2020人教A高考理科数学-课时规范练14导数的概念及运算

课时规范练14 导数的概念及运算
基础巩固组
1.(2019河南豫西名校联考一)已知函数f (x )在x=x 0处的导数为f'(x 0),则lim Δx →0
f (x 0-mΔx )-f (x 0)
Δx 等于 ( )
A.mf'(x 0)
B.-mf'(x 0)
C.-1
m f'(x 0)
D.1
m f'(x 0)
2.(2019福建宁德一中期中)函数f (x )=(2e x )2+sin x 的导数是( ) A.f'(x )=4e x+cos x B.f'(x )=4e x-cos x C.f'(x )=8e 2x+cos x
D.f'(x )=8e 2x-cos x
3.(2019黑龙江哈尔滨市六中期中)设f (x )=ln x.若f'(x 0)=3,则x 0=( ) A.e 3
B.3
C.1
3
D.ln 3
4.(2019湖南湘潭期末)设函数f (x )=ax 3+1.若f'(1)=3,则a 的值为( ) A.0
B.1
C.2
D.4
5.(2019云南师大附中模拟)设f (x )是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f (x )=x 2-x ,则f (x )在点(-1,f (-1))处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0
D.x+y+1=0
6.(2019山西大学附属中学期末,5)已知函数f (x )=12
e x -32
e -x ,则曲线y=
f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A.(0,π
3]
B.(π2,2π
3] C.[π3,π2
) D.[π3
,π)
7.(2019江西赣州期末)设函数f (x )在R 上可导,f (x )=x 2f'(1)-2x+1,则f (a 2-a+2)与f (1)的大小关系是( ) A.f (a 2-a+2)>f (1) B.f (a 2-a+2)=f (1) C.f (a 2-a+2)<f (1) D.不确定
8.(2019贵州铜仁一中期中)已知曲线y=ln x 在点A 处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A 的坐标为
( ) A.(e,1) B.(1,0) C.(1
e ,-1)
D.(e 2,2)
9.(2019江西新八校联考二)若f (x )+3f (-x )=x 3+2x+1对x ∈R 恒成立,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为( )
A.5x+2y-5=0
B.10x+4y-5=0
C.5x+4y=0
D.20x-4y-15=0
10.(2019福建泉州质检,14)若函数f(x)=x ln x+a在点(1,f(1))处的切线过点(2,2),则a=.
11.(2019河南八市重点高中联考二,15)若一直线与曲线y=eln x和曲线y=mx2相切于同一点P,则实数m=.
12.若函数f(x)=1
2
x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.
综合提升组
13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()
A.x+y-1=0
B.x-y-1=0
C.x+y+1=0
D.x-y+1=0
14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=1
3
x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-
1)=()
A.1
3B.-2
3
C.7 3
D.-1
3
或5
3
15.
(2019黑龙江大庆铁人中学期末)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=()
A.-1
B.0
C.2
D.4
16.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4
x
(x>0)上的一个动点,则点P到直线
x+y=0的距离的最小值是.
创新应用组
17.(2019湖南娄底高三模拟)已知函数f(x)=4
e x+1
+x3+sin x,其导函数为f'(x),则f(2 020)+f'(2 020)+f(-2 020)-f'(-2 020)的值为()
A.4 040
B.4
C.2
D.0
18.(2019江西南昌模拟)已知f(x)在R上连续可导,f'(x)为其导函数,且f(x)=e x+e-x-f'(1)x·(e x-e-x),则
f'(2)+f'(-2)-f'(0)f'(1)=()
A.4e2+4e-2
B.4e2-4e-2
C.0
D.4e2
参考答案
课时规范练14导数的概念及运算
1.B因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),所以lim
Δx→0f(x0-mΔx)-f(x0)
Δx
=-mlim
-mΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)
-mΔx
=-mf'(x0).故选B.
2.C因为f(x)=(2e x)2+sin x=4e2x2+sin x,所以f'(x)=(4e2x2)'+(sin x)'=8e2x+cos x.故选C.
3.C∵f(x)=ln x,∴f'(x)=1
x
.
又f'(x0)=3,∴1
x0
=3,
解得x0=1
3
.故选C.
4.B∵f(x)=ax3+1,∴f'(x)=3ax2.
又f'(1)=3,∴3a=3,解得a=1.故选B.
5.D由f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数得,当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,此时f'(x)=2x+1,f'(-1)=-1,f(-1)=0.
故f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-0=-(x+1),即x+y+1=0.故选D.
6.C∵f(x)=1
2e x-3
2
e-x,
∴f'(x)=1e x+3e-x=1(e x+3e-x)≥1×2√e x·3e-x=√3,
当且仅当e x=3e-x,即x=ln3
2
时等号成立.∴tan α≥√3.
又0≤α<π,∴π
3
≤α<π
2
.故选C.
7.A由题意可知,f'(x)=2f'(1)x-2,
则f'(1)=2f'(1)-2,解得f'(1)=2.
故f(x)=2x2-2x+1.所以函数f(x)在区间(1
2,+∞)上单调递增.因为a2-a+2=(a-1
2
)
2
+
7 4>1>1
2
,
所以f(a2-a+2)>f(1).故选A.
8.B设点A的坐标为(x0,ln x0),曲线y=ln x在点A处的切线的斜率为k.
∵y=ln x,∴y'=1
x
,
∴k=y'|
x=x0=1
x0
.
又切线与直线x-y+1=0平行,
∴1
x0
=1,解得x0=1,∴ln x0=0.
故点A的坐标为(1,0).故选B.
9.B∵f(x)+3f(-x)=x3+2x+1, ①
∴f(-x)+3f(x)=-x3-2x+1, ②
联立①②,解得f(x)=-1
2x3-x+1
4
,则f'(x)=-3
2
x2-1.
∴f(1)=-1
2-1+1
4
=-5
4
,f'(1)=-3
2
-1=-5
2
.
故切线方程为y+5
4
=-5
2
(x-1),
即10x+4y-5=0.故选B.
10.1因为f(x)=x ln x+a,所以f'(x)=ln x+1,所以f'(1)=1.
又f(1)=a,所以切线方程为y=x-1+a.又切线经过点(2,2),所以2=2-1+a,解得a=1.
11.1
2曲线y=eln x的导数为y'=
e
x
,曲线y=mx2的导数为y'=2mx.由e
x
=2mx,x>0,m>0,得
x=√e
2m
,
故切点P的坐标为(√
e
2m
,e
2
).
将点P的坐标代入y=eln x得,eln√
e
2m
=e
2
,解得m=1
2
.
12.[2,+∞)∵f(x)=1x2-ax+ln x,
∴f'(x)=x-a+1
x
.
∵f(x)的图象存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,
∴x+1
x
-a=0有解,
∴a=x+1
x
≥2(x>0),当且仅当x=1时取等号.
13.B设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象相切于点(x0,y0),
则{kx0-1=y0,
x0ln x0=y0,
ln x0+1=k,
解得{
x0=1,
y0=0,
k=1.
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
14.D∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,
∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=5
3
;
若f'(x)的图象为③,则a2-1=0.
又对称轴x=-a>0,∴a=-1,
∴f(-1)=-1
3
.
15.B将点(3,1)的坐标代入y=kx+2得,3k+2=1,解得k=-1
3
,
所以f'(3)=k=-1 3 .
因为点(3,1)在函数y=f(x)的图象上,所以f(3)=1.因为g(x)=xf(x), 所以g'(x)=f(x)+xf'(x),
所以g'(3)=f(3)+3f'(3)=1+3×(-1
3
)=0.故选B.
16.4当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4
x
相切位置时,切点Q即为点P到直线x+y=0的
最小距离的点,有y'=(x+4
x
)'=1-4
x2
=-1(x>0),得x=√2(-√2舍).此时y=√2+
√2
=3√2,即切
点Q(√2,3√2),则切点Q到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|
√1+1
=4,即为所求最小值.
17.B因为f(x)=4
e x+1+x3+sin x,所以f(x)+f(-x)=4
e x+1
+4e x
e x+1
=4.
又f'(x)=-
4e x
(e x+1)2
+3x2+cos x,
所以f'(x)-f'(-x)=0.
所以f(2 020)+f'(2 020)+f(-2 020)-f'(-2 020)=4.故选B. 18.C因为f(-x)=e-x+e x-f'(1)(-x)(e-x-e x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
对f(-x)=f(x)两边求导,得-f'(-x)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),
则f'(x)是R上的奇函数,
故f'(0)=0,f'(-2)=-f'(2),
即f'(2)+f'(-2)=0.
所以f'(2)+f'(-2)-f'(0)f'(1)=0.故选C.。