湖北省襄阳市第五中学届高三数学五月模拟考试试题(一)文

湖北省襄阳市第五中学2021 届高三数学五月模拟考试试题〔一〕文
考试时间： 2021 年 5 月 3 日
一、选择题：此题共12 个小题，每题 5 分，共60 分 .在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项符合题目要求的.
1.集合U R ， A { x Z | x25} ， B { x | x2 (2 x)0} ，那么图中
阴影局部表示的集合为
A．{2}B．{1,2}
C．{0, 2}D．{0,1, 2}
2.复数 z 5 12i 〔i是虚数单位〕，那么以下说法正确的选项是
A．复数z的实部为5B．复数z的模为13
C．复数z的共轭复数为 5 12i D．复数z的虚部为12i
3.以下茎叶图中的甲，乙的平均数，方差，极差及中位数，相同的是
A．极差B．方差
C．平均数D．中位数
4.以下说法中正确的选项是
A．“a b〞是“a2b2〞成立的充分不必要条件
B．命题
:, 2x
0 ，那
么x0 p x R p :x0 R, 20
C．为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 40 的样本，那么分组的组距为40
D．回归直线的斜率的估计值为1.23 ，样本点的中心为(4,5)，那么回归直线方程为
^
.
5. 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图〞，用数形结合的
方法给出了勾股定理的详细证明. 如下图的“勾股圆方图〞中，四个
全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，假设
直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖
6
落在小正方形内的概率是
A. 13
B.3
C. 4
3 D.3
2244 6.刘徽?九章算术注?记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，
其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也〞
. 意即把一长方体沿对角
面一分为二， 这相同的两块叫做堑堵， 沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两
块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值
2 :1 ，这一结论今称刘徽原理 . 如
图是一个阳马的三视图，那么其外接球的体积为
A ． 4
B ． 3
C ． 3
D ．
3 2
7. 函数 f x
Asin x
( A 0,0,0
) 的局部图像如下图，其中
2
点 P 是图像的最高点； 假设将函数 f x 的图像上点的纵坐标不变， 横
坐标缩短到原来的
1
，再向右平移
个单位，所得到的函数
g x 的解析式为
4
6
A. g x
2sin 1
x
B.
g x
2sin2x
4
C. g x
2sin 1 x
D.
g x
2sin 2x
4
6
6
8. 假设 a 1， 0 c b 1，那么以下不等式错误的选项是
A ． log 2021 log 2021 ． a
b B log b a log
c a
C. ( a
c)a c (a c)a b D ． (c b)c a
(c b)b a
9. 函数 y
sin 2x 的局部图象大致为
1 cos x
A ． B
．
C.
D ．
10. 执行如下图的程序框图，假设
x
a ，
b ，y
0 ，4 ，那
么
b a 的最小值为
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
11. 抛物线y24 x 的焦点为F， A( x1 , y1) ， B(x2 , y2 ) 是抛物线上两动点，假设
AB 3
( x1x22) ，那么 AFB 的最大值为2
A．5
B ．
2
C ．
3
D ．
6343
12. 函数 f (x)(x2x 1)e x，设关于 x 的方程f2( x) mf (x)5(m R) 有n个不
e 同的实数解，那么n 的所有可能的值为
A． 3B． 1 或 3C． 4 或 6D． 3 或 4 或 6二、填空题：此题共 4 个题，每题 5 分，共20 分 .
13. 已知向量a, b满足|a | 1， | a b |7 ， b ( 3, 1) ，那么 a, b 的夹角等
于.
14.假设点( ,0)是函数 f ( x) sin x 2cos x的一个对称中心，那么
cos2sin cos.
15.直线 l :3x y m0 与双曲线
x2y2
1(a 0,b0) 右支交于M , N两C :22
a b
uuuur uuur r
点，点 M 在第一象限，假设点 Q 满足 OM OQ 0 〔其中O为坐标原点〕，且
MNQ300，那么双曲线 C 的渐近线方程为__________．
16.已知函数 f x2x33mx2 3 m n x 1 的两个极值点分别为 x1 , x2，且
x10,1 , x21,，假设存在点
P m, n在函数 y log a x 4 a 1 的图象上，
那么实数 a 的取值范围是
__________．
三、解答题〔本大题共 6 小题，共70 分 . 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〕
17.等差数列a n的前 n 项和为S n，数列 b n是等比数列，满足a1 3 ， b1 1 ，
b2 S210 ， a52b2a3．
〔 1〕求数列a n和b n的通项公式；
2
,n是奇数
〔 2〕令c n s n, 设数列c n的前 n 项和 T n，求 T2n．
b n，n是偶数
18.如图，在长方形 ABCD 中，AB 4 ，BC 2 ，现将ACD 沿 AC 折起，使D折到
P 的位置且 P 在面ABC的射影 E 恰好在线段AB 上.
〔Ⅰ〕证明：AP PB ；
〔Ⅱ〕求三棱锥P EBC 的外表积.
19. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如
下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生5
女生10
合计50
3在全部50 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为5
.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
(3)喜爱打篮球的 10 位女生中， A1，A2，A3还喜欢打羽毛球， B1，B2，B3还喜欢打乒
乓球， C1， C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8 位女生中各选出 1 位进行其他方面的调查，求B1和 C1不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
k
2n(ad - bc)2
( 参考公式： K ＝，其中 n＝a＋b＋c＋d)
(a b)(c d)(a c)(b d)
20.圆C：(x1)2y28 ，过D (1,0)且与圆 C 相切的动圆圆心为P .
（1〕求点P的轨迹E的方程；
（2〕设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两
点，且 l1l 2，垂足为 W 〔Q，R， S ，T为不同的四个点〕.
x 22
①设 W( x0 , y0 ) ，证明：0y0 1 ；
2
②求四边形 QRST 的面积的最小值.
21. 函数 f ( x)a(x 2)e x b( x 2)2，
〔Ⅰ〕假设函
数 f ( x) 在 (0, f (0))处的切线方程为 5x y 20 ，求a，b的值；
〔Ⅱ〕假设
a 1 ，
b R 求函数f (x) 的零点的个数.
请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.
22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程
x2y 2
x 轴的正半轴为在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为1，以原点为极点，
168
极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极
坐标方程为2 2 cos 1 0 .
〔Ⅰ〕求曲线C1、 C2的参数方程；
〔Ⅱ〕假设点M 、N分别在曲线C1、C2上，求MN的最小值.
23.选修 4-5 ：不等式选讲
a,b,c 均为正数，函数 f ( x) x 1 x5
〔Ⅰ〕求不等式 f (x)10 的解集；
〔Ⅱ〕假设 f ( x) 的最小值为m，且a b c m ，求证：a2b2c2 12
襄阳五中2021 届高三年级五月模拟考试〔一〕
数学试题〔文科〕参考答案
一、选择题：1— 5:CBCDA 6 — 10:DDCAA 11 — 12:BA
二、填空题： 13.
3
14.115.y x 16. 1a3
三、解答题
17. 〔 1〕设数列a n的公差为 d ，数列b n的公比为 q ，由b2S2 10， a5 2b2a3，
得 {
q6d10,
解得 {
d2,
〔 4 分〕4d2q32d,q2,
3
∴ a n 3 2 n 1 2n1，b n2n 1．(6分)〔2〕由a1 3 ， a n2n 1，得 S n n n 2 ，〔7分〕
那么 n 为奇数时，c n 211
，〔 8 分〕S n n n2
n 为偶数时，c n2n 1，〔9分〕
∴ T2 n c1c3c
2 n 1c2c4
c
2 n
= 111111
12 2322 n 1〔10分〕
3352n12n
11
12(14n )2n
1
2 (4n1) ．〔12分〕
2n142n3
18. 〔Ⅰ〕由题知PE平面 ABC ，又 BC 平面 ABC ，∴ PE BC ；又 AB BC 且 AB I PE E ，∴ BC平面 PAB ；〔2分〕
又 AP平面 PAB ，∴BC AP ；
又 AP CP 且 BC I CP C ，∴AP平面 PBC ；〔4分〕
又 PB平面 PBC ，所以AP PB .〔6分〕
〔Ⅱ〕在 PAB 中，由〔Ⅰ〕得 AP PB ， AB 4 ， AP 2 ∴
PB 2 3
223
, PE43
∴BE 3〔7分〕
∴ S PEB 1 33 3 3〔 8 分〕
22
在EBC 中， EB3， BC 2 ，∴S EBC132 3 ，〔9分〕
2
在PEC 中， EC EB2BC213 ∴S PEC131339，〔10 分〕
22
∴ S PBC 1
BC PB23 2 2 3 ，〔11分〕22
所以三棱锥 P EBC 的外表积为
S S
PEB
S
EBC
S
PEC
S
PBC
33
3
39
2
73396
2232〔 12 分〕
19. (1) 列联表补充如下：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生20525
女生101525
合计302050〔2 分〕
(2)是，理由：∵
250×〔 20×15－10×5〕2
K ＝30×20×25×25≈8.333>7.879 ，
∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．〔6 分〕
(3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 位，其一切可能的
结果组成的根本领件如下：
(A1，B1， C1) ， (A1，B1， C2) ， (A 1，B2， C1) ， (A 1，B2， C2) ， (A 1， B3， C1) ， (A 1， B3，C2) ， (A 2，B1，C1) ， (A 2， B1， C2) ，(A 2， B2， C1) ， (A2，B2， C2) ， (A 2， B3， C1) ， (A 2， B3， C2) ，(A 3， B1，C1) ， (A3， B1， C2) ， (A3， B2， C1 ) ， (A3，B2，C2) ， (A 3， B3， C 1) ， (A 3， B3， C2) ，根本领件的
总数为18，用M表示“B1， C1不全被选中〞这一事件，那么其对立事件－
M表示“B1，C1全被选
－
中〞这一事件，由于M由 (A 1， B1， C1) ， (A 2，B1， C1) ，(A 3， B1， C1)3 个根本领件组成，所以
－
3 1 － 1 5
P( M) ＝ 18＝ 6，由对立事件的概率公式得 P(M) ＝ 1－P( M) ＝1－ 6＝
6. 〔 12 分〕
20. 解：〔 1〕设动圆半径为 r ，
那么
PC
2 2 r ， PD r ， PC PD
2 2 CD 2 ，
由椭圆定义可知，点
P 的轨迹 E 是椭圆，
其方程为
x 2 y
2 1. 〔 4 分〕
2
〔2〕①证明：由条件可知，垂足 W 在以 CD 为直径的圆周上，
那么有
x 0
2
y 0 2 1 ，
又因 Q ， R ， S ， T 为不同的四个点，
x 2
2
y 0
1 . 〔6 分〕
2
②解：假设 l 1 或 l 2 的斜率不存在，四边形
QRST 的面积为 2 . 〔 7 分〕
假设两条直线的斜率存在，设
l 1 的斜率为 k ，
那么 l 1 的方程为
y
k(x
1) ，
y k(x 1)
解方程组
，得 (2k
2
2
4k 2 x
2k
2
2 0，〔 8 分〕
x 2
y 2
1)x
1
2
那么
QS
2 2 k 2 1
，〔9 分〕
2k 2
1
同理得 RT
2
2 k 2
1
，〔 10 分〕
k 2
2
∴ S
QSRT
1
QS
RT
(k 2 1)2
4 (k 2
2 16 ，〔 11 分〕
4
1)(k
2
2)
1)
2
(2k 2
9
(k 2
2
9
4
1)
当且仅当 2k 2 1 k 2 2 ，即 k
1时等号成立 .
综上所述，当 k
1 时，四边形 QRST 的面积取得最小值为
16
. 〔 12 分〕
9
21. 解析 : 〔Ⅰ〕f ( x)的导数为
f ()(1)x2(2)，
f(0) a 4b5
，x a x e b x
f (0)2a4b 2 ，解得a b 1 〔4分〕
〔Ⅱ〕 f ( x)(x2)e x b(x2)，易得 f (x) 有一个零点为x 2 〔5分〕
令
()x(2)，g x e b x
〔Ⅰ〕假设
b0，那
么
(
x
g x e
，无零点，所以函数
f (x)
只有一个零点；〔 6 分〕)
〔Ⅱ〕假设
b0，那么 g (x) e x e x b
0 所以 g( x) 单调递增，而g (1
)
1
①假设
b0
，那么 g
( x) e b 1 2b0 ，
b
g(2)e20 ，
所以 g( x) 有一个零点，所以 f (x) 有两个零点；〔7分〕
②
假设
b0，由 g ( x)e x b0 ，知e x b ， x ln(b) ，所以 g (x) 在,ln( b)单调递减，在 (ln(b),) 单调递增；所以函数g( x) 的最小值为
g( x) min g(ln(b)) b ln(b)3〔 8 分〕
〔ⅰ〕当 ln(b)30 即 e3b0 时，g( x)min g(ln(b)) b ln(b) 30 ，所以g( x) 无零点，所以 f ( x) 函数只有一个零点〔9 分〕
〔ⅱ〕当 ln(b)30 时，即 b e3，所以 g( x) 有一个零点，所以函数 f (x) 有两个零点〔 10 分〕
〔ⅲ〕当 ln(b)30时，即b e3时，g( x)min0 ，所以g( x)有两个零点，所以函数f ( x) 有三个零点〔11 分〕
综上，当 b0或e3b0 时，函数 f (x) 只有一个零点；
当 b0 或b e3时，函数 f ( x) 有两个零点；
当 b e3时，函数 f ( x) 有三个零点〔12 分〕
〔利用函数图像的交点个数讨论酌情给分〕
22. 解：〔Ⅰ〕依题意，曲线
C 1 的参数方程为
x 4cos
是参数〕，〔 2 分〕
y
〔
2 2 sin
因为曲线 C 2 的极坐标方程为
2
+2 cos 1 0 ，化简可得直角坐标方程：
x 2 y 2
2x 1 0 ，即 (x
1)2
y 2 2 ，〔 3 分〕
所以曲线 C 2 的参数方程为
x
1
2 cos
〔
是参数〕〔 5 分〕
y
2sin
〔Ⅱ〕设点 M (4cos , 2 2 sin ) ，易知 C 2 ( 1,0) ，
∴
| (4cos
2
( 2
2
| MC 1) 2
) 2
2
2
2
MC
2
(4cos )
(2 2sin ) 16cos8cos
1 8(1 cos )
2 cos
9
8(cos 1 2 7
7 〔 8 分〕
8cos
)
2
∴
cos
1
时， MC 2 min
7 〔 9 分〕
2
∴
MN min
MC
2 min
r 7 2 〔 10 分〕
23. 解析 : 〔Ⅰ〕 f ( x)
x 1
x 5 10
等价于
x 1
或
1 x 5
或
x
5
，
( x 1) (x 5)
(x 1) (x 5) (x 1)
( x
5)
10
10
10
解得 3 x
1或 1 x 5 或 5
x 7 〔 4 分〕
所以不等式 f ( x) 10 的解集为 x
3
x
7 . 〔 5 分〕
〔Ⅱ〕因为 f ( x) x 1
x 5 ( x 1) (x 5) 6 ，所以 m 6 ，即 a
b c 6 .
法 1：∵ a 2 b 2
2ab ， a 2 c 2 2ac ， c 2 b 2
2cb
∴ 2(a 2 b 2 c 2 ) (ab
ac bc)
∴ 3(a 2 b 2 c 2 ) a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 ，
∴ a 2
b 2
c 2
12 . 当且仅当 a b c
2时等号成立〔 10 分〕
湖北省襄阳市第五中学届高三数学五月模拟考试试题(一)文
法 2：由柯西不等式得：(12+12+12)(a2b2c2) ( a b c)2，
∴ 3(a2b2c2 )36
∴ a2b2c212 ，当且仅当a b c 2 时等号成立〔10分〕。