2019-2020学年天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若复数z满足(−1−z)⋅i=1+i，则|z|=()
A. √5
B. √2
C. 2√2
D. 3
2.下列积分值为2的是()
A. ∫(5
02x−4)dx B. ∫cπ0osxdx C. ∫1
x
3
1
dx D. ∫sπ
inxdx
3.对于不等式√n2+2n<n+2(n∈N∗)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n=1时，√12+2<1+2，不等式成立．
②假设当n=k(n∈N∗)时，不等式成立，即√k2+2k<k+2，则当n=k+1时，
√(k+1)2+2(k+1)=√k2+4k+3<√(k2+4k+3)+(2k+6)=√(k+3)2=(k+1)+2．故当n=k+1时，不等式成立．则上述证法()
A. 过程全部正确
B. n=1的验证不正确
C. n=k的归纳假设不正确
D. 从n=k到n=k+1的推理不正确
4.在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有a m+a n+a p=3a r，
类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有()
A. b m+b n+b p=3b r
B. b m+b n+b p=b r3
C. b m b n b p=3b r
D. b m b n b p=b r3
5.已知a，b，c，d成等比数列，且二次函数y=x2−4x+7图象的顶点坐标为(b,c)，则ad等于()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.如图所示，已知A(1,0)，把一粒黄豆随机投到正方形OABC内，则黄
豆落到阴影区域内的概率是()
A. 5
6
B. 4
5
C. 3
4
D. 2
3
7.关于右面两个程序框图，说法正确的是()
A. (1)和(2)都是顺序结构
B. (1)和(2)都是条件分支结构
C. (1)是当型循环结构，(2)是直到型循环结构
D. (1)是直到型循环结构，(2)是当型循环结构
8.若向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3)，则|a⃗+b⃗ |=()
A. √7
B. 2√2
C. 3
D. √10
9.等差数列中，已知a5
a3=5
3
，则
S9
S5
=()
A. 3
B. 4
C. 3
5D. 27
9
10.()
A. B. C. D.
11.在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，则b等于()
A. 20
B. 10√3
C. 10√6
3
D. 5√3
12.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切
线方程是()
A. y=−2x+3
B. y=2x−1
C. y=−6x+7
D. y=3x−2
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.复数2+i
1+i
(i是虚数单位)的实部是______ ．
14.某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如
图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为______万元．
15. 设变量x ，y 满足约束条件：{x ≥−2
x +2y ≤2y ≥x ，则z =x 2+y 2的最大值是______．
16. 已知，
，
若:
，则
．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π
4)的值．
18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，且
∠BAD =60°，A 1A =AB ，E 为BB 1延长线上的一点，D 1E ⊥面D 1AC ，设AB =2．
(1)求二面角E −AC −D 1的余弦值；
(2)在D 1E 上是否存在一点P ，使A 1P//面EAC ？若存在，求D 1P ：PE 的
值；若不存在，请说明理由．
19. (1)已知a ，b ，c ∈R ，且满足a +b +c =1，求证：a 2+b 2+c 2≥1
3.提示：(a +b +c)2=a 2+
b 2+
c 2+2ab +2ac +2bc
(2)若x ，y 都是正实数，且x +y >2，求证：
1+x y
<2与
1+y x
<2中至少有一个成立．
20.设f(x)=x3−2x2+2x，g(x)=a(10cosx+1)
(1)求f(sinx)的值域；
]，使得f(x1)+g(x2)=2成立，求a的取值范围．
(2)若∀x1∈[−1,0]，∃x2∈[0,π
2
21.如图所示，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于
A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)过点A作抛物线C的切线交直线x=p
于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？
2
若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由
22.已知函数f(x)=e x−mx，g(x)=−x2−m．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，若ℎ(x)在[0,+∞)上有且只有一个零点，求m的取值范围．
【答案与解析】1.答案：A
解析：解：由(−1−z)⋅i=1+i，得−1−z=1+i
i =(1+i)(−i)
−i2
=1−i，则z=−2+i，
∴|z|=√(−2)2+12=√5．
故选：A．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2.答案：D
解析：解：∫(5
02x−4)dx=(x2−4x)|05=5，∫cπ
osxdx=sinx|0π=0，∫1
x
3
1
dx=lnx|13=ln3，
∫sπ
inxdx=−cos|0π=2
故选D．
根据微积分基本定理，根据条件求得即可．
本题主要考查了微积分基本定理的简单应用，关键求出原函数，属于基础题．
3.答案：D
解析：解：n=1的验证及归纳假设都正确，
但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设，只是通过不等式的放缩法直接证明，
不符合数学归纳法证题的要求．
故选：D．
数学归纳法证明与自然数有关的命题，一是要验证命题成立的第一个自然数，二是注意从n=k到n= k+1的推理中使用归纳假设．
本题考查利用数学归纳法证题的过程，在从n=k到n=k+1的推理中，一定要用到归纳假设，否则证明是错误的，是中档题．
4.答案：D
解析：解：在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有a m+a n+a p=3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有b m b n b p=b r3，事实上，设等比数列{b n}的首项为b1，公比为q，
则b m b n b p=b13q m+n+p−3，b r3=b13q3r−3，
∵m+n+p=3r，∴b m b n b p=b r3，
故选：D．
直接利用类比推理可得结论，再由等比数列的通项公式证明即可．
本题考查等差数列与等比数列的性质，考查类比推理的应用，是基础题．
5.答案：C
解析：解：∵函数y=y=x2−4x+7=(x−2)2+3
∵函数y=y=x2−4x+7图象的顶点是(2,3)
∵b=2，c=3
∵a，b，c，d成等比数列
∴ad=bc=6．
故选：C．
先将二次函数配方，求得函数的顶点坐标，利用a，b，c，d成等比数列，即可求得ad的值．本题考查的重点是等比数列的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．
6.答案：D
解析：解：由题意，阴影部分的面积为：∫(1
01−x2)dx=(x−1
3
x3)l 01=2
3
，
由几何概型的公式得黄豆落到阴影区域内的概率是P=
2
3
1×1
=2
3
；
故选：D．
首先利用定积分求出阴影部分的面积，利用面积比求概率．
本题考查了定积分计算阴影部分的面积以及几何概型的概率求法，属于中档题．
7.答案：C
解析：解：(1)观察图(1)，它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；
(2)观察图(2)，它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．
故(1)是当型循环结构，(2)是直到型循环结构．
故选C．
欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．
本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
8.答案：D
解析：解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3)
∴a⃗+b⃗ =(3,−1)
∴|a⃗+b⃗ |=√32+12=√10
故选：D．
先用向量加法运算求a⃗+b⃗ ，再用向量的模长公式若a⃗=(x,y)则|a⃗|=√x2+y2求解即可本题考查了向量加法运算和向量的模长公式．
9.答案：A
解析：解：由等差数列的性质可得：S9=9(a1+a9)
2=9a5，S5=5(a1+a5)
2
=5a3．
又a5
a3
=5
3
，
则S9
S5
=9a5
5a3
=9
5
×5
3
=3．
故选：A．
由等差数列的性质可得：S9=9(a1+a9)
2=9a5，S5=5(a1+a5)
2
=5a3.再根据已知代入即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B
解析：试题分析：∵，故选B
考点：本题考查了定积分的求解
点评：熟练掌握定积分的概念及性质是解决此类问题的关键，属基础题
11.答案：B
解析：解：∵在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，
∴由正弦定理可得b
sinB =a
sinA
，即b
sin60°
=10
sin30°
，
∴b=10×√3 2
1
2
=10√3故选：B
由正弦定理可得b
sin60°=10
sin30°
，变形可得．
本题考查正弦定理，属基础题．
12.答案：B
解析：解：取x=1，得f(1)=2f(1)−1，可得f(1)=1．对函数f(x)求导，得f′(x)=−2f′(2−x)−2x+8，
∴f′(1)=−2f′(1)+6，得f′(1)=2
由此可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=2
∴所求切线方程为y−1=2(x−1)，化简得y=2x−1
故选：B．
取x=1，可求出f(1)=1.对函数f(x)求导，得f′(x)=−2f′(2−x)−2x+8，再取x=1得曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=2，最后用直线方程的点斜率式，可得所求的切线方程．本题给出定义在R上的复合形式的函数，求函数图象在x=1处的切线方程，着重考查了导数的运算法则和导数几何意义等知识点，属于中档题．
13.答案：3
2
解析：
先将复数化简为代数形式，再根据复数实部的概念作答．
本题考查复数的除法运算，复数的实部的概念．属于基础题，复数z=a+bi(a,b∈R)的实部为a，虚部为b(勿记为bi)．
解：2+i
1+i =(2+i)(1−i)
(1+i)(1−i)
=3−i
2
=3
2
−1
2
i，
实部为3
2
，
故答案为：3
2
．
14.答案：10
解析：
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．根据频率分布直方图，先求出9时至14时的总销售额，再计算11时至12时的销售额．
解：根据频率分布直方图得：
9时至10时的销售额对应的频率为0.10，
销售额为2.5万元，
∴9时至14时的总销售额为2.5
0.1
=25万元，
∴11时至12时的销售额为
25×0.40=10万元．
故答案为：10．
15.答案：8
解析：解：作出变量x ，y 满足约束条件：{x ≥−2
x +2y ≤2y ≥x
所对应的可行域(如图△ABC)，A(−2,−2)，C(−2,2)，
而z =x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方， 数形结合，可得最大距离为OC =2√2或OA =2√2， 则z =x 2+y 2的最大值是8． 故答案为：8．
作出可行域，z =x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属于基础题．
16.答案：
解析：
17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，
则cosC =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=
2×2√2×5
=
√2
2
， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π
4
；
(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π
4，a =2√2，c =√13， 可得sinA = asinC c =2√2×√2
2√
13=2√1313
；
(Ⅲ)由a <c ，及sinA =
2√13
13
，可得cosA =√1−sin 2A =3√13
13
， 则sin2A =2sinAcosA =2×
2√1313
×
3√1313
=12
13，
∴cos2A =2cos 2A −1=5
13， ∴sin(2A +π
4)=
√2
2
(sin2A +cos2A)=
√22(12
13+513
)=
17√226
．
解析：本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；
(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
18.答案：解：(1)设AC ∩BD =O ，如图所示建立空间直角坐标系O −xyz ，
则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，C(−√3,0，0)，D(0,−1,0)，D 1(0,−1,2)， 设E(0,1，2+ℎ)，
则D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，ℎ)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,0)，D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)， ∵D 1E ⊥平面D 1AC ，∴D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ， ∴2−2ℎ=0，解得ℎ=1，即E(0,1，3)． ∴D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,3)． 设平面EAC 的法向量为m
⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则由 {m ⃗⃗⃗ ⋅CA
⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x =0m
⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +3z =0．
令z =−1，得平面EAC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,3,−1)． 又平面D 1AC 的法向量为D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=
6−1√10⋅√5
=
√2
2
， ∴二面角E −AC −D 1的余弦值为√2
2
．
(2)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
λ1+λ
D 1
E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,
2λ
1+λ,
λ
1+λ
)，
∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1
P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,λ−1
1+λ,λ
1+λ
)
∵A 1P//面EAC ，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ， ∴−√3×0+3×
λ−11+λ
+(−1)×
λ1+λ
=0，解得λ=3
2，
∴存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =3：2．
解析：(1)设AC ∩BD =O ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AC −D 1的余弦值．
(2)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，由A 1P//面EAC ，解得λ=3
2，由此推导出存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =3：2．。