北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法

图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
2．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（ ）个等腰三角形．
A．3
解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD 与△BAC 是等腰三角形，
B．4
C．5
D．6
在△ABD 与△BAC 中，
，∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝32°，∴∠AED＝∠BEC＝72°，∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BE， ∴△ADE 和△BCE 是等腰三角形，∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE，∴△ABE 是等腰三角形，故选：C．
关系?
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACDC， AD=AD，
12
B
C
D
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∴AB=AC.
△ABC是等腰
三角形.
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
应用格式： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边).
练习: 若△ABC 的边 AB＝8cm，周长为 18cm，当边 BC＝ 等腰三角形．
解：∵△ABC 的边 AB＝8cm，周长为 18cm，∴BC+AC＝10cm． ①当 AB＝BC＝8cm 时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意． ②当 BC＝AC＝5cm 时，能构成三角形，符合题意． ③当 AB＝AC＝8cm 时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意． 综上所述，BC 的长度是 8cm 或 5cm 或 2cm 时，△ABC 为等腰三角形． 故答案是：8cm 或 5cm 或 2．
A
B
C
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A
12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC （等角对等边）
不正确，因为都不是在同一个三角形中.
典型例题：
例 1：在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．30°、60°
B．40°、70°
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于 180°； 这与定理“三角形的三个内角之和等于 180°”相矛盾，原命题正确．
课堂小结
等腰三 角形的 判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等 腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已 知定理相矛盾的结果，从而证明原 命题成立.
课后练习：
1．下面叙述不可能是等腰三角形的是（ ） A．有两个内角分别为 75°，75°的三角形 B．有两个内角分别为 110°和 40°的三角形 C．有一个外角为 100°，一个内角为 50°的三角形 D．有一个外角为 140°，一个内角为 100°的三角形
3．在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是 130°，要使△ABC 为等腰三角形，则∠B 的度数是（ ）
A．50°
B．65°
C．50°或 65°
D．50°或 65°或 80°
解：∠A＝180°﹣130°＝50°．
当 AB＝AC 时，∠B＝∠C＝ （180°﹣50°）＝65°；
当 BC＝BA 时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 当 CA＝CB 时，∠A＝∠B＝50°． ∠B 的度数为 50°或 65°或 80°，故选：D．
练习：下列给出的 5 个图中，能判定△ABC 是等腰三角形的有（ ）
A．2 个
解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC 不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，∴∠C＝140°﹣70°＝70°，∴∠B＝∠C，
∴△ABC 是等腰B．三角3形个；
4.如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边 AB 的垂直平分线与边 AB 交于点 E，与边 BC 交于点 D． （1）求∠ADC 的度数； （2）求证：△ACD 为等腰三角形．
解：（1）∵DE 垂直平分 AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝40°， ∴∠B＝∠DAB＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°； （2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，∴CA＝CD， ∴△ACD 为等腰三角形．
C、∵三角形中已知两个内角为 50°、60°，∴第三个内角为 180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴这个三角形不是等腰三角形，故选项 C 不符合题意；
D、∵三角形中已知两个内角为 100°、30°，∴第三个内角为 180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴不是等腰三角形，故选项 D 不符合题意；故选：B．
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗? 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
A
B
C
小明是这样想的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB
与AC要么相等,要么不相等.
C
A B
假设AB=AC, 根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾， 因此AB≠AC.
数为 6 个，故选：D．
练习：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，CE 交 BD 于点 O，那么
图中的等腰三角形个数（ ）
解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝
＝72°，
A．4
∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝∠A＝36°，
练习：在△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF∥AB 交 AE 的延长 线于 F． （1）若∠BAC＝120°，求∠BAD 的度数． （2）求证：△ADF 是等腰三角形．
解：（1）解：∵△ABC 是等腰三角形，D 为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°； （2）证明：∵△ABC 是等腰三角形，D 为底边的中点，∴AD⊥BC 即∠ADB＝90°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°， ∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∴△ADF 是等腰三角形．
解：A、有两个内角分别为 75°，75°的三角形，另一内角为 30°，可以构成等腰三角形； B、有两个内角分别为 110°和 40°的三角形，另一内角为 30°，不能构成等腰三角形， C、有一个外角为 100°，一个内角为 50°的三角形，与外角相邻的内角是 80°，第三个 角是 50°，可以构成等腰三角形； D、有一个外角为 140°，一个内角为 100°的三角形，与外角相邻的内角是 40°，另外一 个内角是 40°，可以构成等腰三角形．故选：B．
C．5 个
D．6 个
∴∠EAC＝∠C，∴△ACE 是等腰三角形，AE＝CE，∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED
＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，∴∠BAE＝∠AED，
∴△BAE 是等腰三角形，BA＝BE，同理：△CAD 是等腰三角形，则图中等腰三角形的个
C．4 个
D．5 个
图③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°，∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，
∴△ABC 是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝
60°，∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，∴△ABC 是等腰三角形；
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 这与“___经__过__直__线__外__一__点__,_有__且__只__有__一__条__直__线______ _与__已__知__直__线__平__行___”矛盾. 所以_假__设__不__成__立__,即求证的命题正确.
l3
P
l1
l2
练习：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60 度． 已知: 三角形ABC 求证: 至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于 60°，即都大于 60°；
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
复习引入
问题1：等腰三角形的性质定理？
等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)．
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的条件和结论分别是什么？
条件：一个三角形是等腰三角形
A
结论：相等的两边所对应的角相等
B
C
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不成立,从而肯定命题的结论 正确.
例5：求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另 一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设__l3_与__l2_不__相__交__,那么__l_3_∥__l2___. 因为已知__l_1∥__l_2___,
A．3 个
解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC 是等腰三角形，∠B＝∠C＝ （180°﹣108°）
＝36°，∵BD＝AD＝AE，∴△ABD、△ADE 是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED
＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，
B．4 个
cm 时，△ABC 为
例 4：如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，BD＝AD＝DE＝AE＝CE． （1）求∠DAE 的度数； （2）求证：△ABC 是等腰三角形．
解：（1）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE 是等边三角形，∴∠DAE＝60°； （2）证明：∵△ADE 是等边三角形∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD，∵∠ADE＝∠B+∠BAD∴∠B＝30°，同理∠C＝30°， ∴∠B＝∠C，∴△ABC 是等腰三角形．
∴AE＝CE，AD＝BD，BO＝CO，∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC 是等腰三角形，
∵∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCE＝72°，∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝72°，∠
EOB＝∠DOC＝∠CBD+∠BCE＝72°，∴∠BEO＝∠BOE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CDO＝
∠COD＝72°，∴BE＝BO，CO＝CD，BC＝BD＝CE，∴△BEO，△CDO，△BCD，△