长汀一中2012年招收初中保送生考试数学模拟试题

长汀一中2012年招收保送生考试 数学模拟试题
长汀一中2012年招收初中保送生考试
数 学 模 拟 试 题
（考试时间：90分钟 满分：100分）
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。

每题的四个选项中，只有一个正确。

） 1．已知m ＞n ＞0，且m 2
＋n 2
=4mn ，则m 2－n 22mn
的值等于
A ． 3
B ． 5
C ． 6
D ．2 3 2. 若b 是无理数，且ab +9=3a +3b ，则a 2012的个位上的数字是 A ．9 B ． 7 C ． 3 D ． 1 3. 已知整数x ，y 满足 x ＋2
y =50 ，那么整数对(x ，y )的个数是 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
4. 如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一
直角边与最上面的直线重合．然后绕直角顶点顺时针旋转 30°，恰好B 点在中间的一条直线上，A 点在下面的一条直 线上．上、中两平行线间的距离是m ，中、下两平行线间的
距离是n ，那么n :
m 等于
A. 3 ∶1
B. （ 3 －1）∶1
C. （ 3 ＋1）∶1
D. 2∶ 3
5. 用三种正多边形的地砖铺地，某顶点拼在一起，各边完全吻合，全覆盖地面，设三种正
多边形的地砖边数分别为x ，y ，z ，那么下列等式成立的是 A. 1x ＋1y ＋1z =1 B. 1x ＋1y =1
z C. 1x ＋1y ＋1z =12 D. 1x ＋1y ＋1z =2z
6. 如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作 直线切半圆于点F ，交AB 于点E ，则△DAE 与直角梯形 EBCD 的周长的比值为 A. 34 B. 45 C. 56 D. 67 7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2，a ) ( a ＞2)，半径为 2，函数y =x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为2 3 ，则a 的值是
A ．2 2
B ．2＋ 2
C ．2 3
D ．2＋ 3
8．若二次函数y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(－1，0)，则 S = a ＋b ＋c 的值的变化范围是
A. －1＜S ＜1
B. 0＜S ＜1
C. 0＜S ＜2
D. 1＜S ＜2
（第4题）
（第6题）
A B
E
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9. 已知a 、b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，那么1，a ＋1，2a ＋b ，a ＋b ＋1这四个数据的
平均数与中位数的差的绝对值是 .
10. 两个同样大小的正方体形状的积木，每个正方体上相对的两个
面上写的数字之和都等于－1，现将两个正方体并排放置.看得见
的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等
于 . 11．某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为
60%.当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%.那么当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，这个商人得到的总利润率是 . 12. 有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.
现在将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的 分式方程
1－ax x －2 ＋2= 1
2－x
有正整数解的概率为 . 13. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =130°，M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，MP ⊥CD 于P ，
则∠PNC 的度数是 .
14. 如图，直线y =－
3 3 x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y = k
x
在第一象限交于B 、C 两点，且AB ·AC =4，则k 的值等于 .
15. 若不等式(2m －3k )x ＞7m －5k 的解集是x ＜2
3 ，则不等式(7m －3k )x ＞2m －5k 的解集
是 .
16. 关于x 的方程x 2－2│x │＋2=m 恰有3个实数根，则m 的值等于 .
三、专心解一解（本大题共6小题，满分52分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分6分） 已知a 、b 均为不超过4的正整数，且b ≠2a ，关于x 、y 的方程组 只有
正数解，求a 、b 的所有可能值．
（第13题） 1 2 3
4 5
（第10题）
ax ＋by =3，
x +2y = 2.
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18．（本题满分9分）
如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD =2DA ，∠BAC =45°，∠BDC =60°， • CE ⊥BD ，E 为垂足，连结AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出所有
相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积比．
19．（本题满分8分）
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC =BC ，D 为⊙O 中AB 上
一点，延长DA 至点E 使CE =CD .
（
1）求证：AE =BD ；
（2）若AC ⊥BC ，求证：AD ＋BD = 2 CD
20. （本题满分8分）
若a 、b 、c 是△ABC 的三边，a 、b 、是关于x 的方程x 2－(4＋c )x ＋4c ＋8 =0的两 个实数根，且满足25a ·sin A =9c .
（1）试判断△ABC 的形状并说明理由； （2）求a 、b 、c 的值.
B
E D （第18题）
（第19题）
21. （本题满分11分）
如图，已知抛物线y=ax2＋3ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A 在点B的左侧，点B的坐标为(1，0)，OC=3OB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点A、C、E、P为顶点且以AC为
P的坐标；若不存在，请说明理由.
22. （本题满分10分）
设a1，a2，…a2012都是整数，且每个数a i（i =1，2，…2012）都满足﹣1≤a i≤2，若a1＋a2＋…＋a2012=100，a12＋a22＋…＋a20122=2012. 求a15＋a25＋…＋a20125的最小值与最大值，并分别求出此时这列数中﹣1，0，1，2的个数分别是多少？
（第21题）（第21题备用图）。