数学北师大版必修2课件：第一章4.2空间图形的公理(二) (43张)

[方法归纳] 在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
1．(1)如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，G，H 分别在边 CD，DA 上，且满足 CG＝12GD，DH ＝2HA，则四边形 EFGH 为( D )
Байду номын сангаасA．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可
能，故选D.
第一章 立体几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
又DHHA＝21，DGGC＝21， 所以DHHA＝DGGC，所以 HG 綊23AC，
所以 EF∥HG 且 EF≠HG， 所以四边形 EFGH 为梯形． (2)利用三角形中位线的性质和平行公理 4 可知，①、②、③ 中的四个点共面，而④中的四个点不共面．故填④.
(3)证明：如图,连接 PD,PE 并延长分别交 AB，BC 于 M，N. 因为 D，E 分别是△PAB,△PBC 的重心，所以 M，N 分别是 AB，BC 的中点，连接 MN，则 MN∥AC，且 MN＝12AC.① 在△PMN 中，因为PPMD＝PPNE＝23， 所以 DE∥MN，且 DE＝23MN.② 由①，②，根据公理 4，得： DE∥AC，且 DE＝23×12AC＝13AC.
第一章 立体几何初步
4．2 空间图形的公理(二)
1．问题导航 (1)两条异面直线所成角的范围是什么？ (2)空间四边形的对角线一定不相交吗？ (3)在平面中，我们知道“一个角的两边与另一个角的两边分 别垂直，则这两个角相等或互补”，在空间中这个结论还成 立吗？
2．例题导读 P25例2.通过本例学习，学会判断正方体中线与线位置关系的 方法．解答本例过程中需注意，将展开图还原成正方体时， 各顶点的位置关系要弄清楚．
公理4的应用 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 A1A， C1C 的中点，求证：四边形 MBND1 为平行四边形．
[证明] 取 B1B 的中点 P，连接 C1P，MP.因为 N 为 C1C 的中 点，由正方体性质知 C1N 綊 PB，所以四边形 C1PBN 为平行 四边形，所以 C1P 綊 BN，(*)
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点， 所以 EM 綊12AD，FM 綊12BC，则
∠EMF 的补角就是异面直线 AD、 BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
等角定理的应用 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，M1 分别是棱 AD 和 A1D1 的中点．求证：
(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1.
[证明] (1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，A1D1 的中点，
所以 MM1＝AA1，MM1∥AA1， 又因为 AA1＝BB1，AA1∥BB1， 所以 MM1＝BB1，且 MM1∥BB1， 所以四边形 BB1M1M 为平行四边形． (2)法一：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， 所以 B1M1∥BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， 所以 C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B1M1C1 都是锐角， 所以∠BMC＝∠B1M1C1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
又因为 M，P 为 A1A，B1B 的中点，有 MP 綊 A1B1. 又由正方体性质知 A1B1 綊 C1D1，所以 MP 綊 C1D1，
所以四边形 D1MPC1 为平行四边形，所以 C1P 綊 MD1.由(*) 知 MD1 綊 BN， 所以四边形 MBND1 为平行四边形．
若本例中的条件不变，求证改为“四边形 MBND1为菱形”又该如何证？ 证明：接例题的证明，在 Rt△MA1D1 与 Rt△MAB 中， A1M＝AM，A1D1＝AB，∠MA1D1＝∠MAB＝90°， 所以△MA1D1≌△MAB，所以 MD1＝MB，所以四边形 MBND1 为菱形．
2．(1)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， E，F，G 分别为棱 A1C1，B1C1，B1B
的中点，则∠EFG 与∠ABC1( B )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不确定
(2)空间中角 A 的两边和角 B 的两边分别平行，若∠A＝70°， 则∠B＝_7_0_°__或__1_1_0_°___.
所以 A1M 綊 NC.
所以四边形 A1NCM 为平行四边形， 于是 A1N∥MC.② 由①②及∠PNA1 与∠BCM 对应边方向相同，得∠PNA1＝ ∠BCM.
异面直线所成的角
如图，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分 别是 AB、CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线 AD、BC 所 成角的大小．
1.公理4 文字语言
图形语言
符号语言
平行于同一条
直线的两条直 线___平__行_____
若a∥b，b∥c， 则____a_∥__c_____
2.等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别___对__应__平__行___，那么这两 个角__相__等__或__互__补__．
3．异面直线所成的角
过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 定义 l1,l2(a∥l1，b∥l2),这两条相交直线所成的_锐__角__(_或__直__角__)
(3)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N，P 分别为 A1C1，AC 和 AB 的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
解：(1)因为 E、F、G 分别是棱 A1C1，B1C1，B1B 的中点，由 三角形中位线性质得
EF∥A1B1，GF∥BC1， 又在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB∥A1B1， 所以 EF∥AB. 所以∠EFG 和∠ABC1 的角的两边分别平行，利用平移可知两 角互补．
A．平行四边形 C．菱形
B．矩形 D．梯形
(2)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S 分别是所在 棱的中点，这四个点中不共面的是___④_____．
(3)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：DE∥AC，DE＝13AC.
解：(1)因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EF 綊12AC，
栏目 导引
4．如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1A＝AB，E、F
分别是 BD1 和 AD 的中点，则异面直线 CD1，EF 所成的角的 大小为___9_0_°___．
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG，
因为 E 是 BD1 的中点，所以 EG∥BC，EG＝12BC. 因为 F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC， 所以 DF∥BC，DF＝12BC， 所以 EG∥DF，EG＝DF， 所以四边形 EFDG 是平行四边形，所以 EF∥DG，
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:42:41 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
就是异面直线a，b所成的角
取值 范围 特例
异面直线所成的角θ的取值范围：_0_°__<_θ_≤__9_0_°__ 当θ＝____9_0_°______时，a与b互相垂直，记作a⊥b
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( × )
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角． 又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是 正方形，且G为CD1的中点， 所以DG⊥CD1，所以∠D1GD＝90°， 所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.
关于等角定理的两点说明 (1)等角定理又常称空间等角定理，是在空间中来证明两个角 相等的，在平面中同样成立． (2)应用空间等角定理必须满足条件：一个角的两边与另一个 角的两边分别对应平行，所得结论“相等或互补”可以分为 以下三种情形： ①若角的两边对应方向相同，则两角相等； ②若角的两边对应方向相反，则两角相等； ③若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角 互补．
在 Rt△MHE 中，EM＝1，EH＝12EF＝ 23，
则 sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线 AD、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直 线 AD、BC 所成的角为 60°.
[方法归纳] 1．求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解． 2．注意 (1)作异面直线所成的角时，要选择适当的点，平移异面直线 中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置 上的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条 直线上的一个特殊点． (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角， 要注意识别这种情况．
(2)由于角 A 的两边和角 B 的两边分别平行，所以有∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝180°. 因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填 70°或 110°.
(3)证明：因为 P，N 分别为 AB，AC 的中点， 所以 PN∥BC.① 又因为 M，N 分别为 A1C1，AC 的中点，
法二：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， 所以 B1M1＝BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， 所以 C1M1＝CM. 又因为 B1C1＝BC， 所以△BCM≌△B1C1M1. 所以∠BMC＝∠B1M1C1.
[方法归纳] (1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的： ①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都 相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一 个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方 向相反，那么这两个角互补． (2)证明角相等，一般采用三种途径： ①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形 全等．
(3)若 a，b 是两条直线，α，β是两个平面，且 a α，b β，则 a，b 是异面直线．( × )
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝
50°，则β等于( A)
A．50°
B．130°
C．40°
D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A.
3．垂直于同一条直线的两条直线( D )