全国通用 2020版高考物理一轮复习：第10章 第3讲 电磁感应规律的综合应用

第3讲 电磁感应规律的综合应用
一、电磁感应中的电路问题 1．内电路和外电路
(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源。

(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路。

2．电源电动势和路端电压 (1)电动势：E ＝BLv 或E ＝n
ΔΦΔt。

(2)电源正、负极：用右手定则或楞次定律确定。

(3)路端电压：U ＝E －Ir ＝IR 。

二、电磁感应图象问题
三、感应电流在磁场中所受的安培力 1．安培力的大小
由感应电动势E ＝BLv ，感应电流I ＝E R 和安培力公式F ＝BIL 得F ＝B 2L 2v
R 。

2．安培力的方向判断
四、电磁感应中的能量转化与守恒
1．能量转化的实质
电磁感应现象的能量转化实质是其他形式能和电能之间的转化。

2．能量的转化
感应电流在磁场中受安培力，外力克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能，电流做功再将电能转化为内能(或其他形式的能)。

3．热量的计算
电流(恒定)做功产生的热量用焦耳定律计算，公式Q＝I2Rt。

(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

)
1．闭合电路的欧姆定律同样适用于电磁感应电路。

(√)
2．在闭合回路中切割磁感线的那部分导体两端的电压一定等于产生的感应电动势。

(×)
3．电路中电流一定从高电势流向低电势。

(×)
4．克服安培力做的功一定等于回路中产生的焦耳热。

(×)
5．有安培力作用时导体棒不可能做加速运动。

(×)
1．(电磁感应中的电路问题)如图所示，两个互连的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为( )
A ．12E
B ．13E
C ．2
3
E D ．E
解析 a 、b 间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的13，故a 、b 间电势差为U ＝1
3E ，B
项正确。

答案 B
2.(电磁感应中的图象问题)在四个选项中，虚线上方空间都存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。

A 、B 中的导线框为正方形，C 、D 中的导线框为直角扇形。

各导线框均绕垂直纸面轴O 在纸面内匀速转动，转动方向如箭头所示，转动周期均为T 。

从线框处于图示位置时开始计时，以在OP 边上从P 点指向O 点的方向为感应电流i 的正方向。

则在选项中的四个情景中，产生的感应电流i 随时间t 的变化规律如图所示的是( )
解析 根据感应电流在一段时间恒定，导线框应为扇形；由右手定则可判断出产生的感应电流i 随时间t 的变化规律如题图所示的是选项C 。

答案 C
3.(电磁感应中的动力学问题)(多选)如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。

一根质量为m 的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v max ，则( )
A ．如果
B 增大，v max 将变大 B ．如果α变大，v max 将变大
C ．如果R 变大，v max 将变大
D ．如果m 变大，v max 将变大 解析
金属杆从轨道上由静止滑下，经足够长时间后，速度达最大值v max ，此后金属杆做匀速运动，杆受重力、轨道的支持力和安培力，如图所示。

安培力F ＝BLv max R LB ，对金属杆列平衡方程mgsinα＝B 2L 2v max
R ，则
v max ＝mgsinα·R
B 2L 2，由此式可知，B 增大，v max 减小；α增大，v max 增大；R 变大，v max 变大；m 变大，v max 变
大。

因此B 、C 、D 三项正确。

答案 BCD
4.(电磁感应中的能量问题)如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R ，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F 作用下加速上升的一段时间内，力F 做的功与安培力做的功的代数和等于( )
A．棒的机械能增加量B．棒的动能增加量
C．棒的重力势能增加量D．电阻R上放出的热量
解析棒受重力G、拉力F和安培力F安的作用。

由动能定理：W F＋W G＋W安＝ΔE k得W F＋W安＝ΔE k ＋mgh，即力F做的功与安培力做功的代数和等于机械能的增加量，A项正确。

答案 A
考点 1 电磁感应中的电路问题
考|点|速|通
解决电磁感应中的电路问题三步骤
典|例|微|探
【例1】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中。

一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。

在PQ从靠近ad处向bc滑动
的过程中( )
A ．PQ 中电流先增大后减小
B ．PQ 两端电压先减小后增大
C ．PQ 上拉力的功率先减小后增大
D ．线框消耗的电功率先减小后增大 解析
整个回路的等效电路如图所示，导体棒PQ 向右滑动的过程中，外电路的总电阻先增大后减小，故PQ 中的电流先减小后增大，A 项错误，P 、Q 两端的电压是外电压，随外电阻也应先增大后减小，B 项错误；PQ 上拉力的功率P ＝F·v＝BIl·v，随电流应先减小后增大，C 项正确；外电路电阻一直小于内电阻，故外电路消耗的功率随外电阻也应先增大后减小，D 项错误。

答案 C
电磁感应中确定电源的方法
1．判断出产生电磁感应现象的那一部分导体(电源)。

2．动生问题(棒切割磁感线)产生的电动势E ＝BLv ，方向由右手定则判定。

3．感生问题(磁感应强度的变化)产生的电动势E ＝n ΔBS
Δt ，方向由楞次定律判定。

而电流方向都是等效
电源内部负极流向正极的方向。

题|组|冲|关
1．如图甲所示，半径为r 的带缺口刚性金属圆环固定在水平面内，缺口两端引出两根导线，与电阻R 构成闭合回路。

若圆环内加一垂直于纸面变化的磁场，变化规律如图乙所示。

规定磁场方向垂直纸面向里为正，不计金属圆环的电阻。

以下说法正确的是( )
A ．0～1 s 内，流过电阻R 的电流方向为a →b
B ．1～2 s 内，回路中的电流逐渐减小
C ．2～3 s 内，穿过金属圆环的磁通量在减小
D ．t ＝2 s 时，U ab ＝πr 2B 0
解析 0～1 s 内，穿过线圈垂直纸面向里的磁场在增大，根据楞次定律可得流过电阻R 的电流方向为b →a ，A 项错误；1～2 s 内，回路中的电流I ＝E R ＝ΔBS ΔtR ，图象的斜率k ＝ΔB
Δt ，在1～2 s 内磁通量变化率恒
定，所以电流恒定，B 项错误；2～3 s 内，穿过金属圆环的磁通量垂直纸面向外在增大，C 项错误；由法拉第电磁感应定律可知，在2 s 时，因不计金属圆环的内阻，则U ab ＝E ＝B 0πr 2，D 项正确。

答案 D
2.在同一水平面上的光滑平行导轨P 、Q 相距l ＝1 m ，导轨左端接有如图所示的电路。

其中水平放置的平行板电容器两极板M 、N 相距d ＝10 mm ，定值电阻R 1＝R 2＝12 Ω，R 3＝2 Ω，金属棒ab 的电阻r ＝2 Ω，其他电阻不计。

磁感应强度B ＝0.5 T 的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab 沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间的质量m ＝1×10－14kg 、电荷量q ＝－1×10－14 C 的微粒恰好静止不动。

g 取10 m/s 2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，且速度保持恒定。

试求：
(1)匀强磁场的方向； (2)ab 两端的路端电压； (3)金属棒ab 运动的速度。

解析 (1)负电荷受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电场力竖直向上，故M 板带正电。

ab 棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab 棒等效于电源，其a 端为电源的正极，感应电流方向由b →a ，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下。

(2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有qU MN d ＝mg ，所以U MN ＝mgd
q ＝0.1 V 。

R 3两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得通过R 3的电流为I ＝U MN
R 3＝0.05 A ，
则ab 棒两端的电压为U ab ＝U MN ＋I R 1R 2
R 1＋R 2＝0.4 V 。

(3)由法拉第电磁感应定律得感应电动势E ＝Blv ， 由闭合电路欧姆定律得E ＝U ab ＋Ir ＝0.5 V ， 联立解得v ＝1 m/s 。

答案 (1)竖直向下 (2)0.4 V (3)1 m/s
考点 2 电磁感应中的图象问题
考|点|速|通
处理图象问题要做到“四明确、一理解”
典|例|微|探
【例2】如图所示，有一等腰直角三角形的区域，其斜边长为2L，高为L。

在该区域内分布着如图所示的磁场，左侧磁场方向垂直纸面向外，右侧磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B。

一边长为L、总电阻为R的正方形导线框abcd，从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域。

取沿顺时针方向的感应电流为正，下列表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图象正确的是( )
A B
C D
解析bc边的位置坐标x在L～2L过程中，线框bc边有效切割长度l＝x－L感应电动势E＝Blv＝B(x
－L)v ，感应电流i ＝E R ＝B (x －L )v
R ，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a →b →c →d →a ，为正值；x 在2L ～
3L 过程中，ad 边和bc 边都切割磁感线，产生感应电动势，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a →d →c →b →a ，为负值，线框有效切割长度l ＝L ，感应电动势E ＝BLv ，感应电流i ＝－
BLv
R
；x 在3L ～4L 过程中，线框ad 边有效切割长度l ＝L －(x －3L)＝4L －x ，感应电动势E ＝B(4L －x)v ，感应电流i ＝B (4L －x )v
R ，根据
楞次定律判断出感应电流方向沿a →b →c →d →a 为正方向，由数学知识得D 项正确。

答案 D
电磁感应中图象类选择题的两个常见解法
1．排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项。

2．函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法。

题|组|冲|关
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、三象限内有垂直该坐标平面向里的匀强磁场，二者磁感应强度相同，圆心角为90°的扇形导线框OPQ 以角速度ω绕O 点在图示坐标平面内沿顺时针方向匀速转动。

规定与图中导线框的位置相对应的时刻为t ＝0，导线框中感应电流逆时针为正。

则关于该导线框转一周的时间内感应电流i 随时间t 的变化图象正确的是( )
A B
C D
解析 在线框切割磁感线产生感应电动势时，由E ＝1
2BL 2ω知，感应电动势一定，感应电流大小不变，
故B 、
D 两项错误；在T 2～3
4T 内，由楞次定律判断可知线框中感应电动势方向沿逆时针方向，为正，故A 项
正确、C 项错误。

答案 A
2．(多选)如图所示，CAD 是固定在水平面上的用一硬导线折成的V 形框架，∠A ＝θ。

在该空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场。

框架上的EF 是用同样的硬导线制成的导体棒，它在水平外力作用下从A 点开始沿垂直EF 方向以速度v 匀速水平向右平移。

已知导体棒和框架始终接触良好且构成等腰三角形回路，导线单位长度的电阻均为R ，框架和导体棒均足够长。

则下列描述回路中的电流I 和消耗的电功率P 随时间t 变化的图象中正确的是(
)
A B C D
解析 由几何知识可知，导体棒切割磁感线的有效长度为L ＝2vttan θ2
，回路的总电阻R 总＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
1sin θ2＋1
LR ，
感应电动势E ＝BLv ，则回路中的电流I ＝Bv
R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1sin θ2＋1，回路消耗的电功率P ＝EI ＝2B 2v 3
tan
θ
2
R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
1sin θ2＋1t ，故A 、D 两
项正确，B 、C 两项错误。

答案 AD
考点 3 电磁感应中的动力学问题
考|点|速|通
1．两种状态及处理方法
2．力学对象和电学对象的相互关系
3．动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度求最大值或最小值的条件。

具体思路如下：
典|例|微|探
【例3】 如图所示，金属杆ab 、cd 置于平行轨道MN 、PQ 上，可沿轨道滑动，两轨道间距l ＝0.5 m ，轨道所在空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5 T ，用力F ＝0.25 N 向右水平拉杆ab ，若ab 、cd 与轨道间的滑动摩擦力分别为f 1＝0.15 N 、f 2＝0.1 N ，两杆的有效电阻R 1＝R 2＝0.1 Ω，设导轨电阻不计，ab 、cd 的质量关系为2m 1＝3m 2，且ab 、cd 与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。

求：
(1)此两杆之间的稳定速度差；
(2)若F ＝0.3 N ，则两杆间稳定速度差又是多少？
解析 因F>f 1，故ab 由静止开始做加速运动，ab 中将出现不断变大的感应电流，致使cd 受到安培力F 2作用，当F 2>f 2时 ，cd 也开始运动，故cd 开始运动的条件是F －f 1－f 2>0。

(1)当F ＝0.25 N 时，F －f 1－f 2＝0，故cd 保持静止，两杆的稳定速度差等于ab 的最终稳定速度v max ， 故此种情况有：
电流I m ＝E m R 1＋R 2＝Blv max
R 1＋R 2，
安培力F m ＝BI m l ，
则有F －F m －f 1＝0，由此得v max ＝0.32 m/s 。

(2)当F ＝0.3 N>f 1＋f 2，对ab 、cd 组成的系统，ab 、cd 所受安培力大小相等，方向相反，合力为零，则系统受的合外力为F 合＝F －f 1－f 2＝0.05 N 。

对系统有F 合＝(m 1＋m 2)a ， 因为2m 1＝3m 2，则F 合＝5
2
m 2a 。

取cd 为研究对象，F 安－f 2＝m 2a ，F 安＝BIl ，I ＝BlΔv
R 1＋R 2，
联立各式解得Δv＝R 1＋R 2B 2l 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
25F 合＋f 2＝0.384 m/s 。

答案 (1)0.32 m/s (2)0.384 m/s
用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
题|组|冲|关
1.(多选)竖直放置的平行光滑导轨，其电阻不计，磁场方向如图所示，磁感应强度B ＝0.5 T ，导体ab 及cd 长均为0.2 m ，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N ，现用竖直向上的力拉导体ab ，使之匀速上升(与导轨接触良好)，此时释放cd ，cd 恰好静止不动。

那么ab 上升时，下列说法正确的是( )
A ．ab 受到的拉力大小为0.2 N
B ．ab 向上的速度为2 m/s
C ．在2 s 内，拉力做功转化的电能是0.8 J
D ．在2 s 内，拉力做的功为0.6 J
解析 导体棒ab 匀速上升，受力平衡，cd 棒静止，受力也平衡，对于两棒组成的整体，合外力为零，根据平衡条件可得：ab 棒受到的拉力F ＝2G ＝0.2 N ，A 项正确；cd 棒受到的安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2v
2R ，cd
棒静止，处于平衡状态，由平衡条件得B 2L 2v
2R ＝G ，代入数据解得v ＝2 m/s ，B 项正确；在2 s 内，电路产
生的电能Q ＝E 22R t ＝(BLv )22R t ＝(0.5×0.2×2)2
2×0.1×2 J ＝0.4 J ，则在2 s 内，拉力做的功有0.4 J 的机械能转化为电
能，C 项错误；在2 s 内，拉力做的功为：W ＝Fvt ＝0.2×2×2 J ＝0.8 J ，D 项错误。

答案 AB
2.如图所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ 固定在水平面内，导轨间距L ＝0.50 m ，一根质量为m ＝0.50 kg 的匀质金属棒ab 横跨在导轨上且接触良好，abMP 恰好围成一个正方形，该导轨平面处在磁感应强度方向竖直向上、大小可以随时间变化的磁场中，棒与导轨间的滑动摩擦力为f ＝1.0 N(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，棒的电阻R ＝0.10 Ω，其他电阻均不计，开始时，磁感应强度B 0＝0.50 T 。

(1)若从t ＝0开始，调节磁感应强度大小，使其以ΔB
Δt ＝0.40 T/s 的变化率均匀增加，求经过多长时间ab
棒开始滑动。

(2)若保持磁感应强度B 0的大小不变，从t ＝0时刻开始，给棒施加一个与之垂直且水平向右的拉力F ，使棒从静止开始做匀加速直线运动，其大小随时间变化的函数表达式为F ＝(3＋2.5t)N ，求棒的加速度大小。

解析 (1)以ab 棒为研究对象，当磁感应强度均匀增大时，闭合电路中产生恒定的感应电流I ，ab 棒受到的安培力逐渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到ab 棒所受安培力F A 与最大静摩擦力相等时开始滑动，设磁感应强度对时间的变化率为k ，则
k ＝
ΔB
Δt
＝0.40 T/s 。

感应电动势E ＝ΔΦΔt ＝ΔB
Δt L 2＝kL 2＝0.40×0.502 V ＝0.10 V ，①
感应电流I ＝E R ＝0.10
0.10 A ＝1 A ，②
磁感应强度B t ＝B 0＋ΔB
Δt t ＝B 0＋kt ，③
安培力F A ＝ILB t ＝f ，④ 由①②③④式得t ＝3.75 s 。

⑤
(2)设棒ab 的加速度为a ，t 时刻运动的速度为v 。

根据牛顿第二定律得F －F A －f ＝ma ，⑥ 安培力F A ＝ILB 0，⑦ 感应电流I ＝E R ＝B 0Lv
R ，⑧
速度v ＝at ，⑨ 已知F ＝(3＋2.5t)N ，⑩ 联立⑥⑦⑧⑨⑩得a ＝4.0 m/s 2。

答案(1)3.75 s (2)4.0 m/s2
考点 4 电磁感应中的能量问题
考|点|速|通
1．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程。

2．能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法
典|例|微|探
【例4】如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L＝1 m，导轨间连接的定值电阻R＝3 Ω，导轨上放一质量为m＝0.1 kg的金属杆ab，金属杆始终与导轨接触良好，杆的电阻r＝1 Ω，其余电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里。

重力加速度g取10 m/s2。

现让金属杆从AB水平位置由静止释放。

(1)求金属杆的最大速度。

(2)当金属杆的加速度是5 m/s 2时，安培力的功率是多大？
(3)若从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q ＝0.6 J ，则通过电阻R 的电荷量是多少？
解析 (1)设金属杆下落速度为v ，感应电动势为E ＝BLv ，电路中的电流为I ＝E
R ＋r ，
金属杆受到的安培力F ＝BIL 。

当安培力与重力等大反向时，金属杆速度最大，F ＝mg 。

联立以上式子，得v m ＝4 m/s 。

(2)设a ＝5 m/s 2时金属杆的速度为v 1，安培力为F 1， 则有F 1＝B 2L 2v 1
R ＋r ，据牛顿第二定律有mg －F 1＝ma ，
安培力的功率为P ＝F 1v 1。

联立以上式子，得P ＝1 W 。

(3)电路中产生的总焦耳热Q 总＝R ＋r
R Q ＝0.8 J ，
由能量守恒可知mgh ＝12mv 2
m ＋Q 总，
所以金属杆下落的高度为h ＝1.6 m ， 此过程平均感应电动势为E －＝ΔΦΔt ＝BLh
Δt
，
平均电流为I －＝E －
R ＋r ，通过电阻R 的电荷量为q ＝I －
·Δt，联立以上式子，得q ＝0.4 C 。

答案 (1)4 m/s (2)1 W (3)0.4 C
解电磁感应现象中的能量问题的一般步骤
1．在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。

2．分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。

3．根据能量守恒列方程求解。

题|组|冲|关
1.(2019·贵阳四校联考)(多选)如图所示，金属杆a 从离地h ＝0.8 m 高处由静止开始沿平行的弧形金属轨道下滑，轨道的水平部分处在竖直向上的匀强磁场中，在水平轨道上固定一金属杆b ，已知杆a 的质量m a ＝1 kg ，电阻R a ＝10 Ω，杆b 的电阻R b ＝30 Ω，两金属杆与轨道始终接触良好，杆a 始终未与杆b 接触，轨道的电阻及摩擦均不计，重力加速度g ＝10 m/s 2，则( )
A ．杆a 刚进入水平轨道时的速度大小为4
3 m/s
B ．杆a 刚进入水平轨道时的速度大小为4 m/s
C ．整个过程中杆a 产生的热量为2 J
D ．整个过程中杆b 产生的热量为8 J
解析 杆a 下滑过程，由机械能守恒定律有m a gh ＝12m a v 2
0，解得v 0＝4 m/s ，A 项错误，B 项正确；对
整个过程，由能量守恒定律有m a gh ＝Q a ＋Q b ，解得Q a ＝2 J ，Q b ＝6 J ，故选B 、C 两项。

答案 BC
2.如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，左端接有阻值为R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。

初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0。

在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。

(1)求初始时刻导体棒受到的安培力。

(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E p ，则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少？
(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少？
解析 (1)初始时刻棒中感应电动势E ＝BLv 0， 棒中感应电流I ＝E
R ，作用于棒上的安培力F ＝BIL ，
联立以上各式解得F ＝B 2L 2v 0
R ，方向水平向左。

(2)由功能关系得安培力做功W 1＝E p －12mv 2
0，
电阻R 上产生的焦耳热Q 1＝12
mv 2
0－E p 。

(3)由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置，Q ＝12mv 2
0。

答案 (1)B 2L 2v 0
R ，方向水平向左
(2)E p －12mv 20，12mv 2
0－E p
(3)棒最终静止于初始位置
12mv 2
电磁感应中的“杆＋导轨”模型
1．单杆模型
(1)模型特点：导体棒运动→感应电动势→闭合回路→感应电流→安培力→阻碍棒相对磁场运动。

(2)分析思路：
(3)解题关键：对棒的受力分析，动能定理应用。

2．双杆模型
(1)模型特点
①一杆切割时，分析同单杆模型类似。

②两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E ＝ΔΦ
Δt ＝Bl(v 1－v 2)。

(2)解题要点：单独分析每一根杆的运动状态及受力情况，建立两杆联系，列方程求解。

【经典考题】 如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m 。

导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T 。

在区域Ⅰ
中，将质量m 1＝0.1 kg 、电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑。

然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg 、电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑。

cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，g 取10 m/s 2。

问：
(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向？ (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大？
(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少？
解析 (1)cd 下滑，根据右手定则判断，c 端电势高于d 端，ab 中电流方向从a 到b 。

(2)ab 刚放上时，刚好不下滑，说明ab 棒受到了最大静摩擦力f m 作用，且f m ＝m 1gsinθ，
cd 棒下滑后，分析导体棒ab 的受力如图所示，ab 刚要上滑时，ab 所受最大静摩擦力沿斜面向下，则F 安＝f m ＋m 1gsinθ，又F 安＝ILB ，
cd 棒切割磁感线产生的感应电动势E ＝BLv ， 由闭合电路的欧姆定律得I ＝E R 1＋R 2
，
由以上各式得v ＝2m 1g (R 1＋R 2)sinθ
B 2L 2
＝5 m/s 。

(3)设cd 产生的热量为Q ′，则Q Q ′＝I 2R 1t
I 2R 2t ＝1，
根据动能定理得m 2gxsinθ－(Q ＋Q ′)＝1
2m 2v 2，
代入已知数据得Q ＝Q ′＝1.3 J 。

答案 (1)从a 到b (2)5 m/s (3)1.3 J
必|刷|好|题
1．如图，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L ，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，右端接一个阻值为R 的定值电阻。

平直部分导轨左边区域有宽度为d 、方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。

质量为m 、电阻也为R 的金属棒从高度为h 处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。

已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，重力加速度为g 。

则金属棒穿过磁场区域的过程中( )
A ．流过金属棒的最大电流为Bd 2gh
2R
B ．通过金属棒的电荷量为BdL
R
C ．克服安培力所做的功为mgh
D ．金属棒产生的焦耳热为1
2
mg(h －μd)
解析 金属棒滑下过程中，根据动能定理有mgh ＝1
2mv 2m
，根据法拉第电磁感应定律有E m ＝BLv m ，根
据闭合电路欧姆定律有I m ＝
E m 2R ，联立得I m ＝BL 2gh 2R ，A 项错误；根据q ＝ΔΦR
可知，通过金属棒的电荷量为BdL
2R ，B 项错误；金属棒运动的全过程根据动能定理得mgh ＋W f ＋W 安＝0，所以克服安培力做的功小于mgh ，故C 项错误；由W f ＝－μmgd，金属棒克服安培力做的功完全转化成电热，由题意可知金属棒与电
阻R 上产生的焦耳热相同，设金属棒上产生的焦耳热为Q ，故2Q ＝－W 安，联立得Q ＝1
2mg(h －μd)，D 项
正确。

答案 D
2．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L ，导轨上垂直放置两根导体棒a 和b ，俯视图如图甲所示。

两根导体棒的质量皆为m ，电阻均为R ，回路中其余部分的电阻不计，在整个导轨平面内，有磁感应强度大小为B 的竖直向上匀强磁场。

导体棒与导轨接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，两棒均静止，间距为x 0，现给导体棒一向右的初速度v 0，并开始计时，可得到如图乙所示的Δv－t 图象(Δv 表示两棒的相对速度，即Δv＝v a －v b )。

(1)试证明：在0～t 2时间内，回路产生的焦耳热与磁感应强度B 无关； (2)求t 1时刻，棒b 的加速度大小； (3)求t 2时刻，两棒之间的距离。

解析 (1)t 2时刻，两棒速度相等，由动量守恒定律mv 0＝mv ＋mv ，
由能量守恒定律，得整个过程中产生的焦耳热Q ＝12mv 20－12×2mv 2，解得Q ＝1
4mv 20
，所以在0～t 2时间
内，回路产生的焦耳热与磁感应强度B 无关。

(2)t 1时刻，两棒的相对速度为Δv＝v a －v b ＝v 0
2，
由动量守恒定律mv 0＝mv a ＋mv b ， 解得v a ＝34v 0时，v b ＝1
4
v 0，
回路中的电动势E ＝34BLv 0－14BLv 0＝1
2BLv 0，
此时棒b 所受的安培力F ＝BIL ＝B 2L 2v 0
4R
，
由牛顿第二定律可得，棒b 的加速度a ＝F m ＝B 2L 2v 0
4mR 。

(3)t 2时刻，两棒速度相同，由(1)知v ＝v 0
2，
0～t 2时间内，对棒b ，由动量定理， 有B I －
LΔt＝mv －0，即BqL ＝mv ，
又q ＝I －
Δt＝E －2R Δt＝ΔΦΔt·2R ·Δt＝BΔS 2R ＝BL (x －x 0)2R ，
解得x ＝x 0＋mv 0R
B 2L
2。

答案 (1)见解析 (2)B 2L 2v 04mR (3)x 0＋mv 0R
B 2L
2
1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一水平面内两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l ，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下，一边长为3
2l 的正方形金属线框在导轨上
向左匀速运动。

线框中感应电流i 随时间t 变化的正确图线可能是( )。