2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(含详解)
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2.2 直线的方程(精练)
1 直线的点斜式
1.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是( ) A .20x y -= B .250x y +-= C .230x y --= D .240x y +-=
2.(2022·湖南岳阳·高二期末)过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是( ) A .20x y -= B .250x y +-= C .230x y --= D .240x y +-=
3.(2022·福建·厦门外国语学校高二期末)已知直线l 的倾斜角为60,且经过点()0,1,则直线l 的方程为( )
A .y =
B .2y =-
C .1y =+
D .3y =+
4.(2022·江苏·海门中学高二期末)已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行,则直线l 的方程为( ) A .270x y +-= B .210x y --= C .240x y -+= D .210x y -+=
5.(2021·广东·江门市第二中学高二期中)直线l 经过点()2,3-,且倾斜角45α=,则直线l 的方程为( ) A .10x y +-= B .50x y -+= C .10x y ++= D .50x y --=
6.(2022·江苏·高二课时练习)过点(P -且与直线20x +=的夹角为3
π
的直线方程是( )
A .)2y x =+
B .2x =-
C .)2=+y x
D .)2=+y x 或2x =-
7.(2022·江苏·高二)经过点A (0,-3)且斜率为2的直线方程为( ) A .230x y --= B .230x y ++=
C .260x y --=
D .260x y ++=
8.(2022·江苏·高二)已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等,则实数=a ( ) A .1 B .1-
C .2-或1
D .2或1
9.(2021·广东·佛山一中高二阶段练习)已知直线l 过点()2,1,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则满足条件的直线l 有( )条 A .1 B .2
C .3
D .4
10.(2022·江苏·高二课时练习)已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程; (2)求BC 边上的高所在直线方程; (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.
11.(2022·江苏·高二课时练习)分别求满足下列条件的直线的方程: (1)过点()3,2A ,且与直线420x y +-=平行; (2)过点()3,0B ,且与直线250x y +-=垂直; (3)过点()5,4,且与x 轴垂直;
(4)过点()2,3C -,且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线.
2 直线过定点
1.(2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习)直线l :()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________.
2.(2022·四川)直线(1)y k x =-过定点 _________________.
3.(2022·全国·高二课时练习)设直线()23260x k y k +--+=过定点P ,则点P 的坐标为________.
4.(2022·安徽·高二开学考试)直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________.
5.(2021·重庆·铜梁中学校)直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______.
6.(2021·全国·高二专题练习)已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数)过定点P ,则点P 的坐标为____.
3 直线所过象限
1.(2022·陕西渭南)如果0AB >且0BC <,那么直线0Ax By C ++=不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
2.(2021·贵州黔东南)在平面直角坐标系中,过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
3.(2022·江苏·高二课时练习)设k 为实数,若直线:13l y k x
不经过第四象限,则k 的取值范围为
______.
4.(2022·全国·高二课时练习)已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限,求实数a
的取值范围 .
4 直线与坐标轴围成的三角形面积
1(2022·江苏·高二)过点(1,1)P 作直线l ,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线l 有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条
2.(2021·湖南·长郡中学高二阶段练习)过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ,则AOB (O 为原点)面积的最小值为________.
3.(2022·全国·高二专题练习)已知直线l 的方程为:()()()212430m x m y m ++-+-=. (1)求证:不论m 为何值,直线必过定点M ;
(2)过点M 引直线1l ,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求1l 的方程.
4.(2022·江苏·高二)已知直线l 过点(1,3),且与x 轴、y 轴都交于正半轴,求:
(1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程; (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程.
5 直线的综合运用
1.(2022·江苏·高二课时练习)不论实数m 为怎样的实数,直线()1(21)5m x m y m -+-=-( ) A .互相平行 B .都经过一个定点
C .其中某一条直线与另两条直线垂直
D .其中不可能存在两条直线互相垂直
2.(2021·江苏·常州市第一中学高二期中)(多选)已知直线1:10l x y --=,动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈,则下列结论正确的是( )
A .不存在k ,使得2l 的倾斜角为90°
B .对任意的k ,直线2l 恒过定点
C .对任意的k ,1l 与2l 都不.重合
D .对任意的k ,1l 与2l 都有公共点
3.(2022·江苏·高二课时练习)(多选)已知直线l 过点(P ,且与x 轴和y 轴围成一个内角为6
π的直角三角形,则满足条件的直线l 的方程可以是( )
A .)1y x -
B .)1y x -=-
C .)1y x -
D .)1y x -
2.2 直线的方程(精练)
1 直线的点斜式
1.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是( ) A .20x y -= B .250x y +-=
C .230x y --=
D .240x y +-=
【答案】A
【解析】因为所求直线与直线l 平行,
所以设所求直线方程为:()2403x y m m -+=≠,
又所求直线过点()2,1A ,代入可得22410m ⨯-⨯+=,解得0m =, 所以所求直线为240x y -=,即20x y -=. 故选:A
2.(2022·湖南岳阳·高二期末)过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是( ) A .20x y -= B .250x y +-= C .230x y --= D .240x y +-=
【答案】B
【解析】由题意可知,设所求直线的方程为420x y m ++=,
将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中,得42210m ⨯+⨯+=,解得10m =-, 所以所求直线的方程为42100x y +-=,即250x y +-=. 故选:B.
3.(2022·福建·厦门外国语学校高二期末)已知直线l 的倾斜角为60,且经过点()0,1,则直线l 的方程为( )
A .y =
B .2y =-
C .1y =+
D .3y =+
【答案】C
【解析】由题意知:直线l l 的方程为1y +.故选:C.
4.(2022·江苏·海门中学高二期末)已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行,则直线l 的方程为( ) A .270x y +-=
B .210
x y --=
C .240x y -+=
D .210x y -+=
【答案】C
【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行,所以直线l 的斜率为1
2,又直线l 过点(2,3), 所以直线l 的方程为()1
322
y x -=
-,即240x y -+=,故选:C. 5.(2021·广东·江门市第二中学高二期中)直线l 经过点()2,3-,且倾斜角45α=,则直线l 的方程为( ) A .10x y +-= B .50x y -+=
C .10x y ++=
D .50x y --=
【答案】B
【解析】因为直线l 的倾斜角45α=,所以直线l 的斜率为1, 又直线l 经过点()2,3-,所以直线l 的方程为32y
x ,即50x y -+=,故选:B
6.(2022·江苏·高二课时练习)过点(P -且与直线20x +=的夹角为3
π
的直线方程是( )
A .)2y x =+
B .2x =-
C .)2=+y x
D .)2=+y x 或2x =- 【答案】D
【解析】根据一般方程20x +=可得y =,所以斜率为k =6πθ=,
和该直线夹角为
3π
的直线的倾斜角为2
π或56π,根据直线过点(P -,
所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选:D 7.(2022·江苏·高二)经过点A (0,-3)且斜率为2的直线方程为( ) A .230x y --= B .230x y ++=
C .260x y --=
D .260x y ++=
【答案】A
【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2,所以直线的方程为32(0)y x +=-, 即230x y --=,故选:A .
8.(2022·江苏·高二)已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等,则实数=a ( ) A .1 B .1-
C .2-或1
D .2或1
【答案】D
【解析】当0a =时,直线2y =,此时不符合题意,应舍去;
当2a =时,直线:20l x y +=,在x 轴与y 轴上的截距均为0,符合题意; 当0a ≠且2a ≠,由直线:20l ax y a +-+=可得:横截距为2a
a
-,纵截距为2a -. 由
22a
a a
-=-,解得:1a =.故a 的值是2或1.故选:D 9.(2021·广东·佛山一中高二阶段练习)已知直线l 过点()2,1,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则满足条件的直线l 有( )条 A .1 B .2 C .3 D .4
【答案】C
【解析】设直线l 过原点,则l 的方程为y kx = ,将点(2,1)坐标代入, 得1
2
k =
,即l 的方程为12y x = ;
若直线l 不过原点,设其为1x y
a b
+= ,将点(2,1)坐标代入,
得2b a ab +=……① ,由于,a b a b ==± ,分别代入①, 解得3,1a b a b ===-= ,即直线l 的方程为3x y += ,1x y -= ; 共有3条;故选:C.
10.(2022·江苏·高二课时练习)已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程; (2)求BC 边上的高所在直线方程; (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.
【答案】(1)3120x y -+=;(2)350x y ++=;(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为40
3430
y x --=---,整理可得3120x y -+=; (2)由341
303
BC k -=
=--,所以BC 边上的高所在直线的斜率3-, 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++,整理可得350x y ++=; (3)由,B C 中点为37
(,)22
-,由(2)知BC 边的垂直平分线的斜率3-,
所以BC 边的垂直平分线为31y x =--,整理可得310x y ++=.
11.(2022·江苏·高二课时练习)分别求满足下列条件的直线的方程:
(1)过点()3,2A ,且与直线420x y +-=平行; (2)过点()3,0B ,且与直线250x y +-=垂直; (3)过点()5,4,且与x 轴垂直;
(4)过点()2,3C -,且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线. 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=,因为直线过点()3,2A , 所以4320m ⨯++=,得14m =-,所以所求直线方程为4140x y +-=
(2)由题意设直线方程为20x y n -+=,因为直线过点()3,0B ,所以300n -+=,得3n =-, 所以所求直线方程为230x y --=
(3)因为直线过点()5,4,且与x 轴垂直,所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527
112
k --==--, 所以直线方程为()7
322
y x +=
-,即72200x y --= 2 直线过定点
1.(2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习)直线l :()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2
【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=,由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩,
所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为:(1,2).
2.(2022·四川)直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0
【解析】直线(1)y k x =-,令10x -=,得1,0x y ==,所以直线(1)y k x =-过定点()1,0,故答案为:()1,0. 3.(2022·全国·高二课时练习)设直线()23260x k y k +--+=过定点P ,则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)
【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=,可化简为(236)(2)0x y k y -++-=,
又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩
,解得0,2x y ==,即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为:(0,2). 4.(2022·安徽·高二开学考试)直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________.
【答案】()1,1
【解析】把直线l 的方程改写成:()()2230x y m x y +-++-=,
令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得:11x y =⎧⎨=⎩
,所以直线l 总过定点()1,1.故答案为:(1,1). 5.(2021·重庆·铜梁中学校)直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______.
【答案】(3,4)
【解析】把直线l 的方程改写成:(7)(210)0x y m x y +-++-=,
由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得:34x y =⎧⎨=⎩
,所以直线l 总过定点(3,4),故答案为:(3,4) 6.(2021·全国·高二专题练习)已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数)过定点P ,则点P 的坐标为____.
【答案】(0,6)-
【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数),即(36)(6)0x y x y λ--+++=,则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩,解得06x y =⎧⎨=-⎩
,所以直线恒过定点(0,6)P -,故答案为:(0,6)-. 3 直线所过象限
1.(2022·陕西渭南)如果0AB >且0BC <,那么直线0Ax By C ++=不经过( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 【答案】C
【解析】由0AB >且0BC <,可得,A B 同号,,B C 异号,所以,A C 也是异号;
令0x =,得0C y B
=->;令0y =,得0C x A =->; 所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限.
故选:C.
2.(2021·贵州黔东南)在平面直角坐标系中,过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过( ) A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【答案】A
【解析】∵直线的倾斜角为135︒,则直线的斜率1k =-
∵直线的方程:()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限.故选:A .
3.(2022·江苏·高二课时练习)设k 为实数,若直线:13l y k x 不经过第四象限,则k 的取值范围为______.
【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】直线:13l y k
x 经过定点)
,当0k =时,此时直线:1l y =,符合要求;当0k ≠时,直线:13l y kx
k ,要想不经过第四象限,则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩
,解得:0k <≤
,综上:0k ≤≤
故答案为:⎡⎢⎣⎦
4.(2022·全国·高二课时练习)已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限,求实数a 的取值范围 .
【答案】[]2,4
【解析】当2a =时,直线方程为0x =,不过第二象限,满足题意;
当20a -≠即2a ≠时,直线方程可化为()142
y x a a =
+--. 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩,解得24a <≤. 综上可得,实数a 的取值范围是24a ≤≤,即[]2,4a ∈.
4 直线与坐标轴围成的三角形面积
1(2022·江苏·高二)过点(1,1)P 作直线l ,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线l 有( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
【答案】D 【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=,直线过(1,1)P ,则111a b
+=, 直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142
S ab ==,8ab =±, 111a b a ab
b ++==,a b ab +=,
8ab =时,8a b +=,由88a b ab +=⎧⎨=
⎩, 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
8ab =-时,8a b +=-,由88a b ab +=-⎧⎨=-
⎩, 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩, 所以直线l 共有4条.
故选:D .
2.(2021·湖南·长郡中学高二阶段练习)过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ,则AOB (O 为原点)面积的最小值为________.
【答案】6
【解析】设点(),0A a 、()0,B b ,其中0a >且0b >,则直线AB 的方程为1x y a b
+=,
由已知可得131a b +=,由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥, 当且仅当2a =,6b =时,等号成立,故162AOB S ab =
≥△. 故答案为:6.
3.(2022·全国·高二专题练习)已知直线l 的方程为:()()()212430m x m y m ++-+-=.
(1)求证:不论m 为何值,直线必过定点M ;
(2)过点M 引直线1l ,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求1l 的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)240x y ++=
【解析】(1)证明:原方程整理得:()23240x y m x y --+++=.
由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩,可得12x y =-⎧⎨=-⎩
, ∴不论m 为何值,直线必过定点()1,2M --
(2)解:设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<. 令20k y x k
-==-,,令02x y k ==-,.
()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝
⎭. 当且仅当4k k
-=-,即2k =-时,三角形面积最小. 则1l 的方程为240x y ++=.
4.(2022·江苏·高二)已知直线l 过点(1,3),且与x 轴、y 轴都交于正半轴,求:
(1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程;
(2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程.
【答案】(1)6;360x y +-=.
(2)4+1
=. 【解析】(1)设直线:1x y l a b +=(0,0)a b >>,则131a b
+=,
所以131a b =+≥12ab ≥,当且仅当2,6a b ==时,等号成立, 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622
ab ≥⨯=, 所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6,
此时直线:126
x y l +=,即360x y +-=. (2)设直线:1x y l a b +=(0,0)a b >>,则131a b
+=,
所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时,等号成立.
此时直线l 1
=. 5 直线的综合运用
1.(2022·江苏·高二课时练习)不论实数m 为怎样的实数,直线()1(21)5m x m y m -+-=-( ) A .互相平行
B .都经过一个定点
C .其中某一条直线与另两条直线垂直
D .其中不可能存在两条直线互相垂直
【答案】B
【解析】直线方程整理为:(21)50m x y x y +---+=,
由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩,得94x y =⎧⎨=-⎩
,所以直线过定点(9,4)-,不可能有平行的两条直线,存在两条相互垂直的直线,但不可能有一条直线与其中两条垂直.故选:B .
2.(2021·江苏·常州市第一中学高二期中)(多选)已知直线1:10l x y --=,动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈,则下列结论正确的是( ) A .不存在k ,使得2l 的倾斜角为90°
B .对任意的k ,直线2l 恒过定点
C .对任意的k ,1l 与2l 都不.
重合 D .对任意的k ,1l 与2l 都有公共点
【答案】BD 【解析】对A ,当0k =时,2:0l x =,符合倾斜角为90°,故A 错误;
对B ,2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=,解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩
,故2l 过定点(0,1)-,故B 正确; 对C ,当12k =-时,21111:(1)02222
l x y x y --=--=,显然与1:10l x y --=重合,故C 错误; 对D ,2l 过定点(0,1)-,而(0,1)-也在1:10l x y --=上,故对任意的k ,1l 与2l 都有公共点,故D 正确; 故选:BD
3.(2022·江苏·高二课时练习)(多选)已知直线l 过点(P ,且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形,则满足条件的直线l 的方程可以是( )
A .)1y x -
B .)1y x -=-
C .)1y x -
D .)1y x -
【答案】ABC
【解析】由题意,直线l 的倾斜角可以是6π或3
π或56π或23π,
所以直线l 的斜率6tan πk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==
所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -,
由1)y x -,整理得y =,此时直线过原点,无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选:ABC.。