广东省中山市第一中学2017届高三上学期第二次统测数学(文)试题Word版含答案

中山一中2017届高三第二次统测数学（文科）试题
满分150分，时间120分钟 组题人: 审题人：
一、选择题：（每题5分，共60分.每个小题只有一个选项符合题目要求.）
1. 已知集合{}|22A x x =-<<，()(){}|130B x x x =+-≤，则()R
A B ð=
A ．()2,1--
B ．(]2,1--
C ．(1,2)-
D ．()2,3
2. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝
A ．（2,4）
B ．（3,5）
C ．（1，1）
D ．（－1，－1）
3. 设π
3
ln ,)76(,261
5
1
===c b a , 则
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
4.在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）条件
A ．充分而不必要
B ．必要而不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
5. 已知抛物线)0(22
>=p py x 的准线与椭圆14
62
2=+y x 相切，则p 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
6. 已知1a >，2
2()x
x
f x a +=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是
A ．20x -<<
B ．10x -<<
C ．21x -<<
D ．10x -<≤
7. 要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin(2)2
y x π
=+的图象向（ ）平移
（ ）个单位 A ．左，
3π B ．右；3π C ．左，6π D ．右，6
π
8. 函数sin cos y x x x =+的图象大致为
9. 若
5
5
2)
4
sin(2cos -
=+π
αα，且)2,4(ππα∈，则tan 2α=
A ．43-
B ．34-
C ． 43
D ．3
4
10. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，若F
0y +=的对称点A
是椭圆C
上的点，则椭圆C 的离心率为
A ．
1
2
B
．12 C ．
2 D
1
11. 已知()f x '为定义在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数，且cos ()()sin x f x f x x '⋅<⋅在
0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，则 A
43ππ⎛⎫⎛⎫>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B
64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C
63f ππ⎛⎫⎛⎫<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()12sin16f f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
12. 已知,a b R ∈,直线2
y ax b π
=++
与函数()tan f x x =的图象在4
x π
=-
处相切，设
2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有
A ．最大值e
B ．最大值1e +
C ．最小值e -
D ．最小值e 二、填空题：（每题5分，共20分）
13．已知向量,a b 的夹角为3
π
，且()8a a b ⋅+=，2a =，则b = ．
14．已知cos()6
3π
α-=
，则5sin(2)6
πα-= .
15．函数tan()42
y x ππ
=-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅=u u r u u u r u u u r
.
16．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()(1)x
f x e x =+，给出下列命题：
① 当0>x 时，()(1)x
f x e x =-； ② 函数)(x f 有2个零点；
③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ； ④ R x x ∈∀21,，都有
2)()(21<-x f x f ．
其中正确的命题是 ．
三、解答题：(共8个小题．只做6个小题；共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2
f x A x π
ωϕωϕ=+><
在某一个周
期内的图
象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2) 将()y f x =图象上所有点向左平行移动
6
π
个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =
的图象离原点O 最近的对称中心．
18．（12分）已知向量),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=设函数()f x m n =⋅．
（1）求函数)(x f 的单调递减区间；
（2）设,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，若()4,1f A b ==，2
ABC S ∆=
，求a 的值.
19．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热
层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系
()(010)35
k
C x x x =
≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1) 求k 的值及()f x 的表达式；
(2) 隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．
20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3O 为圆心，椭
圆C 的长半轴为半径的圆与直线260x -+=相切． (1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 已知点A ，B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，
使2
EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数()2
ln (0)a e f x x a x
+-=+
≥. （1）()x f y =在()()1,1f 的切线与直线()011=+--y x e 平行，求a 的值； （2）不等式()a x f ≥对于0>x 的一切值恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在以下（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．
22．(10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且,OA OB CA CB ==，圆O 交直线OB 于点,E D ，其中D 在线段OB 上．连结EC ，CD ． (1) 证明：直线AB 是圆O 的切线； (2) 若2
1
=∠CED tan ，圆O 的半径为3，求OA 的长．
23．(10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐
标为)6π
，曲线C
的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.
（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；
（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.
24. (10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()2f x x a a =++． （1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()21g x x =-，当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．
中山一中2017届高三第二次统测数学（文科） 参 考 答 案
一、选择题： A C B C A B D D A D C B 二、填空题： 13. 4； 14. 1
3
-
； 15. 6； 16. ③ ④. 【部分提示】： 10. 设椭圆的右焦点为1F ，AF
0y +=的交点为B ．可知：
FOB ∠=
160AOB AOF ∠=∠=； 1AFF ∆为(130AFF ∠=的)直角三角形；于是有
：
2c a +=．
11. 设()()sin f x g x x =，可知()g x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增． 12. 由2
1()=
cos f x x
'可得：2,1a b ==-； min ()1g x e =+，2
max ()2g x e =-； ∴ 1e m e ≤≤+或m e ≤-．
15. 由图可知A(2,0)，B(3,1)， ∴ ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=．
16. 求解析式及函数图像可知： (1)(0)
()0
(0)(1)(0)
x x x e x f x x x e x -⎧+<⎪
==⎨⎪->⎩
且f(x)(-1,1)∈． 三、解答题：'
'
'
'
'
'
(1212121212[10]70+++++=分）
17. 解： (1)
由上表可得： f (x )＝
5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6． ………………………………………6分 (2)由(1)知：f (x )＝5sin
⎝
⎛⎭⎫2x －π6，因此
g (x )＝5sin
⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝
5sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π6． ……………………8分
因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ．
令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π
12，k ∈Z ． 即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ， ∴
y ＝
g (x )
图
象
离
原
点
O
最
近
的
对
称
中
心
为
⎝⎛⎭
⎫－π12，0． ……………………12分
18. 解：（1） 2()3sin 222cos 2cos 23f x m n x x x x =⋅=
++=++
2sin(2)36x π=++，当3222262k x k πππππ+≤+≤+
即263
k x k ππ
ππ+≤≤+时()f x 递减．
∴
()
f x 单减区间是
2,()63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦． ……………………6分 （2）由（1）知2sin(2)346A π
+
+=得1sin(2)62A π+=得：5266
A ππ
+=
∴ 3
A π
=．又2
ABC S ∆=
，1b = ∴ 2c = ∴
2222cos
3
3
a b c bc π
=+-=
∴
a = ……………………12分
19.
解
：（
1
）
由
已
知
条
件
得
C (0)
＝
8
，
则
k
＝
40， ………………………………………2分
∴
f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋
8003x ＋5
(0≤x ≤10)． ……………………5分 (2) f (x )＝6x ＋10＋800
3x ＋5－10≥2
（6x ＋10）800
3x ＋5
－10＝70(万元)，（也可以利用导求
最小值）．
当且仅当6x ＋10＝800
3x ＋5
，即x ＝5时等号成立． ……………………11分
∴ 当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． (12)
分
20. 解：(1) 由e ＝
63，得 c a ＝63，即c ＝6
3
a ① 又因为以原点O 为圆心， 椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切， ∴ a ＝
622＋（2）2
＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2
＝2. ∴
椭
圆的方程为
x 2
6
＋
y 22
＝
1. ………………………………………………………4分 (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
6＋y 2
2＝1
y ＝k （x －2）
得：(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2
， (6)
分
根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →
为定值，
则有： EA →·EB →
＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2
＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(k 2＋1) x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝
(k
2
＋
1)·
12k 2－6
1＋3k 2
－(2k
2
＋
m )·
12k 2
1＋3k 2
＋
(4k 2
＋
m 2)
＝
（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）
3k 2＋1
. ……9分
要使上式为定值，即与k 无关，则应使3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)， 即73
m =， 此
时
2
5
69
E A
E B m
⋅=-
=- 为定值，定
点
为
7
(,0)3
E . ……………………12分
21.解：（1）函数()2
ln (0)a e f x x a x
+-=+
≥的定义域为()0,+∞， 22
122
()a e x a e f x x x x
+---+'=-=，(1)3f a e '=--，由题意得31a e e --=-， 解
得
：
2a =. ……………………………………3分
（2）不等式()f x a ≥对于0x >的一切值恒成立，等价于ln 20x x a e ax ++--≥对于
0x >的一切值恒成立.
记
()ln 2g x x x a e ax
=++--()
0x >，则
()ln 1g x x a '=+-. ………………………6分
令()0g x '=，得1
a x e
-=，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表
∴
()
g x 的
最
小
值
为
11()2a a g e a e e --=+--. …………………………………………8分
记1
()2(0)a h a a e e
a -=+--≥，则1()1a h a e -'=-，令()0h a '=，得1a =.
当a 变化时，(),()h a h a '的变化情况如下表：
∴ ①当
01a ≤<时，函数()h a 在
()
0,1上为增函数，
1(2)1()(0)20e e h a h e e e
--≥=--
=>， 即
()
g x 在
()
0,+∞上的最小值
()
h a >，满足题
意. …………10分
②当12a ≤≤时，函数()h a 在[]1,2上为减函数，()()20h a h ≥=， 即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a ≥，满足题意.
③当2a >时，函数()h a 在()2,+∞上为减函数，()()20h a h <=，
即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a <，不满足题意.
综上,所求实数a 的取值范围为[]0,2． …………………………………………12分 22. (1)证明：连结OC . 因为OA OB CA CB ==，，∴ .OC AB ⊥ 又OC 是圆O 的半径，
∴
AB 是圆O 的切
线. ………………… ……………………5分
(2) 解: 因为直线AB 是圆O 的切线， ∴ .BCD E ∠=∠ 又CBD EBC ∠=∠，
∴ .BCD BEC △△∽ 则有BC BD CD
BE BC EC
==
， 又1tan 2CD CED EC ∠=
=，故1
2
BD CD BC EC ==. 设BD x =，则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，故2(2)(6)x x x =+，即2360x x -=. 解
得
2x =，即2BD =. ∴
32 5.OA OB OD DB ==+=+= ……………………10分
23. 解： (1) 点P
的直角坐标
，由2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎪
⎨
=+⎪⎩
，得22(4x y +=， ∴
曲
线
C
的
直
角
坐
标
方
程
为
22(4x y +=. …………………………………… 4分
（2）曲线C
的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为
210x y ++=，
设(2cos ,2sin )Q θθ+，则3
(cos ,sin )2
M θθ+，那么点M 到直线l 的距离
1d ==
≥=， ∴
点
M 到直线
l
的最小距离
为
1. …………………………………………10分
24. 解： (1) 当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.
∴ ()f x ≤的解集为
{|1x x -≤≤
. ……………………5分 （
2
）
当
x R
∈时，
()(f x g x x a a +
=-++-|2x a x a ≥-+-+
|1a a =-+， 当1
2
x =
时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分
当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. ∴
a
的取值范围是
[2,)+∞. ……………………………………………………………10分。