递归算法设计

递归算法设计
基本概念
在定义⼀个函数时，出现调⽤⾃⾝函数的，称为递归(recursion)。

如果⼀个递归函数，最后⼀条语句是递归调⽤语句，则称这种递归调⽤为尾递归(tail recursion)。

⼀个递归模型通常有两部分构成：初值（递归出⼝）和递归体。

递归的使⽤条件
递归的数学定义，⽐如斐波那契数列：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3。

递归的数据结构，出现了指向⾃⾝的指针或者引⽤，如链表、树、图等。

递归的求解⽅法。

⽐如经典的汉诺塔问题。

递归函数的时间空间
求解递归函数的时间通常需要根据问题解出相应的递归式。

对于形如归并排序的分治算法，其递归式通常形如T(n)=aT(bn)+f(n)T(n)=aT(bn)+f(n)，通常可以使⽤主定理（《算法导论》 p53）来求解。

⼀般情况的递归算法的时间分析可能⽐较困难，需要详细了解递归的执⾏过程。

⽐如动态规划法和暴⼒算法都可以使⽤递归，但是他们的时间复杂度有显著差异。

递归的空间复杂度除了要考虑分配的临时变量之外，还需要考虑递归的深度（虽然使⽤的是栈空间，也要将其计算在内。

）
递归程序⾮递归化
对于递归的实现机理，需要理解现代CPU的栈帧模型。

栈帧保存了当前函数状态的相关信息。

当函数调⽤另⼀个函数时，它将保存临时变量等信息，同时为被调⽤的函数开辟另⼀个帧。

因此递归函数调⽤，每⼀层是不会相互影响的。

通常情况下递归是由编译器⾃动实现，然⽽系统的栈空间是固定的，对于递归深度较⼤的情况，可能会出现栈溢出(stack overflow)，因此这时候必须⽤栈的数据结构⼿动模拟栈帧，来实现递归程序⾮递归化。

具体操作来说，就是在原来递归出现之前，利⽤栈保存前⼀层的环境，然后切换到下⼀层；在原来递归返回到调⽤函数时，将栈顶元素出栈，得到被保存的环境。

⼀个例⼦可以参考之前第3章综合练习的⼀道题⽬字符串解码(Decode String)。

需要注意的是，编译器在⾃动实现递归的过程中，它能够⾃动将传值的参数进⾏恢复，但是不能将传地址（引⽤）的参数（尤其是定义在全局变量、堆空间的）进⾏恢复。

这种情况下，需要⼿动将其恢复。

这个问题可以思考DFS遍历迷宫时，⽤int [][]和vector<vector<int>>的异同：因为vector是⼀个类对象，每次⾃我调⽤的压栈都会将其复制⼀份，在返回时出栈也要调⽤析构函数销毁。

这样保证了每次使⽤的vector<int>都是相互独⽴的，⾃然不需要⼿动恢复。

⽽int [][]则是直接传地址，在⼀个地⽅修改了，其他地⽅也是修改的。

虽然使⽤
vector<vector<int>>能够省去恢复的⿇烦，但是其反复复制元素造成的效率问题也是不容忽视的。