晶体的倒格子和布里渊区

Gh1h2h3 CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
(
a1 h1
a3 h3
)
2 2 0
G 同理 h1h2h3 CB 0 而且 CA,CB 都在（ABC)面上，
G 所以 h1h2h3 与晶面系 (h1h2h3) 正交。
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh1h2h3 ( ABC)
且有：
d hkl
2
G hkl
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
2. 证 明：
Rn Ghkl (n1a1 n2a2 n3a3 ) (hb1 kb2 lb3 )
2 (n1h n2k n3l) 2m
(m为整数)
3. 证明：先证明倒格矢 Gh1,h2 ,h3 h1b1 h2b2 h3b3
1. 两个点阵的基矢之间：
ij
1, i 0, i
j j
2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Gh Rn 2 m
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
*
b)3
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 Gh 相互垂直，
Ghkl hb1 kb2 lb3
家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，
可以方便地证明它和正点阵之间有b如i 下 a关j 系：2 ij
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因 此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的 第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。
布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应
的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区 里依然可以划分为几个完全等同的区域。
可以证明：
d OA GG h1h2h3
h1h2h3 h1h2h3
2
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
由于布里渊区界面是某倒格矢 G 的垂直平分面，如果
用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程：
k
G
1
G2
2
该方程称作布里渊区的界面方程
• 二维正方格子的布区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
四. 倒易点阵实例：
倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我
们通过具体实例来理解：根据右面定义，
显然
：b1
a2
and a3,
b2
a3
and a1,
b3 a1 and a2
b1 b2 b3
2 2 2
a1 a1 a1
a2a2
a3
a3
a3a2
a1
a3
a1a2
a2 a3
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，
但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子 为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
五. 布里渊区： 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
Léon Brilliouin （1889-1969）
现在定义 3个新的基矢 b1, b2,b3 构成一个新点阵： （ h1, h3, h3 是整数。）
b1 b2 b3
2 2 2
a1 a1 a1
a2a2
a3
a3
a3a2
a1
a3
a1a2
a2 a3
位移矢量 Gh h1b1 h2b2 h2b3 就构成了上面点阵的
倒易点阵，上面变换公式中出现的 2 因子，对于晶体学
晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联系， 一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排 列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性 质的基本特征。
又因为：
*
b1
(b2
b3 )
(2
)2
(a1
b1)
(2
)3
所以：
c1
2
*
(2 )2
a1
a1
同样可以证明： c2 a2 , c3 a3,
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
晶格周期函数傅里叶级数展开
当一个点阵具有位移矢量 Rn n1a1 n1a2 n1a3
时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 (r)
也应该具有周期性： 两边做Fourier展开，有：(r) (r Rn )
n!
K '(Gh ) exp(iGh r ) K '(Gh ) exp(iGh r ) exp(iGh Rn ) r !n r !
b2
a2
a1
b1
左图是一个二维斜方点阵和它的
倒易 点阵，b1 a1 b1 a2 b2
a 2 , b2
2
a1,
a1 b2 a2 b1 0
简立方点阵： a1 ai,a2 a j,a3 ak
倒易点阵仍是简立方点阵：
b1
2
a
i, b2
2
a
j,
b3
2
a
k,
所以倒格子也是布拉菲格子。
显然： exp(iGh Rn ) 1
即： Gh Rn 2 m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 Gh 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系。
一. 定义：假设 a1, a2, a3 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的
格矢为：Rn n1a1 n1a2 n1a3 原胞体积是： a1 (a2 a3 )
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为 d 2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有
倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原
点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点
的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类
推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
Kittel （p28) 黄昆书图4－12（p179)
见黄昆书图4－12 （p179)
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
Kittel （p29）,黄昆书图4－13（p179)
见黄昆书图4－13 （p179)
Symbol Γ
M R X
K L U W X
H N P
A H K L M
Description Center of the Brillouin zone
Simple cube Center of an edge Corner point Center of a face
Face-centered cubic Middle of an edge joining two hexagonal faces Center of a hexagonal face Middle of an edge joining a hexagonal and a square face Corner point Center of a square face
对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同
样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布 里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。
作业题：
p63 ：2，3，7，8
1 Gh
2
Gh
上述第3点的图示。
4. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a2, a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2, b3 为正点阵，则其
倒易点阵根据定义为：
c1
2 *(b2
b3)
利用三重矢积公式： A (B C) B( AC) C( A B)
可以得到： b2 b3 2 (a3 a1) 2 (a1 a2 ) (2 )2 a1
六角点阵：
六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88
c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结
构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了 一个角度。
三维例子：
正点阵为简 单点阵，倒 易点阵也是 简单点阵。
正格子空间中长 的基矢a3对应于 倒格子空间短的 基矢b3，反之亦 然。推广，正格 子空间长的线条 对应于倒格子空 间短的线条。
与正格子的晶面系 (h1h2h3) 正交。
如图所示，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原点的晶面（ABC）
在正格子基矢 a1, a2, a3 的截距分别为： a1 , a2 , a3
h1 h2 h3
于是：
CA OA OC a1 a3 h1 h3
CB OB OC a2 a3
h2 h3
Body-centered cubic Corner point joining four edges Center of a face Corner point joining three edges
Hexagonal Center of a hexagonal face Corner point Middle of an edge joining two rectangular faces Middle of an edge joining a hexagonal and a rectangular face Center of a rectangular face