金立军 中国电力出版社 电磁场与电磁波答案

Ex 和 Ey 。由
电荷分布以 y 轴为对称，左右两部分产生的 Ex 分量 相互 抵消。因此，仅需考虑电场强度 的 Ey 分量，即
y dl

O E a x
ldl dE dEy sin 2 4 0a
考虑到 dl ad , l 0 sin ，代入上式求的合 成电场强度为
② 由上面已求出的球内电荷分布，可以得到球内总电荷量 Q 为
Q dV
V
a
6 0r 3 a
4
0
24 0 r 6 4 r dr 4 0 a 2 4 60 a
2
a
故得球外表面等效电荷面密度为
s
③球壳电位 。
2Q 8 0a 2 2 0 4 a 2 4 a 2
1 1 a1 r0 2
③由 E1max E2max 得
故
1 r0 2 a
2-11 两同轴圆柱之间， 0 0 部分填充介质电常数为 的介质，如图 2-11 所示，求单 位长度电容。 解：根据边界条件，在两种介质的分界面处，有
E1t E2t E
设同轴线单位长度带电 l ，可以用高斯定理解得
外表面上束缚电荷面密度为
q 4 a
2
(1
0) q 4 a 2
s e n P e r P ( 0)
q 4 b
2
(1
0) q 4 b 2
2-9 半径为 a 的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜。球内充满总电荷量为 Q 的电 荷，球壳上又充了电荷量 Q 。已知内部的电场为 E e r (r / a) ，设球内介质为真空。试求：
a E ' dr a
④球心电位 0 。


2Q 4 0 a
dr 2
Q 2 0 a

4 0a 2 2a 2 0a
a a 4 2Q 1 dr a 2a 2.2a 0 0 E dr a E ' dr 0 r 4dr a 2 4 0 a 5 a
下面一根线在 O 点产生的电场，依据库伦 定律 dEy1
l sin dx 可得 4 0 R 2
y -q dx
Ey1
l (cos 1 cos 2) 4 0r
dE1 d O θ
2
dE2 R θ
1
而 l q / d , 1 45 , 2 135 , r d / 2, 所以
取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面为高斯面由高斯定理求得在两种介质的分界面上电场强度的切向分量必须连续即单位长度内的电荷量为图212故同轴电容器中的电场强度为ln由于电场强度在两种介质的分界面上无法相分量故此边界上的电荷密度为零
电磁场 与 电磁波
习题与解答
第二章 静电场
2-1 已知分布在半径为 a 的半圆周上的电荷线密度 l 0 sin ， 0 ，试求圆心处 的电场强度。 解：建立直角坐标系，令线电荷位于 xy 平面，且以 y 轴为对称，如习题图 2 1 所示。那么 点电荷 ldl 在圆心处产生的电场强度具有两个分量
求解
r a : E1 0
a r b : 2 rlE 2 r b : 2 rlE 3
2 al 1
2 al 1 2 bl 2
0
则 E2
a 1 2b ②令 E 3 0 r 0
得
0
a 1 ar r 0 a 1 2b 则 E3 ar r 0
2-10 已知同轴电缆内、 外导体半径分别为 a 和 b ， 其间填充两层介质， 介质分界面半径为 r0 ， 内、外导体间加电压为 V ，求①各层介质中的电场强度 E ；②算出各层介质中的最大场强； ③欲使两层介质中的最大场强相等，两层介质满足什么条件？ 解：①设同轴电缆单位长带电荷 l ，根据高斯定理求出
x
Ey1
q/d 2q ( 2 / 2 2 / 2) 4 0d / 2 2 0d 2
+q
d
dx
上面一根线在 O 点处产生的电场与上式相同。 故两根线在 O 点产生的电场为
图 2-4
Ey
2q
0d 2
2-5 两个无限长的 r a 和 r b （ b a ）的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度 1 和 2 。 ①计算各处的 E ；②欲使 r b 处 E 0 ，则 1 和 2 应具有什么关系？ 解：①利用高斯定理
l 1 tan 30 3l 2 6
线电荷密度为 l1 的线段在 P 点产生的电场 E1 ，因 对称性只有 y 分量，大小为
z E2
l1 l1 3 3 3 l 1 E1 E1 y (cos 30 cos150 ) ( ) ρl3 4 0b 2 2 0l 4 0 3 / 6l 2
E
D
0

q 4 0r
2
er
在 a r b 区域内，电场强度为
E
在 r b 区域内，电场强度为
D

D

q 4 r
q 4 0r
2
er
E
再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
0

2
er
由于 P ( 0) E ，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
s e n P e r P ( 0)
4
① 球内电荷分布；②球壳的外表面电荷分布；③球壳的电位；④球心的电位。 解：①利用高斯定律的微分形式可求出球内电荷分布，即电荷体密度。
0 E 0
1 2 r 4 6 0r 3 1 2 ( ) r E r 0 2 r (r 4 ) 4 2 a a r r r
3 l 1 3 l 1 cos 60 4 0l 8 0l 3 l1 3 l1 3 l1 3 l1 2 0l 8 0l 8 0l 4 0l
Ey E1 y E 2 y E 3 y
2-4 有两根长度均为 d 相互平行的均匀带电直线，分别带等量异号的电荷 q ，它们相隔距 离为 d ，试求此带电系统中心处的电场。 解：如图 2-4 所示，由于对称性，两根线上对称位置的两对线元，在中心 O 处产生的电场， 其 x 分量相抵消为零，只有 y 分量。
图 2 1
E e y

0
0 0 2 sin d ey 4 0a 8 0a
z P(0,0,z)
2-2 已知均匀分布的带电圆盘半径为 a ，面电荷密度 为 s ，位于 z 0 平面，且盘心与原点重合，试求圆 盘轴线上任一点电场强度 E 。 解: 如习题图 2-2 所示， 在圆盘上取一半径为 r ， 宽度 为 dr 的圆环， 该圆环具有的电荷量为 dq 2 rdr s 。 由于对称性，该圆环电荷在 z 轴上 任一点 P 产生的电厂强度仅有 z 分量。所以该圆环电 荷 在 P 产生的电场强度 z 分量为
2
故电容为
C
q 2 ab( 1 2) U ba
2-8 已知内半径为 a ，外半径为 b 的均匀介质球壳的介电常数为 ，若在球心放置一个电荷 量为 q 的点电荷，试求：①各区域中的电场强度；②介质壳内、外表面上的束缚电荷。 解：先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理
在 0 r a 区域中，电场强度为
l
ln
b a
l
U

0 (2 )
ln(b / a)
2-12 设同轴圆柱电容器的内导体半径为 a ，外导体半径为 b ，其内一半填充介电常数为 1 的介质，另一半填充介质的介电常数为 2 ，如图 2-12 所示。当外加电压为 U 时，试求： ①电容器中的电场强度；②各边界上的电荷密度；③电容及储能。 解：①设内导体的外表面上单位长度的电荷量为 q 。外导体的内表面上单位长度的电荷量为 q 。取内、外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面为高斯面，由高斯定理
E1t E 2t Er
由于场分布具有对称性，可利用高斯定律得
1Er 2 r 2 2Er 2 r 2 q
Er
内外导体间的电压为
q 2 r ( 1 2)
2
U Er dr
a1 1 ( ) 2 r ( 1 2) 2 ( 1 2) a b
0
r dr
y
x
图22
dEz
zr sdr 2 0(r 2 z 2)
3/2
那么，整个圆盘电荷在 P 产生的电场强度为
Ez e z
s a zrdr z z ez s ( ) 3/2 2 2 2 2 0 2 0 (r z ) 2 0 z a z
2-3 三根长度均为 L ，均匀线电荷密度分别为 l1, l 2, l 3 的线电荷构成等边三角形。设 、 l1 2 l 2 2 l 3 ，计算三角形中心处的电场强度。 解：如图 2-3 所示，设等边三角形位于 yOz 平面，其中心点为 P ，中心点到各边之间的距 离为 b
ρl1
同理，线电荷密度为 l 2 ， l 3 的线段产生 的电场 E 2, E 3 ，大小为
P
E1 ρl2 y
0
E3
E 2 E3
3 l 2 3 l 1 2 0l 4 0l
x
图 2-3
由图可见， E 2 与 E 3 叠加后也只有 y 分量，
E 2 y E3y
所以正三角形中心点处的电场为
a
b

0 0
D1r D2 (2 )r E r 0 E (2 )r l
则
E
l 0 (2 ) r
同轴线内、外导体间电压 U 图 2-11 所以单位长度的电容为 C0

b
a
Edr
0 (2 )
求得 r ( D1 D 2) q 已知 D1 1E1, D 2 2 E 2 ，在两种介质的分 界面上电场强度的切向分量必须连续， 即 E1 E 2 ，求得
同轴线获得最高耐压，应在保持内，外导体之间的电位差 U 不变的情况下，使同轴线内最 大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面 r a 处的电场强度达到最小值。因为同轴线 单位长度内的电容为
C1
q1 2 2 q1 U b U ln( b ) ln( ) a a
则同轴线内导体表面 r a 处电场强度为
b U E (a ) ( ) a b b ln( b ) a ln( ) a a b b 令 b 不变，以比值 为变量，对上式求极限，获知当比值 e 时， E (a) 取得最小值，即 a a U
同轴线获得最高耐压。 2-7 一同心球电容器由半径为 a 的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为 b ，球 与壳间的一半（沿径向分开）充满介电系数为 1 的均匀介质，另一半充满介电系数为 2 的 均匀介质，试求该球形电容器的电容。 解：在 1 与 2 两种介质的分界面上有
U U ; E2 1 r 1 b 1 r 1 b r1 ( ln 0 ln ) r 2 ( ln 0 ln ) 1 a 2 r0 1 a 2 r0
②各层介质最大场强出现在 r a, r r0 处
E1max
U U ; E2max 1 r 1 b 1 r 1 b a1 ( ln 0 ln ) r0 2 ( ln 0 ln ) 1 a 2 r0 1 a 2 r0
1 b 2 a
2-6 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为 a ，外导体的内半径为 b 。若填充介质的相对介电 常数 r 2 。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内、外导体半径之比。 解：已知若同轴线单位长度内的电荷量为 q1 ，则同轴线内电场强度 E
2 r
q1
e r 。为了使
E1
内、外导体间的电压为
l l ; E2 2 r1 2 r 2
U E1dr E2dr
a r0
r0
b
l 1 r0 1 b ( ln ln ) 2 1 a 2 r0
故
l
2 U 1 r0 1 b ln ln 1 a 2 r0
得
E1