湖口县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

湖口县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列四个命题中的真命题是（
）
A ．经过定点的直线都可以用方程表示
()000,P x y ()00y y k x x -=-B ．经过任意两个不同点、的直线都可以用方程()111,P x y ()222,P x y ()()()()121121y y x x x x y y --=--表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
表示1x y
a b
+=D ．经过定点的直线都可以用方程表示
()0,A b y kx b =+2． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ）
A ．命题p 一定是假命题
B ．命题q 一定是假命题
C ．命题q 一定是真命题
D ．命题q 是真命题或假命题
4． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A ．y=x+1
B ．y=﹣x 2
C ．
D ．y=﹣x|x|
5． 已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（
）
A ．5
B ．18
C ．24
D ．36
6． 若当时，函数（且）始终满足，则函数的图象大致是R x ∈|
|)(x a x f =0>a 1≠a 1)(≥x f 3
|
|log x x y a =（
）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．7． 设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．0
D ．4
8． 已知平面向量与的夹角为，且，，则（
）
3
π
32|2|=+b a 1||=b =||a A ．
B ．
C ．
D ． 39． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3πa 2
B ．6πa 2
C ．12πa 2
D ．24πa 2
10．已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣2
11．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ）A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
12．已知函数，其中，对任意的都成立，在12
2
()32f x x ax a =+-(0,3]a ∈()0f x ≤[]1,1x ∈-和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）
T T =A ．
B ．
C ．
D ．2015
2
2015
3
20152
3
20152
2
二、填空题
13．已知，，与的夹角为，则
．
||2=a ||1=b 2-a 13
b 3
π
|2|+=a b 14．若函数f （x ）=
，则f （7）+f （log 36）= ．
15．已知1
a b
>>，若
10
log log
3
a b
b a
+=，b a
a b
=，则a b
+= ▲．
16．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则= ．
17．已知f（x）=，则f[f（0）]= ．
18．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
三、解答题
19．已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在
的零点个数．
20．已知函数f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
21．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．
（1）求a2；
（2）求数列{a n}的通项公式a n；
（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0），
斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
23．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．
24．（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直
1C 14
82
2=+y x 21F F 、1F 于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
2l P 2PF 2l M （1）求点的轨迹的方程；
M 2C （2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积2F BD AC 、D C B A 、、、ABCD 的最小值.
湖口县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 2．【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
3．【答案】D
【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，
又∵命题“非p”也是假命题，
∴命题p为真命题．
故命题q为可真可假．
故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．　
4． 【答案】D
【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x 2不是奇函数；
是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．　
5． 【答案】D
【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x 4﹣2r ，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a 5，∴a 3a 7=a 52=36，故选：D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　
6． 【答案】C
【解析】由始终满足可知．由函数是奇函数，排除；当时，|
|)(x a x f =1)(≥x f 1>a 3
|
|log x x y a =
B )1,0(∈x ，此时，排除；当时，，排除，因此选．0||log <x a 0|
|log 3
<=
x
x y a A +∞→x 0→y D C 7． 【答案】B
【解析】解：因为f （x ）+f （y ）=f （x+y ），令x=y=0，
则f （0）+f （0）=f （0+0）=f （0），所以，f （0）=0；再令y=﹣x ，
则f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0，所以，f （﹣x ）=﹣f （x ），所以，函数f （x ）为奇函数．又f （3）=4，
所以，f （﹣3）=﹣f （3）=﹣4，
所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．
8．【答案】C
考点：平面向量数量积的运算．
9．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
10．【答案】D
【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，
∴•k=﹣1且=k•+b，
解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，
故选：D．
11．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得
2
2
()32f x x ax a =+-()0f x ≤[]1,1x ∈-()()
10
10f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等
3a ≥1a ≤-(0,3]a ∈3a =122015,...a a a 2015比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，
T 122015...a a a =A 201521...T a a a =A ()
()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，故选C.
T =2015
2
3
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.
二、填空题
13．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．与的夹角为，，a b 23
π
1⋅=-a b ∴．
|2|+=
a
b 2==14．【答案】　5　．
【解析】
解：∵f （x ）=，
∴f （7）=log 39=2，f （log 3
6）=+1=，
∴f （7）+f （log 36）=2+3=5．
故答案为：5．　
15．
【答案】【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101
log log log log 33log 33a b b b b
b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），
因此3a b =，因为b a a b
=
，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==
a b +=考点：指对数式运算16．【答案】　（﹣，
）　．
【解析】解：∵，
，
设OC 与AB 交于D （x ，y ）点
则：AD ：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
17．【答案】　1　．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
18．【答案】　2　．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
∴f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，
∴最小正周期T==4π，
2kπ﹣≤+≤2kπ+，
则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；
（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，
∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，
∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣）≤1，
∴0≤sin（x﹣）+≤，
∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是2；
当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是1．
【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）=sin2x+cos2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
故f（x）的单调减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，（2x+）∈[0，]，2sin（2x+）∈[0，2]，
所以，f（x）的值域为[0，2]．
21．【答案】
【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，
∴a2=4…1；
（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，
∴a n+1=3a n﹣2，
∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，
∴，
∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，
∵，
∴，
∴；
（3）∴ (8)
∴① (9)
∴②
①﹣②得：，
=
，
=（2﹣2n ）×3n ﹣4， (11)
∴
(12)
【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n 项和，考查计算能
力，属于中档题．22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵直线l 过点P （1，0），斜率为，
∴直线l 的一个参数方程为
（t 为参数）；
∵ρ=ρcos2θ+8cos θ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cos θ，即得（ρsin θ）2=4ρcos θ，∴y 2=4x ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ．（Ⅱ） 把
代入y 2=4x 整理得：3t 2﹣8t ﹣16=0，
设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则，
∴
．
【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
23．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x 的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝－2x ＋a ＋a 2
x
＝.
－2（x ＋a
2
）（x －a ）
x
①当a ＜0时，由f ′（x ）＜0得x ＞－，
a 2
由f ′（x ）＞0得0＜x ＜－.
a 2
此时f （x ）在（0，－）上单调递增，
a 2
在（－，＋∞）上单调递减；
a
2
②当a ＞0时，由f ′（x ）＜0得x ＞a ，由f ′（x ）＞0得0＜x ＜a ，
此时f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a ，∵x ∈[1，e]时，f （x ）∈[e －1，e 2]，∴f （1）＝－1＋a ≥e －1，即a ≥e ，①由（1）知f （x ）在（0，a ）上单调递增，∴f （x ）在[1，e]上单调递增，
∴f （e ）＝－e 2＋a e ＋e 2≤e 2，即a ≤e ，②由①②可得a ＝e ，故存在a ＝e ，满足条件．
24．【答案】（1）；（2）.x y 82
=9
64【解析】
试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接，由垂直平分线的性质可得，运用抛物线的定2MF 2MF MP =义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四AC BD 边形面积．当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直
ABCD 2
2b S =AC BD AC ()2-=x k y 线的方程为．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得，BD ()21
--
=x k
y AC ．
利用四边形面积即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，
BD ABCD BD AC S 2
1
=即可得出．
（2）当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，，，则直线的斜率为，AC AC ),(11y x A ),(22y x C BD k
1
-
直线的方程为，联立，得.111]
AC )2(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y 0888)12(2
222=-+-+k x k x k ∴，.2221218k k x x +=+2
221218
8k
k x x +-=
.由于直线的斜率为，用代换上式中的。

可得1
2)1(324)(1||22212
212
++=-+⋅+=k k x x x x k AC BD k 1-k 1
-
.
2
)
1(32||22++=k k BD ∵，∴四边形的面积.
BD AC ⊥ABCD )
12)(2()1(16||||21222
2+++=⋅=k k k BD AC S 由于，∴，当且仅当，即222222
2
]2)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k 9
64≥
S 1222
2+=+k k 时取得等号.
1±=k 易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积.AC ABCD 8=S 综上，四边形面积的最小值为.ABCD 9
64考点：椭圆的简单性质．1
【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得,运用抛物线的定义,即可得所求的||||2MF MP =轨迹方程.第二问分类讨论,当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为.当直线
AC BD 2
2b 和的斜率都存在时,分别设出的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得
AC BD BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.
BD AC ,。