7-2(全微分方程补充)

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高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程

例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教学基本内容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程

高数-全微分方程

)
ydx − xdy x = d arc tan 又 2 2 y x + y 1 , 取积分因子 µ ( x , y ) = 2 2 x + y
ydx − xdy dx + =0 2 2 x + y
则方程化为: 则方程化为
两边积分的方程的通解为: 两边积分的方程的通解为
H
y M A
O
• • •
T
θ
ρg s x
设A 到M 弧段长为，弧段长为s，绳索的线密度为ρ，则该段绳索的重量为ρgs 绳索的线密度为，则该段绳索的重量为。绳索在点A 处的张力沿水平方向向左，其大小设为H；绳索在点处的张力沿水平方向向左，其大小设为；在点M 处的张力沿绳索斜向上, 并在M 点与绳索相切, 在点处的张力沿绳索斜向上并在点与绳索相切设其倾角为θ、大小为设其倾角为、大小为T 。
6
熟记一些简单常用的二元函数的全微分，熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如
dx ± dy = d ( x ± y ) ydx &# y y − ydx + xdy y = d x2 x ydx − xdy x = d ln xy y ydx − xdy x = d arc tan 2 2 y x + y ydx − xdy 1 x − y = d ln 2 2 2 x + y x − y
x5 + 3 2 2 1 x y − xy 3 + y 3 = C . 2 3
2
注: 当条件
∂P ∂Q ≠ 不能满足时，可引入积分因子 ∂y ∂x 不能满足时，可引入积分因子

电路(第七章二阶电路)

uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
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T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2

7-2动量矩定理解析

r (mv A mvB ) 0
O
v A vB
vA
A B
vB
设绳子移动的速率为u
v A u1 u v B u2 u
u (u1 u2 ) / 2
解
动量矩守恒
dLA (e) MA dt (e) MA 0
LA C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变。
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和称为质系对点O的动量矩，也称角动量（Angular Momentum）
LO ri mi vi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为，轴AB转动角速度为，角加速度为，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。
m l ( cos 2 sin ) X A 2 m l ( sin 2 cos ) YB mg 2 1 ml 2 Y l sin X l cos B A 12 2 2
(a) (b) (c)
3 g 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l d d 3g 2 d dt (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
dLCz (e) M Cz dt
(e) M Cz 0
LCz const
当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。
实例分析
花样滑冰：起旋、加速
实例分析
卫星姿态控制：动量矩交换

电路(第七章二阶电路)讲解

2L LC
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。储能终将被电阻消耗完。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源网+- u电络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR

Ri

RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。

常微分方程——精选推荐

《数学模型》课常微分方程补充 ( 2008 )( 摘自《常微分方程学习辅导与习题解答》朱思铭编 )一. 常微分方程基本概念 ( 摘自四.§1.2 )二. 常微分方程线性奇点 ( 摘自四.§6.1.3 )三. 极限环和平面图貌 ( 摘自四.§6.1.4 )四*. 常微分方程内容提要五*. 常微分方程应用实例索引一. 常微分方程基本概念 ( §1.2 )微分方程联系自变量、未知函数及其导数的关系式.实值微分方程自变量、未知函数均为实值的微分方程.复值微分方程未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程. 常微分方程只有一个自变量的微分方程.偏微分方程有两个或两个以上自变量的微分方程.一阶微分方程微分方程中未知函数的导数最高为一阶.n 阶微分方程微分方程中未知函数的导数最高为n 阶，一般形式为n n dy d y F x y 0dx dx ,,,, ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(38)线性微分方程 n 阶微分方程(38)的左端为,,,n n dy d y y dx dx的一次有理整式称为线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为()()()()n n 11n 1n n n 1d y d y dy a x a x a x f x dx dx dx---++++= (39) 其中(),,(),()1n a x a x f x 为x 的函数.非线性微分方程不是线性微分方程的微分方程.(显式)解使微分方程(38)变为恒等式的函数()y x =ϕ称为方程的解. 隐式解如微分方程(38)的解()y x =ϕ由关系式(,)x y 0Φ=决定，称(,)x y 0Φ=为微分方程(38)的隐式解.通解 n 阶微分方程(38)的含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的解(,,,,)12n y x c c c ϕ=隐式通解(通积分) 由含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的关系式(,,,,,)12n x y c c c 0Φ= 决定的n 阶微分方程(38)的解.定解条件为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件.定解问题求微分方程满足定解条件的解的问题.初值条件 n 阶微分方程(38)的初值条件为当0x x =时，()(),,,n 11n 1000n 1dy d y y y y y dx dx---=== 或写为()()()()(),,,n 11n 1000000n 1dy x d y x y x y y y dx dx---=== 初值问题当定解条件为初值条件时的定解问题.特解满足定解问题的解.积分曲线一阶微分方程(,)dy f x y dx= (47) 的解()y x ϕ=在Oxy 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(47)的积分曲线.曲线上的点的斜率dy dx值为(,)f x y . 向量场一阶微分方程(47)的右端函数(,)f x y 定义为在Oxy 平面某区域D 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域D 为方程(47)所定义的向量场(方向场，线素场).通过向量场可以判断微分方程的解的走向.等倾斜线向量场中方向相同的曲线(,)f x y k =称为等倾斜线或等斜线. 微分方程组 n 阶微分方程()()(,,',,)n n 1z g t z x z -=可通过变换(),',,n 112n y z y z y z -===化为一阶方程组(,,,),,,,i i 1n dy f t y y i 12n dt ==或写成向量形式(,)=dy f t y dt其中n y D R ∈⊂.驻定微分方程组微分方程组右端不含自变量t 的方程组()dy f y dt= (50) 动力系统对n 维空间某区域n D R ⊂的D 到D 的含参数t 的同胚映射(变换) ()t y Φ，如满足恒同性()0y y Φ=和可加性()(())121221t t t t t t y y y ΦΦΦΦΦ+==.则称映射()t y Φ为D 上的动力系统.微分方程所定义的动力系统由驻定微分方程组过n y D R ∈⊂的解(,)t y ϕ可定义动力系统()(,)t y t y ϕΦ=称为微分方程所定义的动力系统.相空间不含自变量，仅由未知函数组成的空间.轨线微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交.奇点(平衡解、驻定解）驻定微分方程组(50)右端函数()f y 的满足()f y 0=的解y y *=称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点.垂直、平行等倾斜线平面一阶驻定微分方程组(,)(,)dx f x y dt dy g x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 等价于一阶微分方程(,),((,))(,)dy f x y g x y 0dx g x y =≠ 或 (,),((,))(,)dx g x y f x y 0dy f x y =≠ 在相平面Oxy 上的等倾斜线(,)(,)f x y k g x y =中,k 0=即(,)f x y 0=时的曲线为垂直等倾斜线；k =∞即(,)g x y 0=时的曲线为平行等倾斜线.垂直、平行等倾斜线的交点为奇点.二. 常微分方程线性奇点 ( §6.1.3 )平面驻定微分方程组(,)(,)dx X x y dt dy Y x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1) 其中,X Y 对,x y 有连续偏导数.方程组(1)的解(),()x x t y y t ==在欧几里得空间Otxy 表示为一曲线，称为积分曲线.,x y 平面Oxy 称为相平面，积分曲线在相平面上的投影称为轨线.满足(,),(,)X x y 0Y x y 0==的常数,x x y y **==为方程组(1)的解，称为驻定解(常数解)，相平面Oxy 上的点(,)x y **称为方程组的奇点.通过线性变换可将方程组(1)的奇点移至Oxy 的原点上，再取其线性项则得方程组(1)的线性近似方程组dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2) 线性方程组(2)的特征方程为a b 0c d λλ-=- 即,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=- (3)可以通过方程组的系数即特征方程的根表示相平面Oxy 上奇点(原点)附近的轨线图貌，即奇点的类型：(1) q 0≠ (a) q 0< 有两不同符号实根，奇点为鞍点(b1) ,,2q 0p 4q 0p 0>-<> 有两负实根，奇点为稳定结点(b2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-<< 有两正实根，奇点为不稳定结点(c1) ,,2q 0p 4q 0p 0>-=> 有一重负实根，奇点为稳定退化或奇结点 (c2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-=<有一重正实根，奇点为不稳定退化或奇结点 (d1) ,,2q 0p 4q 0p 0>->>有一对负实部共轭复根，奇点为稳定焦点 (d2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-><有一对正实部共轭复根，奇点为不稳定焦点 (e) ,q 0p 0>= 有一对(零实部)共轭虚根，奇点为中心(2) q 0= (a1) p 0> 有单零根和负实根，过奇点有稳定奇线(a2) p 0< 有单零根和正实根，过奇点有不稳定奇线(b) p 0= 有重零根，过奇点有奇线, 奇线上下有不同走向平行轨线(c) a b c d 0==== 奇点充满全平面三. 极限环和平面图貌 ( §6.1.4 )(1) 极限环考虑平面驻定微分方程组(,)(,)dx X x y dt dy Y x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1) 其中,X Y 在相平面的某区域G 内有一阶连续偏导数.方程组(1)在相平面上孤立的周期解(闭轨线)，且附近的轨线均趋于(离开)该闭轨线时，称此闭轨线为稳定(不稳定)极限环，如附近的轨线一边趋于另一边离开该闭轨线时，则称此闭轨线为半稳定极限环.环域定理如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含方程组(1)的奇点，而(1)的经过D 上的点的解(轨线)(),()x x t y y t ==当0t t ≥(或0t t ≤)时不离开域D .则或者解本身是周期解(闭轨线)，或者解正向(或负向)趋于D 内的某一周期解(闭轨线).如果G内存在单连通区域D*，在其内函数X Yx y∂∂+∂∂不变号且在D*内的任何子域内不恒为零.则方程组(1)在域D*内不存在任何周期解(闭轨线)，更不存在任何极限环.在相平面分析中除奇点和极限环两种特殊轨线外，还有一种从奇点到奇点的轨线，这类轨线称为分界线.如果一条分界线与一个奇点构成一个环，则称为同宿环(轨).如果一条分界线两端是不同奇点，则分界线称为异宿轨.当多条分界线与多个奇点构成一个环时则称此环为异宿环.(2) Lienerd 方程 ()()22d x dx f x g x 0dt dt++= (2) 记()(),()x 0dx F x f x dx y F x dt==+⎰，方程(2)可化为方程组 (),()dx dy y F x g x dt dt=-=- (3) 定理假设 (a) (),()f x g x 对一切x 连续，()g x 满足局部利普希茨条件； (b) ()f x 为偶函数，(),()f 00g x <为奇函数，当x 0≠时()xg x 0>； (c) 当x →±∞时(),()F x F x →±∞有唯一正零点x a =，且当x a ≥时()F x 单调增加.则方程(2)有唯一周期解，即方程组(3)有一个稳定极限环.(3) 平面图貌对平面驻定方程组(1)，在相平面上曲线(,),(,)X x y 0Y x y 0==分别表示轨线的垂直等倾斜线和水平等倾斜线.可利用垂直等倾斜线和水平等倾斜线划分出相平面上的不同区域，每一区域内轨线的,x y 方向的右、左及上、下走向是一致的，有(+,+)、(+,-)、(-,+)、(-,-)四种走向，其中括号内第一个+表向上、-表向下,第二个+表向右、-表向左.应用等倾斜线方法可画出方程组(1)的平面轨线图貌.可以用等倾斜线方法分析两种群模型(1)(1)dx rx ax by dt dy sy cx dy dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ (6.53)其中r a 、和s d 、均为正常数. 而00b 、c >>时为竞争系统, 00b ><、c 或00b 、c <>时为被捕食-捕食系统, 00b 、c <<时则为共生系统.(4) 对一般的两种群竞争系统(,)(,)dx M x y x dt dy N x y y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (4) 其中x 与y 的相对增长率M 与N 都是非负变量x y 、的连续函数，有连续一阶偏导数，且一种群增长时另一种群的增长率下降，即00M N y x∂∂<<∂∂、而任一种群过多时两种群都不能增长，故存在常数0K >,当x K ≥或y K ≥时(,)0M x y ≤且(,)0N x y ≤.还设只有一种群时，它将按极限增长，即存在常数00a b ><、使得(,0)0;(,0)0;(0,)0;(0,)0.x a M x x a M x y b N y y b N y <>><<>><当时时当时时在上述条件下，可以通过分析相平面上等倾斜线曲线(,)0M x y =和(,)0N x y =的形状及它们之间的关系. 有定理两种群竞争一般模型(4)的每一条轨线，当t ∞时都趋于有限个平衡点之一.四. 常微分方程内容提要第一章绪论§1.1.1 常微分方程模型1. RLC 电路包含电阻R 、电感L 、电容C 及电源的电路称RLC 为电路. 电流I 经过电阻R 、电感L 、电容C 的电压降分别为R I 、dI L dt 和QC， Q 为电量，E 、()e t 为电源电压,dQI dt=.应用基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律(在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零)可列出RLC 为电路的微分方程：dI R E I dt L L+= 221()d I R dI I de t L dt LC L dt dt++= 初始条件为00()I t I =.2. 数学摆数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动. 摆与铅垂线所成的角为ϕ,M 沿圆周的切向速度为v ,d v l dtϕ=.摆的运动方程为22d gsin 0l dtϕϕ+= 微小振动(ϕ较小时，可用ϕ代替sin ϕ)：22d g0l dtϕϕ+= 存在阻力时(阻力系数为μ)：22d d g 0m dt l dtϕμϕϕ++= 有强迫力()F t 时：()22d d g 1F t m dt l ml dtϕμϕϕ++= 摆的初始状态：当0t =时00,d dtϕϕϕω== 0ϕ代表摆的初始位置，0ω代表摆的初始角速度.3. 人口模型 Malthus 模型：基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率(单位时间内人口的净增长数与人口总数()N t 之比)是常数，记此常数为r （生命系数）dNrN dt= Logistic 模型：荷兰生物学家Verhulst 引入常数m N （环境最大容纳量）用来表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为m N r 1N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即净相对增长率随()N t 的增加而减少，当()m N t N →时，净增长率0→.m dN N r 1N dt N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 初始条件为0t t =时()0N t N =4. 传染病模型假设传染病传播其间其地区总人数n 不变.开始时病人数为0x ，在时刻t 的健康人数为()y t , 病人数为()x t ,k 为传染系数. SI 模型：易感染者(Susceptible),已感染者(Infective), 00(),()dxkx n x x x dt =-= SIS 模型：治愈率为μ时,其平均传染期为1μ,接触数为kσμ=,0()()()(),(0)dx t ky t x t x t x x dtμ=-=SIR 模型：病人治愈后不会再被感染，移出者(Removed). 治愈率l ,0000dxkxy lx x x dtdy kxy y y n x dt ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-==-⎪⎩,(),()5. 两生物种群生态模型甲、乙两种群的数量分别记为,x y . Volterra 模型：分竞争、共生、捕食与被捕食等类型()()dxx a bx cy dtdyy d ex fy dt⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩一般两种群竞争系统：(,)M x y 与(,)N x y 为相对于x 与y 的增长率(,)(,)dxM x y x dtdy N x y y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 6. Lorenz 方程()dxa y x dt dycx y xz dt dzxy bz dt⎧=-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩气象学家Lorenz 由大气对流现象模型简化,10,8/3,28a b c ===为参数. 被称为混沌(chaos)现象第一例.*7. 化学动力学模型化学反应体系，内部包含三种化学成分,A B 和.,x A B 是反映物，x 为中间产物，,,A B x 分别代表A 类、B 类和x 类的分子数.Schlogt 单分子化学动力学模型：体系的状态仅由单个变量x 来表征323210dxk x k Ax k x k B dt=-+-+ 双分子化学动力学模型：有两个中间变量,1223dxk Ax k xy dtdyk xy k y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩三分子化学动力学模型：开放的体系中进行着一系列化学反应,22(1)dxA B x x y dt dyBx x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩*8. 力学系统中的常微分方程模型有完整约束的力学系统，可以通过引进广义坐标12(,,)n ϕϕϕ 解除约束, 用一个拉格朗日函数1(,)i L q q 刻画系统, 归结为拉格朗日方程0i i d L Ldt qq ∂∂-=∂∂ .引进广义速度12(,,)n v v v =ν ,用广义动量Lp q∂=∂ 代表广义速度v ，再通过拉格朗日变换(,)(,)H q p q p L q q =- ,便得到等价于拉格朗日方程的哈密顿正则方程dq H dt pdp H dt q ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=-⎪∂⎩或 dx Hdt y dy H dt x∂⎧=-⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩§1.2 常微分方程基本概念微分方程联系自变量、未知函数及其导数的关系式. 实值微分方程自变量、未知函数均为实值的微分方程.复值微分方程未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程. 常微分方程只有一个自变量的微分方程.偏微分方程有两个或两个以上自变量的微分方程. 一阶微分方程微分方程中未知函数的导数最高为一阶.n 阶微分方程微分方程中未知函数的导数最高为n 阶，一般形式为n n dy d y F x y 0dx dx ,,,, ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(38) 线性微分方程 n 阶微分方程(38)的左端为,,,n n dy d yy dx dx 的一次有理整式称为线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为()()()()n n 11n 1n n n 1d y d y dya x a x a x f x dx dx dx---++++= (39)其中(),,(),()1n a x a x f x 为x 的函数.非线性微分方程不是线性微分方程的微分方程.(显式)解使微分方程(38)变为恒等式的函数()y x =ϕ称为方程的解. 隐式解如微分方程(38)的解()y x =ϕ由关系式(,)x y 0Φ=决定，称(,)x y 0Φ=为微分方程(38)的隐式解.通解 n 阶微分方程(38)的含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的解(,,,,)12n y x c c c ϕ=隐式通解(通积分) 由含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的关系式(,,,,,)12n x y c c c 0Φ= 决定的n 阶微分方程(38)的解.定解条件为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件. 定解问题求微分方程满足定解条件的解的问题. 初值条件 n 阶微分方程(38)的初值条件为当0x x =时，()(),,,n 11n 1000n 1dy d y y y y y dx dx---=== 或写为()()()()(),,,n 11n 1000000n 1dy x d y x y x y y y dx dx ---=== 初值问题当定解条件为初值条件时的定解问题. 特解满足定解问题的解. 积分曲线一阶微分方程(,)dyf x y dx= (47) 的解()y x ϕ=在Oxy 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(47)的积分曲线.曲线上的点的斜率dydx值为(,)f x y . 向量场一阶微分方程(47)的右端函数(,)f x y 定义为在Oxy 平面某区域D 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域D 为方程(47)所定义的向量场(方向场，线素场).通过向量场可以判断微分方程的解的走向.等倾斜线向量场中方向相同的曲线(,)f x y k =称为等倾斜线或等斜线. 微分方程组 n 阶微分方程()()(,,',,)n n 1z g t z x z -=可通过变换(),',,n 112n y z y z y z -===化为一阶方程组(,,,),,,,ii 1n dy f t y y i 12n dt==或写成向量形式(,)=dyf t y dt其中n y D R ∈⊂.驻定微分方程组微分方程组右端不含自变量t 的方程组()dyf y dt = (50) 动力系统对n 维空间某区域n D R ⊂的D 到D 的含参数t 的同胚映射(变换)()t y Φ，如满足恒同性()0y yΦ=和可加性()(())121221t t t t t t y y y ΦΦΦΦΦ+==.则称映射()t y Φ为D 上的动力系统.微分方程所定义的动力系统由驻定微分方程组过n y D R ∈⊂的解(,)t y ϕ可定义动力系统()(,)t y t y ϕΦ=称为微分方程所定义的动力系统.相空间不含自变量，仅由未知函数组成的空间.轨线微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交.奇点(平衡解、驻定解）驻定微分方程组(50)右端函数()f y 的满足()f y 0=的解y y *=称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点.垂直、平行等倾斜线平面一阶驻定微分方程组(,)(,)dxf x y dtdy g x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 等价于一阶微分方程(,),((,))(,)dy f x y g x y 0dx g x y =≠ 或 (,),((,))(,)dx g x y f x y 0dy f x y =≠ 在相平面Oxy 上的等倾斜线(,)(,)f x y k g x y =中,k 0=即(,)f x y 0=时的曲线为垂直等倾斜线；k =∞即(,)g x y 0=时的曲线为平行等倾斜线.垂直、平行等倾斜线的交点为奇点.雅可比矩阵 n 个变元,,,12n x x x 的m 个函数(,,,),,,,i i 12n y f x x x i 12m ==的雅可比矩阵定义为(,,,)(,,,)111n 12m 12n m m 1n y y xx D y y y D x x x y y x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦雅可比行列式 n 个变元的n 个函数的雅可比矩阵对应的行列式. 函数相关、函数无关设函数(,,,)(,,,)i i 12n y f x x x i 12m == 及其一阶偏导数在某区域n D R ⊂上连续.如果D 内,,,12m f f f 中的一个函数能表成其余函数的函数，则称它们函数相关；如果它们在D 内任何点的邻域均不是函数相关，则称它们函数无关.如果雅可比矩阵在D 内任何点的秩均小于m ，则,,,12m f f f 函数相关；如其秩均等于m ，则,,,12m f f f 函数无关.当n m =时雅可比行列式不等于零为函数无关.第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换 (1) 变量分离方程 ()()dyf xg y dx= 解法：(),()()()dydyf x dx f x dx Cg y g y ==+⎰⎰(2) 齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法：变量变换 ,ydy du u x u x dx dx ==+，方程化为变量分离方程()du g u udx x-=(3) 分式线性方程111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++ 或 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭解法：(ⅰ) 120c c == 情形： 1122ya b dy y x g y dx x a b x+⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 属齐次方程. (ⅱ)1122a b k a b == 情形：令22u a x b y =+，方程化为221222()()()k a x b y c dy f u dx a x b y c ++==++ 22()dua b f u dx=+ 属变量分离方程. (ⅲ) 一般情形：先解联立代数方程11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ 得解 x y αβ=⎧⎨=⎩ 再作代换 X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ ，则将原方程化为齐次方程 dY Y g dX X ⎛⎫= ⎪⎝⎭§2.2 线性方程与常数变易法 (1) 一阶齐线性方程()dyP x y dx= 用变量分离方法得通解 ()P x dx y ce ⎰= (2) 常数变易法对一阶非齐线性方程 ()()dyP x y Q x dx=+ 假设有形式解()()P x dxy c x e ⎰= 代入方程化简得 ()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰ 原方程的通解为()()()P x dxP x dx y e Q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (3) 伯努利方程()()n dyP x y Q x y dx=+ 变量变换 1n z y -= 化为线性方程求解(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+-§2.3 恰当方程与积分因子(1) 恰当方程将一阶微分方程写成对称形式 (,)(,)0M x y dx N x y dy += 如方程右端恰可表为某函数(,)u x y 的全微分：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +≡ 则称方程为恰当方程.恰当方程的通解为 (,)u x y c =.方程为恰当方程的充分必要条件为M Ny x∂∂=∂∂ ，此时有 (,)(,)(,)u M x y dx N x y M x y dx dy y ⎡⎤∂=+-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰(2) 分项组合全微分方法将恰当方程的各项分项组合成全微分形式简单二元函数的全微分： 2(),y d x x d y xy d x x d y d x yd y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭2,ln ydx xdyy ydx xdyx d d x xy y x ⎛⎫-+-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221,ln2ydx xdy y ydx xdy x yd arctg d x x yx y x y ⎛⎫---⎛⎫== ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭(3) 积分因子如存在连续可微函数(,)x y μ，使得Mdx Ndy du μμ+=则称(,)x y μ为方程0Mdx Ndy +=的积分因子.同一方程可以有不同的积分因子.μ为积分因子的充分必要条件：()()M N y x μμ∂∂=∂∂即M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭(4) 单变量积分因子()()x y μμ、 ()x μμ=形式的积分因子的充分必要条件：()M Ny xx Nψ∂∂-∂∂=，此时积分因子为()()x dx x e ψμ⎰=. 同样，()y μμ=形式的积分因子的充分必要条件： ()M Ny xx Mϕ∂∂-∂∂=-，此时积分因子为()()y dyy e ϕμ⎰=.§2.4 一阶隐方程与参数表示一阶隐微分方程形式为 (,,')0F x y y =.(1) (,')y f x y = 令'y p = 对(,')y f x y =取x 微分得f f dp p x p dx∂∂=+∂∂，视为,x p 的一阶微分方程解之，解为(,)p x c ϕ=时原解为(,(,))y f x x c ϕ=；解为(,)x p c ψ=时原解为 (,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩. (2) (,')x f y y = 令'y p = 对(,')x f y y =取y 微分得1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂，视为,y p 的一阶微分方程解之，解为(,)p y c ϕ=时原解为(,(,))x f y y c ϕ=；解为(,)y p c ψ=时原解为 (,(,))(,)x f y p c y p c ψψ=⎧⎨=⎩. (3) (,')0F x y = 令'y p =，方程化为(,)0F x p =，代表(,)x p 平面上的一条曲线.如有参数解()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，则原方程的通解为 ()()'()x t y t t dt c ϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰. (4) (,')0F y y = 令'y p =，方程化为(,)0F y p =，代表(,)y p 平面上的一条曲线.如有参数解()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，则原方程的通解为 '()()()t x dt c t y t ϕψψ⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰.第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1) 微分方程00(,),,dy f x y R x x a y y b dx =-≤-≤：称(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件，如存在常数0L >满足121222(,)(,),(,)(,)f x y f x y L y y x y x y R -≤-∈、L 称为利普希茨常数.当(,)f x y 在R 上f y∂∂存在且连续，则(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件. 存在唯一性定理1 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dy f x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中 (,)min ,,max (,)x y R b h a M f x y M ∈⎛⎫== ⎪⎝⎭(2) 隐方程 (,,')0F x y y =存在唯一性定理 2 如(,,')F x y y 在'000(,,)x y y 的某邻域中对(,,')x y y 连续且存在连续偏导数，同时''000000(,,)0,(,,)0'F x y y F x y y y ∂=≠∂.则方程(,,')0F x y y =存在唯一解'0000(),(),'()y x x y x y ϕϕϕ===.(3) 逐步迫近法微分方程(,)dy f x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰ 取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,x n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程.通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性.先证积分方程与微分方程等价(命题1)；后用数学归纳法证定义的()n x ϕ存在且连续(命题2)；再证()n x ϕ在区间一致收敛(命题3)；于是()x ϕ是积分方程连续解(命题4)；最后，用反证法证解唯一(命题5).(4) 近似计算逐步迫近法中第n 次近似解()n x ϕ和真解()x ϕ有误差估计式1()()(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ 可以通过控制h 和n 使上不等式右端误差值足够小，而得到满足误差估计的近似解()n x ϕ.§3.2 解的延拓(1) 局部利普希茨条件对域称函数(,)f x y 在某区域G 内每一点有以其为中心的完全被含于G 内的闭矩形R 存在，在R 上(,)f x y 关于y 满足利普希茨条件，则称(,)f x y 在G 内满足局部利普希茨条件.(2) 延拓定理如(,)f x y 在某有界区域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,)dy f x y dx=的通过G 内任何一点00(,)x y 的解()y x ϕ=可以延拓，直到点(,())x x ϕ任意接近区域G 的边界.(3) 饱和解方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=的定义区间为x αβ<<，且当0x α→+或0x β→-时(,())x x ϕ趋于G 的边界，则称解()y x ϕ=为饱和解.当G 是无界区域时，方程(,)dy f x y dx=的解可能无界，αβ、亦可以是∞∞-、+. (4) 如(,)f x y 在整个x y 平面上定义、连续和有界，且存在关于y 的连续偏导数，则方程(,)dy f x y dx=的任一解均可延拓到区间x -∞<<+∞.§3.3 解对初值的连续性和可微性定理(1) 解对初值的对称性定理设方程(,)dy f x y dx =的满足初值条件00()y x y =的解是唯一的，记为00(,,)y x x y ϕ=，则(,)x y 与00(,)x y 对称，即有00(,,)y x x y ϕ=.(2) 解对初值的连续依赖定理如(,)f x y 在域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，0000(,),(,,)x y G y x x y ϕ∈=是方程(,)dy f x y dx=的满足初值条件00()y x y =的解，在区间a x b ≤≤上有定义(0a x b ≤≤)，则对任0ε>，有(,,)a b δδε=，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时方程(,)dy f x y dx=的满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间a x b ≤≤上也有定义，且0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤解对初值的连续性定理如(,)f x y 在域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,)dy f x y dx=的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的. (3) 解对初值的可微性定理如(,)f x y 和f y ∂∂在域G 内连续，则方程(,)dy f x y dx =的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续可微的.(4) 含参数微分方程(,,)dy f x y dxλ=，用G λ表示域：(,),G x y G λαλβ∈<<：如(,,)f x y λ在域G λ内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，当其利普希茨常数L 与λ无关时称为G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件.含参数方程的解对初值和参数的连续依赖定理如(,,)f x y λ在域G λ内连续且在G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件，000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(,,)dy f x y dxλ=的通过点000(,,)x y G λλ∈的解，在区间a x b ≤≤上有定义(0a x b ≤≤)，则对任0ε>，有(,,,,)a b δδεαβ=，使得当2222000000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时方程(,,)dy f x y dxλ=的通过点000(,,)x y Gλλ∈的解000(,,,)y x x y ϕλ=，在区间a x b ≤≤上也有定义，且 000000(,,,)(,,,),x x y x x y a x b ϕλϕλε-<≤≤含参数方程的解对初值的连续性定理如(,,)f x y λ在域G λ内连续且在G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,,)dy f x y dxλ=的解000(,,,)y x x y ϕλ=作为000,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.§3.4* 奇解(1) 包络对单参数曲线族(,,)0x y c Φ=其中c 是参数, Φ是x y c 、、的连续可微函数. 曲线族的包络曲线指它本身在曲线族中，但过包络曲线的每一点有曲线族中向一条曲线在该点与其相切.(2）c -判别曲线曲线族0Φ=的包络存在于下两方程'(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎪⎨Φ=⎪⎩ 消去c 而得的曲线中,称为c -判别曲线.c -判别曲线需通过实际检验才能确定是否是曲线族的包络.(2) 奇解奇解是微分方程的解，但其解曲线上每一点处唯一性不成立. 奇解定理一阶微分方程的通解的包络如存在，则它是奇解.反之亦然.(3) 隐微分方程,,0dy F x y dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇解，被包含在方程组 '(,,)0(,,)0pF x y p F x y p =⎧⎪⎨=⎪⎩ 消去p 而得的曲线 (称为p -判别曲线) 中.需通过实际检验才能确定是否是奇解.(4) 克莱罗方程 (),dy y xp f p p dx=+= (()f p 连续可微) 的通解是一直线族()y cx f c =+.此直线族的包络为方程的奇解.可用c -判别曲线求其包络(奇解).§3.5 数值解(1)求微分方程的初值问题00(,),()dy f x y y x y dx == （3.39）的解y y x =()，从初值条件00y x y ()=出发，按照一定的步长h ，依某种方法逐步计算微分方程解y x ()的值n n y y x ()=，这里0h x x n h =+⋅.这样求出的解称为数值解.用一种方法，其局部截断误差为步长h 的1()p O h +时称此方法有p 阶精度.(2) 欧拉公式(1阶精度)： 10(,),n n n n n y y h f x y x x n h +=+⋅=+⋅ 改进的欧拉方法(2阶精度)： 11112(,),((,)(,))n n n n n n n n n n h y y h f x y y y f x y f x y ++++=+⋅=++ (3) r 段(阶)龙格－库塔方法：11rn n i i i y y h k λ+==+∑112(,),,,j j n j n js s s k f x d h y h k j r β-==++=∑二阶龙格－库塔公式(2阶精度)：2r =, 1221222111,,22d d d λλβ=-== 四阶龙格－库塔公式(4阶精度)：4r =112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)i i i i i i i i i i h y y k k k k k f x y h h k f x y k h h k f x y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩(4) 相容性：当0h →时平均斜率趋近真正斜率.局部截断误差为p 阶时相容称为p 阶相容.收敛性：当0h →时计算公式收敛于精确解.整体误差()n n n e y x y =-(在整个区间0[,]n x x ).p 阶收敛：如存在正数M ，其整体误差p n e Mh ≤.定理不计舍入误差时，p 阶相容的方法一定是p 阶收敛的.(5) 刚性问题：微分方程组的初值问题中方程组的解的各分量值存在数量级的差别.微分方程组线性近似部分其特征值实部的绝对值中最大与最小之比称为刚性比.刚性比很大的刚性问题其数值方法与常规数值方法有所不同.第四章高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论(1) 基本概念 n 阶非次齐线性微分方程(非齐线性方程)1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= (1) 当非齐次线性方程(1)中函数()0f t ≡时称为n 阶齐次线性微分方程(齐线性方程)1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++= (2) 伏朗斯基行列式(函数()(1,,)i x t i k = 在区间a t b ≤≤可微1k -次)12'''1212(1)(1)(1)12()()()()()()()[(),(),,()]()()()k k k k k k k x t x t x t x t x t x t W t W x t x t x t x t x t x t ---==线性相关：对定义在区间a t b ≤≤上的函数()(1,,)i x t i k = ,如存在不全为零的常数(1,,)i c i k = ，使得在整个区间a t b ≤≤上恒成立1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡ ,不是线性相关的函数()(1,,)i x t i k = 称为在所给区间上线性无关. 基本解组(基解组) n 阶齐次线性方程(2)的一组n 个线性无关解.(2) 齐次线性方程基本性质：(a) 存在唯一性设()(1,,)i a t i k = 区间a t b ≤≤上连续，则对任0[,]t a b ∈及任意初值(1)(1)000,,,n x x x - ，方程(1) 存在唯一解()x t ϕ=定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== . 注意 00()()k k k k t t d t d t dt dt ϕϕ==. (b) 叠加原理对方程(2)的k 个解12(),(),,()k x t x t x t 的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++也是方程(2)的解.其中12,,,k c c c 为任意常数.(c) 定理若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关或无关，则在区间a t b ≤≤上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡或恒不为零.(d) 齐次线性方程(2)的基本解组的伏朗斯基行列式恒不为零.(e) 通解结构设12(),(),,()n x t x t x t 是齐次线性方程(2)的一个基本解组.则齐次线性方程(2)的通解可表为1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ (3)其中12,,,k c c c 为任意常数.通解包括了齐次线性方程(2)的所有解.(3)非齐次线性方程基本性质：(a) 存在唯一性设()(1,,)i a t i k = 和()f t 区间a t b ≤≤上连续，则对任0[,]t a b ∈及任意初值(1)(1)000,,,n x x x - ，方程(1) 存在唯一解()x t ϕ=定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== . (b) 如(),()x t x t 分别为n 阶线性方程(1),(2)的解，则()()x t x t +也是方程(1)的解.如12(),()x t x t 均为方程(1)的解，则12()()x t x t -是方程(2)的解.(c) 通解结构设12(),(),,()n x t x t x t 是齐次线性方程(2)的一个基本解组.()x t 是方程(1)的某一解(特解).则非齐次线性方程(1)的通解可表为1122()()()()n n x c x t c x t c x t x t =++++其中12,,,k c c c 为任意常数.反之，对方程(1)的所有解，必存在常数12,,,k c c c ,表为上述形式.(d) 常数变易法当已知方程(2)的一个基本解组12(),(),,()n x t x t x t 时，可用常数变易法求得方程(1)的解11()()()n ni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰其中()i t ϕ为由n 次微分通解式(3)得到的n 个方程。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章微分方程【圣才出品

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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解．（3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成（7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C．（9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

常微分方程补充教程教材

第一章一般理论1.1 预备知识一 .Banach 空间设X 是实数域或复数域F 上的线性空间，若X 上的实值函数⋅满足下列条件：（1）对任何X x ∈，0≥x ，并且0=x 的充要条件是0=x ；（2） x x αα=，X x F ∈∈∀,α；（3） y x y x +≤+，X y x ∈∀,，则称⋅为X 上的范数，而称),(⋅X 为赋范线性空间.通常我们略去⋅，而把X 简称为赋范线性空间.设X 是赋范线性空间，对任何X y x ∈,，令y x y x d -=),(，则d 是X 上的距离函数.因此，我们自然地把X 看成是度量空间. 完备的赋范线性空间称为Banach 空间.例如 n 维向量空间nR ,对()12,,,nn x x x x R =∈,定义范数x =,由⋅导出的距离称为Euclid 距离,且称n R 为n 维Euclid 空间,它是一个Banach 空间.又如连续函数空间[,]C a b ,对()[,]x t C a b ∈,定义范数max ()a t bx x t ≤≤=,则[,]C a b 是一个Banach 空间,但[,]C a b 按范数122(())bax x t dt =⎰是一个不完备的赋范线性空间.二 . 紧集与相对紧集设X 为度量空间, A 是X 中的子集.A 为相对紧集(或列紧集) 的充要条件是A 中任一点列必有收敛子列. A 为闭集)(A A =的充要条件是A 中任何收敛点列必收敛于A 中的点.A 为紧集的充要条件是A 为相对紧闭集(或自列紧集).在n R 中紧集与有界闭集是一致的,但在一般度量空间中,可以证明,紧集一定是有界闭集,但反之不然.于是我们可以把闭区间上连续函数的性质推广到度量空间紧集上的连续映射上来.例如1. 若f 是紧集A X ⊂上的连续映射,则f 在A 上必有界,而且可以达到上、下确界.2. 紧集上的连续映射必是一致连续的.3. 度量空间X 上的连续映射必然把列紧集映为列紧集. 三. Ascoli-Arzela 定理考虑定义在[,]αβ上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在0M >,使对任何f F ∈,都有[]βα,,)(∈≤t M t f ,则称函数族F 在[,]αβ上是一致有界的.如果对任给的0ε>,存在0δ>,使对任何F f ∈和12,[,]t t αβ∀∈,只要12t t δ-<,就有12()()f t f t ε-<,则称函数族F 在[,]αβ上是等度连续的.这里一致有界是指F 中所有f 在[,]αβ上有一个共同的界M ,等度连续是指0ε∀>，∃一个共同的δ,不仅对每个f 在t ∈[,]αβ上一致(即每个f 在[,]αβ上一致连续),并且对F 中所有f 一致.Ascoli-Arzela 定理设F =(){}f t 是定义在[,]αβ上的一致有界且等度连续的实值( m 维)向量函数族,则从F 中必可选取一个在[,]αβ上一致收敛的子序列(){}n f t .四 . 不动点原理设T 为度量空间X 到它自身的一个映射,如果存在数α,10<<α，使对一切,x y X ∈都有),(),(y x d Ty Tx d α≤，则称T 为X 上的压缩映射.压缩映射从几何上看就是x 和y 经T 映射后,它们的像的距离缩短了(不超过(),d x y 的α倍,α1<).压缩映射原理完备的度量空间X 中的压缩映射T 必有唯一的不动点(就是说,方程x Tx =有且只有一个解).定理中X 的完备性条件不能去掉.例如X (]0,1=,(),d x y =x y -,T 是如下的映射x Tx 21=,x ∈(]0,1. 显然T 是X 到X 的压缩映射,但x Tx =在(]0,1中无解,即在X 中不存在T 的不动点.条件),(Ty Tx d ≤α(),d x y ,α<01< 不能减弱为 ),(Ty Tx d <(),d x y (),,x y X x y ∈≠. 例如X =[0,+∞),X 为完备的度量空间, T 定义为=Tx x +11x+, x ∈[)0,+∞. 当[),0,,x y ∈+∞x y ≠时=),(Ty Tx d ()()11111111x y x y x y x y ⎛⎫+--=-- ⎪ ⎪++++⎝⎭<(),d x y ，但T 在[)0,+∞中没有不动点.应用上常取X 中的一个闭子空间(子空间M X ⊂是完备空间的充要条件是M 是X 的闭子空间).Schauder 不动点定理设X 是Banach 空间,A X ⊂是凸闭集, T 是A A→的连续映射,并且()T A 是相对紧集,则T 在A 中至少有一个不动点.1.2解的局部存在和唯一性定理一 . 皮卡(Picard)定理考虑初值问题(或Cauchy 问题) ()I (),,dxf t x dt=ξτ=)(x , 即方程()E(),dxf t x dt= 满足初始条件)()(J x ∈=τξτ的解的问题,其中t ∈R ，(),,,n x f R f t x ∈是定义在区域1n G R +⊂上的n 维实值向量函数,R J ⊂为某一区间.历史上Cauchy 在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值问题称为Cauchy 问题).1876年,Lipschity 减弱了Cauchy 定理的条件.1893年,Picard 用逐次逼近法在Lipschity 条件下对定理给出了一个新证明.定理2.1(Picard) 若函数(),f t x 在空间1n R +中某区域R : t a τ-≤,x b ξ-≤上连续,并且关于x 满足Lipschity 条件,即0L ∃>,使当(),t x ,R x x ∈),(时有x x L x t f x t f -≤-),(),(，则初值问题（I ）在区间h t ≤-τ上存在唯一解)(t ϕ，其中),min(Mb a h =，),(max ),(x t f M Rx t ∈=.证明思路先证明解的存在性（转化——逼近——取极限）转化证明初值问题（I ）等价于积分方程)(I ds s x s f x t))(,(⎰+=τξ.这里等价的含义是指)(t x ϕ=是初值问题（I ）的解当且仅当它是积分方程)(I 的连续解.逼近构造逐次逼近序列 ξϕ=)(0t ，),2,1,0())(,()(1 =+=⎰+k ds s s f t tk k τϕξϕ.证明序列{})(t k ϕ在J ：h t ≤-τ上有定义，连续且满足b t k ≤-ξϕ)(.取极限ds s s f t tk k k k ))(,(lim )(lim 1⎰∞→+∞→+=τϕξϕ.证明序列{})(t k ϕ及{}))(,(t t f k ϕ在J 上皆一致收敛.于是记)(lim )(t t k k ϕϕ∞→=，则)(t ϕ在J 上连续，并且可通过积分号取极限，从而有ds s s f t t))(,()(⎰+=τϕξϕ，即)(t x ϕ=是积分方程)(I 的连续解.最后证明解的唯一性.下面应用压缩映射原理证明定理2.1 .定理2.1的证明仅考虑+J ：h t +≤≤ττ的情形，对于左半区间的情形可以类似讨论.用][+J C 表示定义在+J 上一切连续的n 维向量函数所构成的集合.对][+∈∀J C ϕ，定义它的范数为etJ t t βϕϕ-∈+=)(m ax ，其中L >β为某一常数.容易证明][+J C 按距离2121),(ϕϕϕϕ-=d 成为完备的度量空间.用D 表示][+J C 满足条件b t ≤-ξϕ)()(+∈J t 的连续向量函数全体构成的子空间，不难看出D 是闭子空间，从而是完备的度量空间. 令⎰+=tds s s f t T τϕξϕ))(,())((，+∈J t ，则T 是D 到D 中的映射. 事实上，任取D ∈ϕ有b Mh ds s s f t T t≤≤=-⎰|))(,(||))((|τϕξϕ，即当D ∈ϕ时，D T ∈ϕ. 又对D ∈∀21,ϕϕ有|))](,())(,([||))(())((|2121⎰-=-tds s s f s s f t T t T τϕϕϕϕds e e s s L s s tββτϕϕ⋅-≤-⎰|)()(|21ds e e t t L ts tJt ⎰-∈-≤+τββϕϕ}|)()({|max 21t e Lβϕϕβ21-≤.从而推出21ϕϕT T -21ϕϕβ-≤L，10<<βL.所以T 是D 中的压缩映射，故存在唯一的D ∈ϕ，使ϕϕ=T ，即⎰+=tds s s f t τϕξϕ))(,()(，+∈J t .由于积分方程)(I 定义在+J 上的任何连续解都含于D 中，因此方程)(I 在+J 上存在唯一的连续解)(t ϕ，它等价于初值问题（I ）在+J 上存在唯一解)(t ϕ. 推论2.1 若函数),(x t f 在区域1n G R +⊂内连续，且关于x 满足局部 Lipschity 条件 [即对任一点G ∈),(ξτ，存在它的一个邻域),(ξτV ，使),(x t f 在),(ξτV G 上关于x 满足Lipschity 条件（注意，相应的Lipschity 常数与V 有关）]，则对任一点G P ∈),(ξτ，都相应地有含点τ的一个区间P J ，使初值问题（I ）在P J 上存在唯一解.推论 2.2 若函数),(x t f 在区域1n G R +⊂内连续并存在连续的偏导数()(),,...,3,2,1,,n j i x x t f ji =∂∂则仍有推论1的结论成立.例1 利用Picard 定理证明初值问题22dx t x dt=+ ，0)0(=x在区间]21,21[-上存在唯一解.证在矩形R ：1,1≤≤x t 上考察所给初值问题.由于22(,)f t x t x =+及x xf2=∂∂都在R 上连续，故满足Picard 定理的条件.这里1==b a ，2),(max ),(==∈x t f M R x t ，21),min(==M b a h . 因此推出该问题在区间21<x ，即]21,21[-上存在唯一解. 例2 设二元函数),(x t f 在带域G ：+∞<<∞-≤≤x t ,βα上连续，关于x 满足局部Lipschity 条件，且0)0,(≡t f . 记)(t x ϕ=为初值问题ξτ==)(),,(x x t f dtdx)(βτα≤≤ 的解. 试证明：若0>ξ，则对一切[]βα,∈t 恒有.0)(>t ϕ证由假设可知，对任给G ∈),(ξτ，所述初值问题在区间[]βα,上存在唯一解，且0=x )(βα≤≤t 是方程的解.用反证法证明：当0>ξ时，对一切[]βα,∈t 恒有0)(>t ϕ. 因为如果不然，必存在[]1,t αβ∈，使0)(1=t ϕ.于是过点1(,0)t 就有方程的两个不同的解)(t x ϕ=及0=x 通过，这是一个矛盾.例3 设在积分方程⎰+=ba ds s x s t K t f t x )(),()()(λ中，)(t f 在b t a ≤≤上连续，),(s t K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续. 试证：当λ足够小时，此方程在b t a ≤≤上必存在唯一的连续解.证在],[b a C 中定义范数x =)(max t x bt a ≤≤，则],[b a C 是一个Banach 空间. 作映射T ：⎰+=ba ds s x s t K t f t Tx )(),()())((λ，[]b a x ,∈.由假设条件知],[b a C Tx ∈，T 是],[b a C 到自身的映射. 令{}b s a b t a s t K M ≤≤≤≤=,:),(max ，对],[,21b a C x x ∈∀有[]1212()()()()(,)()()baTx t Tx t K t s x s x s ds λ-=-⎰21)(x x a b M --≤λ . 若记)(a b M -=λα，则当)(1a b M -<λ时就推出1212Tx Tx x x α-≤-，10<≤α.根据压缩映射原理，T 在],[b a C 中有唯一的不动点，即所给积分方程在b t a ≤≤上有唯一的连续解.例4 设三元函数),,(z s t K 在0,st a z ≤≤≤-∞<<+∞上连续，且关于z 满足 Lipschity 条件|||),,(),,(|z z L z s t K z s t K -≤-，而函数()g t 在0t a ≤≤上连续，试证积分方程()()()()⎰+=tds s u s t K t g t u 0,,在a t ≤≤0上存在唯一的连续解.证在],0[a C 中定义范数t at e t u u β-≤≤=)(max 0，[]0,u C a ∈，其中L >β是某一常数，则],0[a C 是一个Banach 空间，考察],0[a C 到它自身的映射T ：()()()()()⎰∈+=ta C u ds s u s t K t g t Tu 0],0[,,,.任取],0[,21a C u u ∈，有()|))](,,())(,,([||))(()(|02121⎰-≤-tds s u s t K s u s t K t Tu t Tuds e e s u s u L s s tββ⋅-≤-⎰|)()(|201ds e u u L ts ⎰-≤021β12t Lu u e ββ≤-，从而推出21Tu Tu -21u u L-≤β，10<<βL.根据压缩映射原理，T 在],0[a C 中有唯一的不动点，即所给积分方程在a t ≤≤0上有唯一的连续解.例5 设二元函数()x t f ,在+∞<<-∞≤≤x a t ,0上连续，且存在10<<K ，对],0(a t ∈∀及R x x ∈21,有()()2121,,x x tKx t f x t f -≤-. 试证明初值问题()x t f x ,='，()ξ=0x （2.1）在a t ≤≤0上存在唯一解。

补充全微分方程(新)

则 u ( x, y) 5x d x (3x 2 y 3xy 2 y 2 ) dy
4 0 0
3 2 2 1 3 3 x x y xy y 2 3
5
y
( x, y )
因此，原方程的通解为
o (x,0) x
5
3 2 2 1 3 3 x x y xy y C 2 3
Q y 3x 6x 4， 4 x x y y
2 2
P Q y x
故，原方程是全微分方程.
16
y0 x0
y
x
法二：用直接凑全微分的方法.
4
例 1 求 (5x 4 3x y 2 y 3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0的通解
解:
Q P 2 6x y 3 y x y
x y
故，原方程是全微分方程. 取 x0 0 , y0 0，
5
y 1 例 2 求方程 ( x 2 ) d x d y 0 的通解. x x P 1 Q 解: 2 ，故，这是一个全微分方程 . y x x
（用凑微分法求通解）
xd y ydx 将方程写为 x d x 0 2 x 1 2 y 1 2 y d x d 0, 即，d x 0. 2 x 2 x
3
★ 全微分方程解法:
设 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 是全微分方程.
法一：应用曲线积分与路径的无关性. 通解为
u( x , y ) C ;
x y x0 y0
其中，u ( x, y ) P( x, y0 )d x Q( x, y )dy

lesson7微分方程模型(2)

解： x0 5 1
案例2
房屋管理部门想在房顶的边缘安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常在200~500之间。
现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径为7．5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)，并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水．
质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (介质的摩擦力和阻力忽略不计)。
速降线问题实验
速降线是否连接A和B的直线段？
X
牛顿的实验（1630年）在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个
沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问题，他认为速阵线是圆弧线。
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
5、一个考古问题
（1）问题分析与模型的建立
1、
2、
（2）解
（3）一个事实
6、堂上问答
因为镭-226衰变为铅一210
问题：y0既不能直接测量，计算也有困难
鉴别油画的方法：
要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下述简单事实：如果颜料的年头比起铅的半哀期22 年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面，如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210 的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。

7-2相平面法

目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和法。
下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线
近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意
一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这
点的相轨迹切线来近似。
设系统的微分方程式为
dx dx
f (x, x) x
式中dx/dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为
另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t，
从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
5
[例7-5] 二阶线性系统当 = 0时的微分方程式为
绘制相平面图。
x
2 n
x
0
解：
dx dx
2 n
x
x
对上式积分，便得相轨迹方程
A
x02
/
2 n
x02
x 2 x 2 A2
2 n
x
x
0
x0
t
6
2. 图解法
3）除平衡点（ dx/dx=0/0）外，相轨迹与x轴的相交处切线斜率应为+或，即相轨迹与x轴垂直相交；
4）等倾线法的准确度，取决于等倾线的分布密度。为保证一定的绘制准确度，一般取等倾线的间隔以 5~10为宜。
5）对于线性系统，等倾线是简单的直线。对于非线性系统，等倾线不再是简单的直线而是曲线。
1）横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；
2）在相平面的上半平面，由于x > 0，则x随t增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面，由于x < 0，则x随t增大而减小，相轨迹的走
向应是由右向左；总之，相轨迹上的箭头方向总是按顺时针方向。

高等数学微分方程习题(最新整理)

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。

合肥工业大学-高等数学-上-7-2一阶微分方程的常见类型及解法

(7.2.12)
把式（7.2.11）、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11），得方程
dx x x ( )2 1 ． dy y y
x dx dv 这是齐次方程．令 v ，则 x yv ，有 v y ，代入上式，得 y dy dy v y dv dv dy v v 2 1 ，得． 2 dy v 1 y
积分得以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
27-6
7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
y ( )2 dy y dy x ． 2 ，进而 dx xy 2 x dx y 2 x
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3），且式（7.2.5）含有一个任意常数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．

梁的抗弯刚度为EI

2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度
为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
l/2
l/2
解：分析：
此题属于1次超静定问题。
其中，
25Fl 3
yC1 768EIZ
yC 2

Fl 3 24 EI Z
yC

yC 2

yC1

7 Fl 3 768EI Z
材料力学
l/2
l/2
A
B
MA FA
F FB
A
C
B
FB
(a)
+
A
C
B
F
(b)
如果没用顶尖的作用，在刀尖作用点处挠度为：
yC 2

Fl 3 24 EI Z
求得有无顶尖作用时，在刀尖处变形比为：
D1 D2 0
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
wm ax b
B B x
FBy
材料力学
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI1

Fb 2l
x2 1

Fb 6l
(l 2
b2)
EIw1

Fb 6l
x3 1

Fb 6l
(l 2
b2 )x1
CB 段： a x2 l
C
F
(d) BB

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xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
( P ) ( Q ) 2.公式法: , y x P Q 两边同除， P Q y y x x ln ln P Q Q P x y y x
思考: 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x , y ) 0 , 使为全微分方程, 则称 ( x , y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到积分因子.

1 dx 1 x
[ x e
2

1 dx 1 x
dx C ],
x3 x4 通解为 y xy C. 3 4
( x 2 x 3 y )dx (1 x )dy 0, 解2 整理得 P Q 1 , 是全微分方程. y x
A 用曲线积分法:
1 P Q 1 ) , ( x) e 解 ( Q y x x
则原方程为1 dx x x.(3 x 2 y xy2 )dx ( x 3 x 2 y )dy 0,
(3 x 2 y xy2 )dx ( x 3 x 2 y )dy 0,
全微分方程
一、全微分方程二、积分因子法
一、全微分方程
若存在 u( x, y ) 使 d u( x , y ) P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
特殊地: 求解不容易
d a . 当只与x有关时; 0, , y x dx
d ln 1 P Q ( ) f ( x) dx Q y x d , 0, b. 当只与y有关时; y dy x d ln 1 Q P g( y ) ( ) dy P x y
备用题解方程
解法1 积分因子法. 原方程变形为取积分因子
1 y2
故通解为此外, y = 0 也是方程的解.
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解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
y 将 u 代入 , 得通解 x 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法3 化为线性方程. 原方程变形为
dy x2 x3 y 的通解. 例7 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 y x2 , 整理得 dx 1 x
C . A 常数变易法: 对应齐方通解 y 1 x x3 x4 C ( x) 设 y . C ( x) C . 3 4 1 x
B 公式法:y e
u ( x, y)
x 4 0y ( 3 x 2 y 3 x y 2 0 5 x d x
5
y2 ) d y
1 3 3 2 2 3 x x y xy y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x x y xy y C 2 3
y
( x, y )
2
3 2
例6 求微分方程
2 xy ln ydx ( x 2 y 2 1 y 2 )dy 0的通解.
解将方程左端重新组合,有
（2 xy ln ydx x 2 dy ) y 2 1 y 2 dy 0, 1 易知 ( x , y ) , y2 x 2 则 ( 2 x ln ydx dy) y 1 y dy 0, y 3 可积组合法 1 2 2 2 即 d ( x ln y ) d (1 y ) 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y (1 y 2 ) 2 C . 3
C ( y ) y,
x3 x4 C. 原方程的通解为 y xy 3 4
例3. 求解解: 分项组合得 ( y d x x d y ) x y ( y d x x d y ) 0 2 2 dx d y 即 d( x y ) x y ( )0 x y 1 选择积分因子 ( x , y ) 2 2 , 同乘方程两边 , 得
x y
1 d( ln x ) d( ln y ) 0 d 即 xy 1 1 x x 因此通解为 ln ln C , 即 C e x y y xy y 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 且 y=0
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d( x y ) d x d y 0 2 x y ( x y)
2 3
u 2 3 x x y, C 不定积分法: x x3 x4 ( x 2 x 3 y )dx xy C ( y ), 3 4 u u x C ( y ), 又 1 x, y y
x C ( y ) 1 x , C ( y ) 1,
常见的全微分表达式
x2 y2 xdx ydy d 2
xdy ydx y d arctan x x2 y2
xdy ydx y d 2 x x
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 d ln( x 2 y 2 ) x2 y2 2
解
2 xdx 2 x x 2 ydx x 2 ydy 0, d ( x 2 ) x 2 yd ( x 2 ) x 2 ydy 0,
将方程左端重新组合,有
d ( x 2 ) x 2 yd ( x 2 y ) 0,
2 2 原方程的通解为 x ( x y ) C . 3
g ( y )dy . ( y) e
f ( x )dx . ( x) e
可选用的积分因子有
1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x y x x y x y y x
例4 求微分方程
( 3 xy y 2 )dx ( x 2 xy)dy 0的通解.
o (x,0) x
例2. 求解
P 1 Q 解: 2 , ∴ 这是一个全微分方程 . y x x 用凑微分法求通解. 将方程改写为
x dx x d y y dx x2 0
1 2 y 1 2 y 即 d x d 0, 或 d x 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x C 2 x
常用微分倒推公式: 1) d x d y d ( x y )
3) xd x yd y d ( 1 ( x 2 y 2 ) ) 2
2) xd y yd x d ( x y )
x 4) d( ) 2 y y yd x xd y x 6) d ( ln ) xy y
① 为全微分方程求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
例1. 求解
(5 x 4 3 x y 2 y 3 ) d x ( 3 x 2 y 3 x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q , 6x y 3 y 故这是全微分方程. 解: 因为 x y 取 x0 0, y0 0, 则有
其通解为
即
P ( x ) dx dx C Q( x ) e y e 此外, y = 0 也是方程的解.
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P ( x ) dx
u( x , y) ( x x y)dx dy,
2 3 0 0
x
y
B 凑微分法:
dy ( xdy ydx) x dx x dx 0, x3 x4 dy d ( xy ) d d 0， 34 4 x3 x d ( y xy ) 0. 3 4
3 x ydx x dy xy ( ydx xdy ) 1 3 d ( yx ( xy) 2 ) 0, 2
2 3
原方程的通解为
1 2 yx ( xy) C . 2
3
(公式法)
例5 求微分方程
2 x(1 x 2 y )dx x 2 ydy 0的通解.
7) yd x xd y x y
2 2
yd x xd y
5)
yd x xd y
2
x 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 yd x xd y 0
可取
y d( ) x
x d (arctan ) y
d ( x2 y2 )
8)
xd x yd y x 2 y 2
1.观察法: 凭观察凑微分得到 ( x , y )