解得a 1 B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解得a 1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a 1, 或a 1.
复合函数问题
1. 设f(x)的定义域是[-1,3]，值域为[0,1],试求 函数f(2x+1)的定义域及值域。
• 分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1，
故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范围，进而 得所求定义域；而2x+1已取遍定义域内的每一个 实数，所以值域没有改变。 • 解：由已知-1≤2x+1≤3，得-1≤x≤1。得函数f(2x+1) 的定义域是[-1,1]，值域仍为[0,1]。 • 变：将值域写成y∈[0,1]行吗？0≤y≤1呢？
设函数y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满
足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x) M (或 ) ；
(2)存在x0 ∈I,使得f(x0)=M.则称M是函数y=f(x) 的最大(小)值.
函数的基本性质——奇偶性
4.偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任 意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
CIA ∩B={7,8} CIA ∩CIB={4,5} 求集合A ,B
4
A
1 2
33 66
7B
8
5
解： A ={1,2,3,6} B ={3,6,7,8}
例题：
例1.已知集合A {x | x2 x 6 0}, B {x | mx 1 0},
求m,使B A
m 1 或m 1 或m 0
A. A B; B. B C; C. C E; D. B E
【点评与感悟】解集合问题时，对集合元素的准确识别 十分重要，不允许有半点差错，否则将导致解题的失败。
2.已知A {x | 2 x 5},B {x | a 1 x 2a 1},
B A, 求实数a的取值范围.
解： A，当B ，有a 1 2a 1,即a 2
集合B的子集，记作 A B （或 B A）
2.真子 集的定义：如果集合A B，但存在 元素x B，且x A，集合A是集合B的真子集.
记作 A B
3.集合相等的定义：集合A是集合B的子集，且集 合B是集合A的子集，因此，集合A与集合B相等.
4.子集的性质: (1). 空集是任何集合的子集；
(2).任何一个集合是它本身的子 集；
取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对
应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f (x) x A
叫做函数的值域。
2.函数的三要素: 定义域、对应关系和值域
3.函数三种表示法: 解析法；列表法；图象法。
函数的基本性质——增减性
1.增函数的定义:如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时, 都有f(x1)< f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是增函数. 2.减函数的定义:如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是减函数. 3.最大(小)值的定义:
8
4. 已知集合 M 12，a，
集合
P x
x x
1 2
0，x
Z，
M∩P＝{ 0 }，若M∪P＝S.
则集合S的真子集个数是（ D ）
（A） 8
（B） 7
（C） 16 （D）15
5.已知全集为R，A＝｛y｜y＝x2+2x+2｝， B＝｛x｜y=x2+2x-8｝， 求:(1)A∩B；
(2)A∪CRB； (3)(CRA)∩(CRB)
)
C. 3 D. 3
11.
(1)已知f(x+1)=x2+2x+4,求f(x).
(2)已知y=f(x)是一次函数,且有 f[f(x)]=9x+8, 求f(x).
1
12.证明：函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。
x
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 取值 且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
a9 8
这时A中只有一个元素,为 x 4 . 3
∴a
=
0或
a
9 8
时,
A为单元素集,分别为
2 3
或
4
3
.
例3:已知集合A x | ax2 3x 2 0, x R,a R.
(3)若A中至多只含有一个元素 ,求a的取值范围.
根据(1)、(2)结果, 得a = 0 或 a 9 时,A中至多只有一个元素.