衡水市2018届高三数学上学期阶段性联考试题 文

河北省衡水市2018届高三数学上学期阶段性联考试题 文
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}2
540M x xx =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N 中元素的个数
为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知命题p ：x ∀∈R ,()
1
2
20
x -<,则命题p ⌝为（ )
A ．0
x ∃∈R ，()
12
20
x -> B ．x ∀∈R ，()
12
10
x -> C ．x ∀∈R ，()
1
2
10
x -≥ D ．0
x ∃∈R ，()
1
2
20
x -≥
3．已知复数5i 2i 1
z =
-（为虚数单位）,则复数z 在复平面内对应的点位于（ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．已知双曲线C ：()222
1016x y a a -=>的一个焦点为()5,0,则双曲线C
的渐近
线方程为（ ）
A ．430x y ±=
B ．1690x y ±=
C ．4410x y ±=
D ．4312x y ±=
5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元。

为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ）
A ．2726m m 5π
B ．2363m m 10π
C ．2
363m m 5π
D ．2
363m m 20π
6．下列函数中,与函数122x
x y =
-的定义域、单调性与奇偶性均一致的
函数是( )
A ．s i n y x =
B ．2
y x
=
C ．1y x =
D ．()()22
00x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪
⎩ 7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为
( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设55l o g 4l o g 2a =-，2ln ln 33b =+，1
l g5210c =，则a b c ，
，的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A ．1819
B ．19
20 C ．20
21
D ．1
20
10．将函数
()2s i n 43f x x ⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭π的图象向左平移个单位，再把所有点的
横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函
数()y g x =的说法错误的是（ ）
A ．最小正周期为π
B ．图象关于直线
12
x =
π
对称
C ．图象关于点
,012⎛⎫
⎪⎝⎭π对称 D ．初相为
11．抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点。

已知抛物线2
4y x =的焦点为F ,一
平行于x 轴的光线从点()3,1M
射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ）
A ．
B ．4
3
-
C ．43
±
D ．
169-
12．已知A B C ∆的内角A B C ，，的对边分别是a b c ，
，，且()()222
c o sc o s a b c a B b A a b c +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）
A ．()0,2
B ．[)1,2
C ．
1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(]1,2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭π
π，(),1b k =,若a b ∥,则k = ．
14．已知函数
()3
2f x x x
=-,若曲线()f x 在点()(
)1,1f 处的切线经过圆C ：()2
2
2x ya +-=
的圆心，则实数a 的值为 ．
15．已知实数x y ，
满足约束条件3,
,60,x y x y +≤⎧⎪⎪
≥⎨⎪
≥⎪⎩ππ则()s i n x y +的取值范围为
（用区间表示）．
16．在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M A B C D -为阳马,侧棱M A ⊥底面A B C D ，
且2M A B C A B ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在递增的等比数列{}n
a 中，1
6
32aa ⋅=，2
5
18aa ⋅=，其中*
n ∈N 。

（1）求数列{}n
a 的通项公式;
（2）记21
l o g n
n
n b
a a +=+,求数列{}n
b 的前n 项和n
T .
18．如图,在三棱柱111A B C A B C -中，1
A A ⊥平面A
B
C ，A CB C ⊥，
1
2A C B C C C ===，点D 为AB 的中点。

(1）证明：1A C ∥平面1
B CD ；
（2)求三棱锥11
A C
D B -的体积.
19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来
"，遍布了一二线城市的大街小巷。

为了解共享单车在A 市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位:人）：
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关?
（2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
（i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数； （ii ）从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式：()()()()()
2
2
n a d b c K a b c d a c b d -=
++++,其中n a b c d =+++。

参考数据：
()2
P K k ≥
0。

15 0.10 0。

05 0.025
0。

010
0k
2。

072 2.706 3.841 5.024
6。

635
20．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>
过点()
1
，直线：
20k x y -+=与椭圆C
交于A B ，两点。

(1）求椭圆C 的标准方程;
(2）是否存在实数k ,使得O A O B O A O B
+=-（其中O 为坐标原点）成立?若存在,求出实数k 的值；若不存在，请说明理由. 21．已知函数
()2
l n 23f x xx =-+，()()()
4l n 0g x f x x a x a '=++≠。

（1）求函数()f x 的单调区间；
(2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y
=⎧⎨
=⎩αα（α为参数），以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为s in 3
4⎛⎫+= ⎪⎝
⎭πθ. （1）求曲线C 的普通方程及直线的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线的距离的最大值. 23．选修4—5:不等式选讲
已知函数()211f x x x =-++.
(1）解不等式()3f x ≤
；
（2）记函数()()1g x fxx =++的值域为M ，若t M ∈,试证明：2
23t t -≥.
文数参考答案及评分细则
一、选择题
1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11、12：BB 二、填空题
13．1 14．2- 15．
1,12⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
16．36-π
三、解答题
17．解：(1）设数列{}n
a 的公比为q ，
则25
16
32a a a a ⋅=⋅=， 又2
5
18a a +=，
∴2
2a =，5
16a =或2
16a =,5
2a =(舍）.
∴
35
2
8a q a =
=，即2q =.
故2
1
2
2n n n
aa q --==（*
n ∈N ).
(2)由（1）得,1
2n n
b n -=+.
∴12n n
Tbb b =+++ ()()21
1222123n n -=+++++++++
()112122n n n
+-=+-
2212n
n n +=-+
.
18．解：（1)连接1
B C 交1
B C 于点O ，连接OD 。

在三棱柱111
A B C A B C -中，四边形11
B C C B 是平行四边形。

∴点O 是1B C 的中点。

∵点D 为AB 的中点,
∴1
O D A C ∥。

又O D ⊂平面1
B CD ，1
A C ⊄平面1
B CD ,
∴1
A C ∥平面1
B CD .
（2）∵A CB C =，A D B D =,
∴C DA B ⊥.
在三棱柱111
A B C A B C
-中，
由1
A A ⊥平面A
B
C ，得平面11
A B B A ⊥
平面A B C 。

又平面11
A B B A 平面A B C A B =。

∴C D ⊥平面11
ABB A .
∴点C 到平面11A DB 的距离为C D
，且s i n 4C D A C =π
∴111111
1
3A C D B CA D B A D B V V S C D --∆==⨯
111
11
32A B A A C D =⨯⨯⨯⨯=
EMBED Equation.DSMT4 1426
3⨯=. 19．解：(1)由列联表可知，
()2
2200704060302.198
130********K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯。

因为2.1982.072>，
所以能在犯错误的概率不超过0。

15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，
经常使用共享单车的有
60
53100⨯
=（人）,
偶尔或不用共享单车的有40
52100
⨯
=（人）.
(ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a b c ，
，；偶尔或不用共享单车的2人分别为d e ，。

则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ,(),a d ，(),a e ,(),b c ，
(),b d ,(),b e ,(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种。

其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率
19
11010P =-
=。

20．解：（1）依题意,
得2
2
222211,
,
a
b
c a a b c ⎧+
=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪
⎩
解得2
4a =，2
2b =，2
2c =,
故椭圆C 的标准方程为22
1
42x y +=。

(2)假设存在符合条件的实数k 。

依题意，联立方程2
22,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩
消去y 并整理，得()22
12840k x k x +++=。

则()
22
6416120k k ∆=-+>，
即
k >
或
k <-
.
设()1
1
,A
x y ，()2
2
,Bx y ， 则
122812k
x x k +=-
+，
122
4
12x x k =
+。

由O A O B O A O B
+=-，
得0O A O B ⋅=。

∴12
12
0x x y y +=。

∴()()12
1
2
220x x k x k x +++=. 即()()2
12
12
1240k x x k x x ++++=.
∴()2222
4116401212k k
k
k +-+=++.
即2
2
84012k k -=+。

即2
2k =，即k =
故存在实数k =，使得
O A O B O A O B
+=-成立.
21．解：（1）依题意，得
()2
1144x
f x x x x -'=-
= EMBED Equation.DSMT4
()()
1212x x x
+-=
,()0,x ∈+∞.
令()0f x '>，即120x ->。

解得
1
02
x <<
；
令()0f x '<，即120x -<.
解得
1
2
x >。

故函数
()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
,单调递减区间为
1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得,()()4l n g x f xx a x '=++= EMBED Equation.DSMT4 1
ln a x x +.
依题意，方程1
ln 0a x a x +-=有实数根，
即函数()1
l n h x a x a
x =+-存在零点. 又()22
11
a a x h x x x x -'=-+=.
令()0h x '=
，得
1
x a =
.
当0a <时，()0h x '<。

即函数()h x 在区间()0
,+∞上单调递减，
而()
110h a =->，
111
111e 1a
a h a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ EMBED Equation.DSMT4
1
111
110
e
e
a
-=
-<-<.
所以函数()h x 存在零点；
当0a >时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：
所以11l n l n h a a a a a a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10
h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时,函数()h x 没有零点； 当10
h a ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭,即1a ≥时,注意到()110h a =-≤，
()11
e 0e e h a a =+
-=>,
所以函数()h x 存在零点。

综上所述，当()[),01,a ∈-∞+∞时,方程()g x a =有实数根.
22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y =⎧⎨
=⎩α
α(α
为参数)，
得曲线C 的普通方程为2
21
4x y +=。

由
2s in 3
4⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭πρθ，
得()s i n c o s 3+=ρθθ， 即3x y +=.
∴直线的普通方程为30xy +-=。

（2）设曲线C 上的一点为()2c o s,s i n αα， 则该点到直线
的距离d
t a
n 2=ϕ). 当()s i n 1+=-αϕ时,
m a x
d . 即曲线C 上的点到直线。

23．解：（1）依题意,得()3,1,12,1,
213,.2x x f x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
≥⎪⎩
则不等式
()3f x ≤
即为1,
33x x ≤-⎧⎨-≤⎩
或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1233x x ⎧
≥⎪⎨
⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.
故原不等式的解集为{}11x x -≤≤.
（2）由题得，()()121g x f x x x =++=-+ EMBED Equation.DSMT4
2221223
x x x +≥---=，
当且仅当()()21220x x -+≤。

即
1
12
x -≤≤
时取等号.
∴[)3,M =+∞. ∴()()2
2331t t t t --=-+. ∵t M ∈，
学必求其心得，业必贵于专精
∴30t -≥,10t +>.
∴()()310t t -+≥。

∴223t t -≥.。