2010年全国初中数学竞赛试题参答案

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
、选择题(共 5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的 •请将正
确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分)
j
- = 10 a+b
1.若「
C
则匚的值为(
).
11
21
110 210 (A )［一
(B ) 11
(C) 21
(D) 1 .
a+b a .
-+ 1 20+l 210
解: L-
b+c
l + £
b
1 + — 10
11
代数式变形，同除 b
1 】
-a^ab+ir + 2 = 0
2•若实数a , b 满足二
，贝y a 的取值范围是(
).
(A ) al _
(B ) a ：4 ( C ) a < 一或 a >4 (D ) _w a <4
解.C
b' -处 +—© + 2 = 0
因为b 是实数，所以关于 b 的一元二次方程
_
A = (p)i -4x1x(—盘+ 2)
2
>0,解得 a w -2 或 a > 4.
方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式
则AD 边的长为(
)
解：D 如图，过点A , D 分别作AE DF 垂直于直线BC,垂足分别为E, F .的判别式 3.如图，在四边形ABC ［中, / B= 135
,BC =
L
'■■: ,CO —f ',
(D )
,/ C = 120 °, AB=
(A) - j'1
■
由已知可得
BE=AE= J . , C =?述,DI 2J .,
于是 EF = 4+ JI .
过点A 作AGL DF 垂足为G 在Rt △ AD (中，根据勾股定理得
AD 」一"「"】：A —匸:=_丨一,；
勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法
4.在一列数 ……中，已知冷二，且当k >2时,
疋-1
~4~
因为 2010=4X 502+2,所以 尬(I =2. 高斯函数；找规律。

5•如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABC 啲顶点坐标分别为 A (1, 1), B( 2, —1), C (-2, - 1), D (- 1, 1). y 轴上一点 P ( 0, 2)绕点 A 旋转 180。

得点 Pi ,点
P 绕点B 旋转180°得点 P 2,点F 2绕点C 旋转180。

得点 P ，点P 3绕点D 旋转180°得点
(取整符号［权］表示不超过实数。

的最大整数，例如|2・6
=2 =0
(
)
.
(A) 1
3
(D) 4
解：
B
(B)
2 (C)
k~] k-2 1
4」丿可得
F4 , , 重复操作依次得到点P1 , P2 ,- …，则点P2010的坐标是
( ).
(A) (2010, 2) (B) (2010, _)
(C) (2012, 一）(D ( 0, 2)
解：B由已知可以得到，点丄1,二的坐标分别为（2, 0）,（2, _）.
记1 ,其中一匚.
根据对称关系，依次可以求得：
召（斗如-2-$）,建+知4+為），召（吗・2・易，£（4+曲⑹.
令2r -£：■1 ,同样可以求得，点[l.的坐标为（- ），即「丄（- 一：）,
由于2010=4 .502+2，所以点-….的坐标为（2010,-）.
二、填空题
6. ____________________________________________________________________ 已知a= Y」一1,贝U 2a3+ 7a2—2a—12的值等于___________________________________________ .
解：0
由已知得（a+ 1）2= 5,所以a + 2a= 4,于是
3 2 3 2 2 2
2a + 7a —2a—12 = 2a + 4a + 3a —2a—12 = 3a + 6a—12= 0.
7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时
刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟，小轿车追上
了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t
解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分
别为乩；：（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
\^[a-c）= 2S,
③
由①②，得二「-二-'?,所以，x=30.
故「八…】」（分）
&如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCD的顶点坐标分别是0（0, 0）, A （0, 6），B（4，6），C（4，4），D （6，4），E（6，0）.若直线l 经过点M（2，3），且将多边形OABCD分割成面积相等的两部分，则直线I的函数表达式
如图，延长BC交x轴于点F;连接OB AF 连接CE DF且相交于点N.
由已知得点M（2，3）是OB AF的中点，即点M为矩形ABFO勺中心，所以直线.把矩
形ABF0分成面积相等的两部分•又因为点N（5，2）是矩形CDEF勺中心，所以,
过点N（ 5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.
于是，直线二'即为所求的直线•.
Jan心 $
设直线】的函数表达式为P二加+$，则[5上=
4 I 严s
解得I 3 ,故所求直线/的函数表达式为 3 3•
9•如图，射线AM BN都垂直于线段AB点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE, BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD- CF,贝U
AE _
AD~______________________ •
（第9题）
解：J
见题图，设* 一y
因为Rt△ AFM Rt △ ABC 所以AS2-AF'AC•
…、(-)3+--l=0
又因为FC= DC= AB 所以二' n 即
解得门-，或门L (舍去).
AE_AE_AF_n_ 75-1 AE ^5-1
又RtRt △「］,所以S ? : 二，即一二= J
10•对于i =2, 3，…，k ,正整数n 除以i 所得的余数为i — 1 •若i
的最小值「满足
其中［2,二幼表示2,3,k 的最小公倍数.
由于［2心"8卜地［2,3,…,9卜2520,
［2代…，10］二 2520, ［2, 3,・“ 11］二 27720
因此满足——’二.■的正整数：的最小值为•
三、解答题（共4题，每题20分，共80 分）
△KBC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ ABD 和DA ACM 外接圆 求
证：
tan 乙 PAD 二—
二•
解: 9
因为理+1为上的倍数，所以"的最小值®满足
坷+1 二［2,3,
（
k ］,
:的最小值为
2000冊＜3000,则正整数
证明：如图，连接ED FD因为BE和CF都是直径，所以
ED£ BC FD丄
BC
因此D, E, F 三点共线. 连接AE, AF,贝U
ZAEF 二 ZAE —ZACZAFD,
所以，△ AB&A AEF
............ （ 10 分）
作AHL EF ,垂足为 H 贝U AH =PD 由厶AB3A AEF 可得
EF__AH_
从
EF__PD 而
匸「一二，
所
PD
tan ZA4D =——=
以
...... (20 分)
_ k
12.如图，抛物线| •-：，'、；…-(a 、0)与双曲线.二相交于点A , B 已知点 (1, 4),点B 在第三象限内，且厶 AOB 勺面积为3 (O 为坐标原点).
(1)求实数a , b , k 的值；
(2)过抛物线上点 A 作直线AC// x 轴，交抛物线于另一点 C,求所有满足△ 的点E 的坐标.
（5分）
EF ~BC
A 的坐标为
EOg AOB
k
解：（1）因为点A （1, 4）在双曲线•—上,
4
v - 一 所以k=4.故双曲线的函数表达式为 :.
,>'.,AB 所在直线的函数表达式为 J "洼，则有
4 4Q + T]
m = — n ------------ -------
解得
.， .
》¥〔1口，整理得2八14
解得 （二-2 ，或t =2 （舍去）•所以点 B 的坐标为（-2,-2）
=4f
因为点A , B 都在抛物线“
(a >0) 上 ,所以 \ ^-2b = -2f 解得
dr = 1? b = 3.
设点B (t ,
4
— -mt +仏
于是，直线
）4申、
AB 与y 轴的交点坐标为\
(10 分)
（2）如图，因为AC// x轴，所以a=!,4）,于是CO= .又BO=2，所以三广一'.
设抛物线a -0）与x轴负半轴相交于点D 则点D的坐标为（-1 , 0）. 因为/ COD=Z BOD=
?',所以/ COB JI'.
（i ）将△ f ；肘绕点0顺时针旋转1庐，得到△泌匕■■：.这时，点：（一，2）是CO的中点，点J的坐标为（4, 1）.
延长二到点二，使得丄1=-'-¥，这时点二（8, _）是符合条件的点.
（ii ）作厶关于x轴的对称图形△，得到点2 （1,」）；延长-匚到
点,使得-厶=- -二_，这时点E2 （2, 一）是符合条件的点.
所以，点二的坐标是（8, _ ）,或（2, _） . ...... （20分）
13•求满足•』+-―：” 一卍的所有素数p和正整数m
•解:由题设得I I：- 「丨,
所以「s-L由于p是素数，故d i;;--,或”"\……（5分）
（1）若-,令已-•一肚，k是正整数，于是•:s：
3p2 > p（2p+l）二（桝-4）伽+2）>k1p2
m-4 = p f
所以［伺+2=2F+L解得\m = 9....... （10分）
（2）若讣辽一：丨，令「一匚,k是正整数.
当p>5时，有fn-4-kp-d>kp-p-p（k-V）,
3才 >p（2p +1）=（堀-4）伽+2） > k（k-1）才,
故师-1）<3 ，从而壯1 ，或2.
由于「二一门：二. < 丨3是奇数，所以：—，从而：..
w-4 = 2p+l,
于是\m+2 = p,
这不可能.
当丁「时，：：「_；「〕］；,巳—二；当 -,：：「_；「,无正整数解；当丁二时，一1〔：，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5,正整数mr9. ....... （20 分）
14.从1 , 2,…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中
任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11, 1「「，1「……，「一二（即1991）满足题设条件.
分）
另一方面，设■: '■ ；：'■…'*；是从1 , 2，…，2010中取出的满足题设条件的数, 对于这n个数中的任意4个数"：：，因为
33|他+致+喩），3輪+弧+务）
所以33
设：二, i =1, 2, 3,
由33（兔+曲+©）,得33禺+昭+3囲）
所以堯
3
a 1,叫珂,即旳》ii.
-（15
分）
2010-11 门
---------- <61
33w 33 ,
故d.w 60.所以，n w 61.
综上所述，n 的最大值为61. ...... （20 分）
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. （10 分）。