山东省济宁市梁山一中2012-2013学年高二3月质量检测数学(文)试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
1.复数31+1i i
+的虚部是（ ）
A. 1-
B. 1
C. i -
D. i 2.函数()sin 2f x x =的导数()f x '=（ ）
A ．cos 2x
B ．2cos 2x
C ．2cos 2x -
D ．cos 2x -
3.设复数1213,32,z i z i =-=-则
1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.函数3
()3f x x x =-的单调递减区间是（ ）
A. (,1)-∞-
B. (1,)+∞
C. (,1)(1,)-∞-+∞U
D. (1,1)- 5.设θ是△ABC 的一个内角，且7sin cos 13
θθ+=
,则22
sin cos 1x y θθ-=表示（ ） A ．焦点在ｘ轴上的椭圆 B ．焦点在ｙ轴上的椭圆 C ．焦点在ｘ轴上的双曲线 D ．焦点在ｙ轴上的双曲线
6.到定点(7, 0)和定直线x =
7716的距离之比为4
7
的动点轨迹方程是（ ）。

A. 9x 2＋16y 2=1 B . 16
x 2＋9y 2
=1
C. 8
x 2-y 2=1 D. x 2-8y 2
=1
7.若双曲线的两条渐进线的夹角为060，则该双曲线的离心率为( )
A.2
B.
3
6
C.2或
3
6
D.2或
3
3
2 8.经过点p(1/2,0)且与双曲线2
2
41x y -=仅交于一点的直线有 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.已知函数3)(-=x
xe x g 在点A 处的切线垂直于y 轴，则点A 的横坐标是（ ）
A.1
B.－1
C.
e
1
D.e
10.设抛物线2
8
1x y =
上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.4
B.6
C.8
D.12
11.函数x a ax x x f 223
323
1)(+-=
在)10(，内有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A.),0(+∞ B.)3,(-∞ C.（0 ，31） D.)2
3
,0(
12.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线的右
支上且214PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）
A.
34 B.35
C.2
D.3
7 二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知复数z ，满足)3(43i iz z -=+，则=||z __________。

14.椭圆两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，P 在椭圆上，若21F PF ∆的面积最大值为12，则该椭圆的离心率是____________。

15.如图是杨辉三角的前五行数的结构图对应n
b a )(+展开式各项系数，则6
)(b a +展开式中第四项的系数应是__________。

都大于零”的反设是“c b a 、、不都大于零”；（3）“R x O ∈∃，使得2cos sin =+O O x x ”
的否定是“对2cos sin ,≠
+∈∀x x R x ”
；（4）某产品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程00ˆ<<+=a b a bx y
且中，以上判断正确的是_________。

三、解答题（共6小题,共计70分） 17. （本小题满分10分）
已知复数i a z ai a a z 2
22
12,3)(--=+-=，问：当a 为何实数时？ （1）21z z z -=为虚数；
（2）21z z z +=在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上；
（3）21z z >；
18. （本小题满分12分）
曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）
．
（1）当， 5
4
AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （2）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
设:p 实数x 满足0342
2
<+-a ax x ,其中0>a ,命题:q 实数x 满足2
260,
280.
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩；
(1)若1=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围。

20.（本小题满分12分）
设0a ≥，2()1ln 2ln f x x x a x =--+．
（1）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （2）求证：当1x >时，恒有()0f x >．
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l ：y=kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l 斜率k=1，求△ABP 的面积；
（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．
22．（本小题满分12分）
设双曲线C 与双曲线12
422=-x y 共渐近线且过点)2,2(M ，
（1）求双曲线C 的方程；
（2）是否存在过点)1,1(P 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点且点P 平分线段AB ，若
存在求直线l 的方程，若不存在说明理由。

（3）21z z > ⎪⎩
⎪
⎨⎧->-=-=∴200322a a a a
解得⎩
⎨⎧∈=R a a 0
0=∴a
18. 解：（1）设C 1的方程为2221x y a +=,C 2的方程为22
21x y b +=,其中1,01a b ><<．
C 1 ,C 2的离心率相同，所以22
2
11a b a
-=-,所以1ab =， ∴C 2的方程为2221a x y +=．
当
时，
A (2a -
,C 1(2a ． 又 54AC =,所以，15224
a a +=，解得a=2或a=1
2
(舍)， ∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． （2）
A(-
,m) ． OB ∥AN,∴OB AN k k =,
∴
=
∴21
1
m a =
- ．
22
21a e a -=，∴2
2
11a e
=-，∴221e m e -=． 01m <<，∴2
2101e e
-<<，
1e <<．
20.（1）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-
+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值
(2)22ln 22F a =-+．
（2）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加．
所以当1x >时，()(1)0f x f >=. 21.解（1）112222222=-=∴==
∴=∴c a b c a a 又
椭圆的标准方程为12
22=+y x
（2）（Ⅰ）设)(),(2211y x B y x A ，⎩⎨
⎧=+=2
22
2
y x x y
解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==363611y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=3636
22y x )0,2(334
||P AB =
∴ P 到直线x y =的距离为d ，则12
|2|==
d 3
3
2||21=
⋅=
∆d AB S ABP （或33
2
362||||2122=⨯=⋅⋅⨯
==∆∆y OP S S OPB ABP ） （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=2
22
2y x kx y 消去y 得2)21(2
2=+x k 2212k x +±= 2
221212
212k
x k x +-=+=
2
221212
212k
k y k k
y +-=-=∴ 2212212
2)(222222212121221121++-+⋅
-=++-=-⋅-=⋅k k k x x x x y y x y x y k k
=-=-=++--=2142)21(2222
222k k k k 定值
22．解：（1）因为双曲线C 与双曲线1242
2=-x y 共渐近线，所以可设C ：)0(2
422≠=-λλx y
又C 过点)2,2(M ，带入C 得2
1-=λ，故C ：1222
=-y x
(2) 假设存在直线l ，并设),(11y x A 、),(22y x B 则
0))(())((221212121=-+--+∴y y y y x x x x ,又A 、B 的中点为点)1,1(P 22
12
1=--=
∴x x y y k l ，故直线)1(21:-=-x y l 即：12-=x y
带入椭圆方程得：03422=+-x x
由于02416<-=∆所以这样的直线不存在。

222121=-y x
222222=-y x。